七年级数学下册第二章相交线与平行线2探索直线平行的条件平行线的证明与性质讲义北师大版.docx

平行线的证明与性质一、平行线的判定方法1.平行：如果两条直线a与b不相交，那么这两条直线a与b互相平行，记作a/b2.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行3.平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行即如果a/b，b/c，那么a/c4.判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线互相平行 简单说成：同位角相等，两直线平行5.在同一平面内，两条不同的直线的位置关系只有2种，就是相交和平行例1.（1）在同一平面内，下列说法正确的有（）过两点有且只有一条直线；两条不同的直线有且只有一个交点；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；过一点有且只有一条直线与已知直线平行A1个B2个C3个D4个（2）下列各种说法，正确的是（）在平面内的两条线段，如果没有公共点，那么这两条线段平行；如果两条射线平行，那么这两条射线没有公共点；如果两条直线没有公共点，那么这两条直线平行；在平面内的两条直线，不相交则一定平行ABCD答案：（1）B（2）D例2.（1）如图，若1=2，则_/_；若2=3，则_；若3=_，则l3/l4；若4=_，则l1/l2（2）已知l1.l2.l3被l4所截，若要使l1/l3，则添加的一个条件是（）A1=2B2=3C1=3D1=4（3）如图，直线MN分别交AB.CD于E.F，MFD=50°，EG平分MEB，则当MEG=_时，AB/CD答案：（1）l3l4；l1l2；4；1（2）C（3）25°提示：当MEBMFD时，ABCD即123又EG平分MEB， 2322150°，225°例3.（1）如图，2=31，且13=90°，试说明AB/CD12=180°，且2=31，131=180°，145°又13=90°，3=45°13，AB/CD（2）如图，已知1=2，AF平分EAQ，BC平分ABN，怎样说明PQ/MN解：AF平分EAQ，BC平分ABN，EAQ21，EBN22，又 12，EAQEBNPQMN（3）如图，已知直线A.B.c被直线D.e所截，1=2，3=4，那么直线a与直线c平行吗？为什么？解：直线a与直线c平行理由如下：12，ab又34，bcac(平行公理推论)二、平行线的判定方法1.判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.2.判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.例1.（1）如图，要使得AB/CD，必须具备的条件是_或_或_.（2）如图，下列条件中，不能判断直线l1/l2的是（）A1=3B2=3C4=5D24=180°（3）如图，下列判断错误的是（）A1=2，l3/l4B3=4，l3/l4C1=3，l3/l4D2=3，l1/l2（4）如图，已知1=2，则在结论：3=4AB/CDAD/BC中（）A三个都正确B只有一个正确C三个都不正确D只有一个不正确（5）如图，如果1=_，那么DE/AC；如果1=_，那么EF/BC；如果AED_=180°，那么AC/ED；如果2_=180°，那么AB/DF. 答案：（1）1=2，3=2，24=180°（2）B（3）C（4）B（5）CFEDAAED例2.如图，已知B=C，BD=180°，试说明为什么BC/DG？ 解：因为B=C，BD=180°，所以CD=180°，所以BC/DG.例3.如图，已知B=C，1=D，试问OM/AB吗？为什么？ 解：OM/AB理由如下：因为B=C，所以ABCD又 1=D，所以OM/CD所以 ABOM.例4.如图，BE平分ABD，DE平分BDC，12=90°，AB/CD吗？为什么？ 解：AB/CD理由如下：因为BE平分ABD，DE平分BDC，所以 ABD21，BDC22所以ABDBDC2（12）又1290°，所以ABDBDC180°所以ABCD.例5.如图，AC是BAD的平分线，1=3，2=4，试说明下列结论为什么成立？（1）AB/CD（2）AC/DE解：（1）因为AC平分BAD，所以12.又13，所以23.所以ABCD.（2）因为23，24.所以34，所以ACDE.