2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程1.2椭圆的简单性质（第2课时）椭圆简单性质的应用学案.docx

第2课时椭圆简单性质的应用学习目标1.进一步巩固椭圆的简单性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识知识点一点与椭圆的位置关系设P(x0，y0)，椭圆1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：位置关系满足条件P在椭圆外>1P在椭圆上1P在椭圆内<1知识点二直线与椭圆的位置关系直线ykxm与椭圆1(ab0)的位置关系的判断方法：联立消去y，得关于x的一元二次方程当0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交；当0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切；当0时，方程无解，直线与椭圆相离知识点三弦长公式设直线方程为ykxm(k0)，椭圆方程为1(a>b>0)或1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|，|AB|，或|AB|.其中，x1x2，x1x2或y1y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程求得1若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大()2在椭圆上的所有点中，长轴的端点到椭圆中心的距离最大，短轴的端点到椭圆中心的距离最小()3在椭圆的焦点弦中，当弦与长轴垂直时弦最短，当弦与长轴重合时弦最长()4设A是椭圆内一点，以A为中点的弦是唯一的(×)5直线yk(xa)与椭圆1的位置关系是相交()题型一直线与椭圆的位置关系例1已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点考点题点解直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y，得9x28mx2m240.方程的判别式(8m)24×9×(2m24)8m2144.(1)当>0，即3<m<3时，方程有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆C有两个公共点(2)当0，即m±3时，方程有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3)当<0，即m<3或m>3时，方程没有实数解，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点反思感悟判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则>0直线与椭圆相交；0直线与椭圆相切；<0直线与椭圆相离跟踪训练1若直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆1总有公共点，则实数m的取值范围为_考点题点答案1,5)解析直线ykx1过定点M(0,1)，要使直线与该椭圆总有公共点，则点M(0,1)必在椭圆内或椭圆上，由此得解得1m<5.题型二直线与椭圆的相交弦问题例2已知椭圆1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程考点直线与椭圆的位置关系题点中点弦问题解(1)由已知可得直线l的方程为y2(x4)，即yx.由消去y可得x2180，若设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1x20，x1x218.于是|AB|×63.所以线段AB的长度为3.(2)方法一当直线l的斜率不存在时，不合题意所以直线l的斜率存在设l的斜率为k，则其方程为y2k(x4)联立消去y，得(14k2)x2(32k216k)x64k264k200.显然，>0，若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，由于AB的中点恰好为P(4,2)，所以4，解得k，且满足>0.这时直线的方程为y2(x4)，即x2y80.方法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得0，整理得kAB，由于P(4,2)是AB的中点，x1x28，y1y24，于是kAB，于是直线AB的方程为y2(x4)，即x2y80.反思感悟处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系跟踪训练2已知椭圆ax2by21(a>0，b>0且ab)与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|2，OC的斜率为，求椭圆的方程考点直线与椭圆的位置关系题点中点弦问题解方法一设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.A，B为直线xy10上的点，1.由已知得kOC，代入式可得ba.直线xy10的斜率k1.又|AB|x2x1|x2x1|2，|x2x1|2.联立ax2by21与xy10，可得(ab)x22bxb10.且由已知得x1，x2是方程(ab)x22bxb10的两根，x1x2，x1x2，4(x2x1)2(x1x2)24x1x224·.将ba代入式，解得a，b.所求椭圆的方程是1.方法二由消去y，得(ab)x22bxb10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，且直线AB的斜率k1，|AB|·.|AB|2，2，1.设C(x，y)，则x，y1x.OC的斜率为，将其代入式得，a，b.所求椭圆的方程为1.题型三椭圆中的最值(或范围)问题例3已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆相交时的其他问题解(1)由得5x22mxm210，因为直线与椭圆有公共点，所以4m220(m21)0，解得m.