2019高考数学 复数算法推理与证明第4讲直接证明与间接证明分层演练文.docx

第4讲 直接证明与间接证明一、选择题1用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是()A自然数a，b，c中至少有两个偶数B自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C自然数a，b，c都是奇数D自然数a，b，c都是偶数解析：选B“恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”故选B2分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且abc0，求证：<a”索的因应是()Aab>0Bac>0C(ab)(ac)>0 D(ab)(ac)<0解析：选C<ab2ac<3a2(ac)2ac<3a2a22acc2ac3a2<02a2acc2<02a2acc2>0(ac)(2ac)>0(ac)(ab)>0故选C3设a，b，c，则a、b、c的大小顺序是()Aabc BbcaCcab Dacb解析：选A因为a，b，c，且0，所以abc4设x，y，z>0，则三个数，()A都大于2 B至少有一个大于2C至少有一个不小于2 D至少有一个不大于2解析：选C假设三个数都小于2，则<6，由于2226，所以假设不成立，所以，中至少有一个不小于2故选C5已知函数f(x)，a，b是正实数，Af，Bf()，Cf，则A，B，C的大小关系为()AABC BACBCBCA DCBA解析：选A因为，又f(x)在R上是减函数，所以ff()f6设a>b>0，m，n，则m，n的大小关系是()Am>n BmnCm<n Dmn解析：选C<>a<b2·ab2·>0，显然成立，故m<n选C二、填空题7已知点An(n，an)为函数y图象上的点，Bn(n，bn)的函数yx图象上的点，其中nN*，设cnanbn，则cn与cn1的大小关系为_解析：由条件得cnanbnn，所以cn随n的增大而减小，所以cn1<cn答案：cn1<cn8关于x的方程axa10在区间(0，1)内有实根，则实数a的取值范围是_解析：当a0时，方程无解当a0时，令f(x)axa1，则f(x)在区间(0，1)上是单调函数，依题意，得f(0)f(1)<0，所以(a1)(2a1)<0，所以<a<1答案：9设函数f(x)(aR，e为自然对数的底数)若存在b0，1使f(f(b)b成立，则a的取值范围是_解析：易知f(x)在定义域内是增函数，由f(f(b)b，猜想f(b)b反证法：若f(b)>b，则f(f(b)>f(b)>b，与题意不符，若f(b)<b，则f(f(b)<f(b)<b，与题意也不符，故f(b)b，即f(x)x在0，1上有解所以x，aexx2x，令g(x)exx2x，g(x)ex2x1(ex1)2x，当x0，1时，ex12，2x2，所以g(x)0，所以g(x)在0，1上是增函数，所以g(0)g(x)g(1)1g(x)e，即1ae答案：1，e10若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1，在区间1，1内至少存在一点c，使f(c)0，则实数p的取值范围是_解析：法一：(补集法)令解得p3或p，故满足条件的p的取值范围为法二：(直接法)依题意有f(1)0或f(1)0，即2p2p10或2p23p90，得p1或3p，故满足条件的p的取值范围是答案：三、解答题11在ABC中，设a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且直线bxycos Acos B0与axycos Bcos A0平行，求证：ABC是直角三角形证明：法一：由两直线平行可知bcos Bacos A0，由正弦定理可知sin Bcos Bsin Acos A0，即sin 2Bsin 2A0，故2A2B或2A2B，即AB或AB若AB，则ab，cos Acos B，两直线重合，不符合题意，故AB，即ABC是直角三角形法二：由两直线平行可知bcos Bacos A0，由余弦定理，得a·b·，所以a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，所以c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)，所以(a2b2)(a2b2c2)0，所以ab或a2b2c2若ab，则两直线重合，不符合题意，故a2b2c2，即ABC是直角三角形12已知数列an满足a1，且an1(nN*)(1)证明：数列是等差数列，并求数列an的通项公式；(2)设bnanan1(nN*)，数列bn的前n项和记为Tn，证明：Tn<解：(1)由已知可得，当nN*时，an1，两边取倒数得，3，即3，所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，其通项公式为2(n1)×33n1，所以数列an的通项公式为an(2)证明：由(1)知an，故bnanan1，故Tnb1b2bn×××·因为>0，所以Tn<