三、平行线的性质性质1两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；性质2两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；性质3两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.例1.（1）如图，AB/CD，直线EF与AB.CD分别相交于G、H，AGE=60°，则EHD的度数是（）A30°B60°C120°D150°（2）如图，直线l1/l2，ABCD，1=34°，那么2的度数是_.（3）如图，已知1=2，3=80°，则4等于（）A80°B70°C60°D50°（4）如图，是明明养的小乌龟上的一块花纹，DE/FG，BC/DE，EF/DC，DC/AB，则B与F的关系是_.答案：（1）C（2）56°（3）A（4）B=F例2.（1）如图，已知AB/EF/CD，EG/DB，图中与1相等的角（1除外）共有（） A6个B5个C4个D3个（2）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB/DE，测得B=140°，D=120°，则C的度数为（）A120°B100°C140°D90°（3）在同一平面内有两个角，它们有一条边在同一直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是（）A相等B互补C相等且互补D相等或互补答案：（1）B（2）B（3）D例3.如图，已知ADBC于D，EGBC于G，且E=3，试说明AD平分BAC的理由.解：ADBC，EGBC，ADEG，E2，31又E=3，12AD平分BAC例4.已知，如图，1=2，A=F，试说明为什么C=D？ 解：AF，DFAC，C41=2，1=3，23，DBEC，D4又 C4CD例5.如图，已知12=180°，B=3，试判断AED与C的大小关系，并说明理由.解：AEDC理由如下：12180°，15180° 25，ABEF43又 B3，4BDEBC，AEDC例6.如图，已知ADAB，DE平分ADC，CE平分BCD，且12=90°，那么BCAB，说明理由. 解：DE平分ADC，CE平分BCD13，24又 1290°1234180°即 ADCBCD180° ADBC又 ADAB BCAB一、选择题1.下列说法正确的是（）A不相交的两条直线是平行线B互相平行的两条直线在同一平面内C同一平面内，不相交的两条线段是平行线D若线段AB和线段CD无交点，则它们一定平行2.已知直线l外点A，过点A作直线与l平行，那么这样的直线（）A有两条B不存在C有且只有一条D有一条或不存在3.下列推理正确的是（）A因为ad，bc，所以c/dB因为ac，b/d，所以cdC因为ab，ac，所以b/cD因为ab，c/d，所以ac4.在同一平面内，直线a与b相交，直线c与b相交，则a，c的位置关系是（）A一定相交B一定平行C也可能平行，也可能相交D上述都不对5.在同一平面内，下列说法：过两点有且只有一条直线；两条不相同的直线有且只有一个公共点；经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为（）A1个B2个C3个D4个6.如图所示立方体，下列说法正确的有（）AA1BB1；AA1CC1；AA1DD1；AA1A1B1A0个 B1个C2个 D3个7.在同一平面内有三条直线，若其中两条平行但与第三条直线不平行，则它们的交点的个数为（）A0个 B1个C2个 D3个8.如图所示，如果D=EFC，那么（）AAD/BCBEF/BCCAB/DCDAD/EF9.如图所示，P是直线l外一点，直线l1，l2都过点P，如果l1/l，那么l2与l_，根据_10.如图所示，在AOB的内部有一点P，已知AOB=60°(1)过点P作PCOA，PDOB；(2)量出CPD的度数，说出它与AOB的关系11.若直线ab，bc，cd，那么ad吗?为什么?对于n条直线l1，l2，l3，ln，若l1l2，l2l3，ln1ln，则又可得出什么结论?BCCCCDCD（1）略（2）CPD=60°，CPD与AOB相等或互补10.解：ab，bc，ac，又cd，ad同理l1l2l3ln1ln作业1一、选择题1.如图所示，下列条件中，能判断AB/CD的是（）ABAD=BCDB1=2C3=4DBAC=ACD2.如图所示，在下列给出的条件中，不能判断AB/DF的是（）AA2=180° BA=3C1=4D1=A3.如图所示，已知1=2，A=D，则下列推理正确的是（）A因为1=2，所以AB/CDB因为1=2，所以BE/CFC因为A=D，所以AB/CDD因为1=2，所以1=2=3=4二、填空题4.如图所示.