(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知5x22mxm210，所以x1x2，x1x2(m21)，所以|AB|.所以当m0时，|AB|最大，此时直线方程为yx.反思感悟解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件跟踪训练3已知椭圆C：x22y24.(1)若点P(a，b)是椭圆C上一点，求a2b2的取值范围；(2)设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求|AB|的最小值考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆相交时的其他问题解(1)由题意得a22b24，则a242b2，a2b242b2b24b2，b，4b22,4故a2b22,4，a2b2的取值范围为2,4(2)设A(t,2)，B(x0，y0)，x00.OAOB，·0，tx02y00，t.又x2y4，0<x4.|AB|2(x0t)2(y02)24448，当且仅当，即x4时等号成立，|AB|的最小值为2.转化化归思想在椭圆中的应用典例已知椭圆C的方程为1(a>b>0)，左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆C上的点P到F1，F2的距离和等于4.(1)写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)直线l过定点M(0,2)，且与椭圆C交于不同的两点A，B，若原点O在以线段AB为直径的圆外，求直线l的斜率k的取值范围考点题点解(1)由题意得2a4，即a2，又点P在椭圆C上，1，即b21，椭圆C的方程为y21，焦点F1(，0)，F2(，0)(2)由题意得直线l的斜率存在且不为0，设l：ykx2，代入y21，整理得(14k2)x216kx120，(16k)24(14k2)·1216(4k23)>0，得k2>.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x2.原点O在以线段AB为直径的圆外，AOB为锐角，cosAOB>0，则·x1x2y1y2>0，又y1y2(kx12)·(kx22)k2x1x22k(x1x2)4，x1x2y1y2(1k2)x1x22k(x1x2)4(1k2)2k4>0.k2<4，<k2<4，直线l的斜率k的取值范围是.素养评析(1)本例中利用根与系数的关系与判别式可得到直线斜率的范围(2)逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，本例从条件出发与已有知识结合，逐步推出相应的结论对逻辑推理素养的培养有很好的帮助.1点A(a,1)在椭圆1的内部，则a的取值范围是()A<a<Ba<或a>C2<a<2D1<a<1考点椭圆的简单性质题点点与椭圆的位置关系答案A解析由题意知<1，解得<a<.2直线yx2与椭圆1有两个公共点，则m的取值范围是()Am>1Bm>1且m3Cm>3Dm>0且m3考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题答案B解析由得(3m)x24mxm0，(4m)24m(3m)>0，16m24m(3m)>0，m>1或m<0.又m>0且m3，m>1且m3.3已知以F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线xy40有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为_考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题答案2解析由题意可设椭圆的方程为1(a>2)，与直线方程xy40联立，得4(a23)y28(a24)y(16a2)(a24)0，由0，得a，所以椭圆的长轴长为2.4已知椭圆C的两个焦点是F1(2,0)，F2(2,0)，且椭圆C经过点A(0，)(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过左焦点F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆C交于P，Q两点，求线段PQ的长考点直线与椭圆的位置关系题点弦长与三角形面积解(1)由已知得，椭圆C的焦点在x轴上，可设椭圆的方程为1(a>b>0)，(0，)是椭圆短轴上的一个顶点，可得b，由题意可得c2，故a3，则椭圆C的标准方程为1.(2)由已知得，直线l的斜率ktan45°1，而F1(2,0)，所以直线l的方程为yx2，代入方程1，得5x29(x2)245，即14x236x90，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2，则|PQ|x1x2|××.1直线与椭圆的位置关系，可考虑由直线方程和椭圆方程得到的一元二次方程，利用“”进行判定，求弦长时可利用根与系数的关系，中点弦问题考虑使用点差法2最值往往转化为函数最值或利用数形结合思想.一、选择题1直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()A相切B相交C相离D不确定考点题点答案B解析直线ykxk1可变形为y1k(x1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆1内部，所以直线ykxk1与椭圆1相交，故选B.2椭圆1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是()A8,2B5,4C5,1D9,1考点椭圆的简单性质题点通过所给条件研究椭圆的简单性质答案D解析因为a5，c4，所以最大距离为ac9，最小距离为ac1.3已知AB为过椭圆1中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则AFB面积的最大值为()Ab2BabCacDbc考点直线与椭圆的位置关系题点弦长与三角形面积答案D解析当直线AB为y轴时，面积最大，此时|AB|2b，AFB的高为c，SAFB·2b·cbc.4椭圆1(a>b>0)的离心率为，若直线ykx与椭圆的一个交点的横坐标x0b，则k的值为()A.B±C.D±考点直线与椭圆的位置关系题点求椭圆中的直线方程答案B解析根据椭圆的离心率为，得.由x0b，得yb2，y0±，k±±.5若直线axby40和圆x2y24没有公共点，则过点(a，b)的直线与椭圆1的公共点个数为()A0B1C2D需根据a，b的取值来确定考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题答案C解析直线与圆没有交点，d>2，a2b2<4，即<1，<1，点(a，b)在椭圆内部，故直线与椭圆有2个交点6设F1，F2分别是椭圆1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1，F2分别作x轴的垂线，交椭圆的四点构成一个正方形，则椭圆的离心率e为()A.B.C.D.考点椭圆几何性质的应用题点求椭圆离心率的值答案B解析将x±c代入椭圆方程，得y±.由题意得2c，即b2ac，所以a2c2ac，则210，解得(负值舍去)7经过椭圆x22y22的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则·等于()A3B±CD考点椭圆的几何性质题点椭圆范围的简单应用答案C解析由x22y22，得a22，b21，c2a2b21，焦点为(±1,0)，不妨设直线l过右焦点，则直线l的方程为yx1，代入x22y22，得x22(x1)220，化简得3x24x0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x20，x1x2，y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2)11，所以·x1x2y1y20.8已知椭圆E：1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1B.1C.1D.1考点直线与椭圆的位置关系题点中点弦问题答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程，得1，1，两式相减得·，因为线段AB的中点坐标为(1，1)，所以.因为右焦点为F(3,0)，c3，所以a218，b29，所以椭圆E的方程为1.二、填空题9若直线ya与椭圆1恒有两个不同的交点，则a的取值范围是_考点题点答案(2,2)解析由1，得2<y<2，2<a<2.10椭圆y21被直线xy10所截得的弦长|AB|_.考点直线与椭圆的位置关系题点弦长问题答案解析由得交点为(0,1)，则|AB|.11如图，椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率为_考点椭圆几何性质的应用题点求椭圆离心率的值答案1解析由直线方程y(xc)，得直线与x轴的夹角MF1F2，且过点F1(c,0)MF1F22MF2F1，MF1F22MF2F1，即F1MF2M.在RtF1MF2中，|F1F2|2c，|F1M|c，|F2M|c，由椭圆定义可得2acc，离心率e1.12若椭圆mx2ny21(m>0，n>0且mn)与直线xy10交于A，B两点，且，则原点与线段AB的中点M的连线的斜率为_考点直线与椭圆的位置关系题点中点弦问题答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，得m(x1x2)(x1x2)n(y1y2)(y1y2)0，即·0.1，kOM.三、解答题13已知椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆相交于A，B两点(1)求AB的中点坐标；(2)求ABF2的周长与面积考点直线与椭圆的位置关系题点弦长与三角形面积解(1)由1，知a，b，所以c1.所以F1(1,0)，F2(1,0)，所以直线l的方程为yx1，由消去y，整理得5x26x30.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，则x1x2，x1x2，x0，y01，所以AB的中点坐标为.(2)由题意，知F2到直线AB的距离d，|AB|·，所以SABF2|AB|d××，所以ABF2的周长为4a4，面积为.14椭圆1(a>b>0)与直线xy10相交于P，Q两点，且(O为坐标原点)(1)求证：等于定值；(2)若椭圆的离心率e，求椭圆长轴长的取值范围考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆相交时的其他问题(1)证明椭圆的方程可化为b2x2a2y2a2b20.由消去y，得(a2b2)x22a2xa2(1b2)0.由4a44(a2b2)·a2·(1b2)>0，得a2b2>1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2.，x1x2y1y20，即2x1x2(x1x2)10，即10，a2b22a2b2，即2.等于定值(2)解e，b2a2c2a2a2e2.又a2b22a2b2，2e22a2(1e2)，即a2.e，a2，即a，2a，即椭圆长轴长的取值范围是，15.已知椭圆1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：yxm与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足，求直线l的方程考点直线与椭圆的位置关系题点弦长与三角形面积解(1)由题设知解得a2，b，c1，椭圆的方程为1.(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2y21，圆心到直线l的距离d，由d<1，得|m|<.(*)|CD|22.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得x2mxm230，(m)24(m23)>0，得m2<4.由根与系数的关系可得x1x2m，x1x2m23.|AB|.由，得1，解得m±，满足(*)式，也满足>0.直线l的方程为yx或yx.