（1）如图1=3，可推出_/_，其理由是_；（2）如果2=4，可推出_/_，其理由是_；（3）如果BBAD=180°，那么可推出_/_，其理由是_.5.如图所示，请你填写一个适当的条件：_，使AD/BC.6.在同一平面内，若直线a1a2，a2/a3，a3a4，a4/a5，a9a10，则a1与a10的位置关系为_（a1与a10不重合）.三、综合题7.如图所示，已知A=ACE，B=BDF，且A=B，那么CE/DF吗？8.如图所示，已知点B在直线DE上，ABCB，A=50°，CBD=40°，那么AC与BD是否平行？为什么？9.如图所示，直线EF交直线AB，CD于点M，N，EMB=END，MG平分EMB，NH平分END试探究MG与NH的位置关系，并说明理由.4.（1）AD/BC，内错角相等，两直线平行.（2）ABCD，内错角相等，两直线平行.（3）ADBC， 同旁内角互补，两直线平行.5.ADBDBC或DABABC180°.6.a1a107.解：CE/DF理由如下：因为A=ACE，B=BDF，且A=B，所以ACEBDF.因为ACEECDBDFCDF180°，所以 ECDCDF，所以CE/DF.8.解：平行，理由如下：ABCBABC=90°CBD=40°ABE=180°ABCCBD=180°90°40°=50°A=50°A=ABEAC/BD9.解：MG平分EMBEMG=EMBNH平分ENDENH=END又EMB=ENDEMG=ENHMG/NH作业2一、填空题1.如图，直线a/b，1=70°，则2=_.2.在第1题中，若a/b，则1与3的关系是_.3.如图，l1/l2，则1=_.4.如图，已知DE/BC，D=2DBC，1=22，则DEB=_.二、选择题5.如图，若ADBC，则有：AB180°，BC180°，CD180°以上结论正确的是（）ABCD6.如图，已知CD/AB，OE平分DOB，若D=50°，则AOE为（）A145°B155°C165°D175°7.若两条直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线（）A互相平行B互相垂直C重合D相交三、综合题8.如图，已知AB/CD，B=D，试判定AD与BC的位置关系，并证明.9.有一条直的的等宽纸带，按图折叠时，纸带重叠部分中是多少？10.如图，直线AC/BD，连结AB，直线AC.BD及线段AB把平面分成、四个部分，规定：线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时，连结PA.PB，构成PAC，APB，PBD三个角.（提示：有公共端点的两条重合的折射所组成的角是0°角）（1）当动点P落在第部分时，求证：APB=PACPBD；（2）当动点P落在第部分时，APB=PACPBD是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点P在第部分时，全面探究PAC，APB，PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.1.70°2.13=180°3.60°4.40°DBD8.平行理由如下：AB/CD，B+C180°BDD+C180°ADBC9.75°10.（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E ACBD, PEA = PBD. APB = PAE PEA, APB = PAC PBD.解法二：如图2过点P作FPAC, PAC = APF. ACBD，FPBD. FPB =PBD. APB =APF FPB =PACPBD.解法三：如图3， ACBD， CAB ABD = 180°即 PAC PAB PBA PBD = 180°.又APB PBA PAB = 180°, APB =PAC PBD.（2）不成立.（3）(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是PBD=PACAPB.(b)当动点P在射线BA上，结论是PBD =PAC APB.或PAC =PBD APB 或 APB = 0°，PAC =PBD（任写一个即可）.(c) 当动点P在射线BA的左侧时，结论是PAC =APB PBD.选择(a) 证明：如图4，连接PA，连接PB交AC于M ACBD, PMC =PBD.又PMC =PAM APM, PBD =PAC APB. 选择(b) 证明：如图5 点P在射线BA上，APB = 0°. ACBD ,PBD =PAC. PBD =PAC APB或PAC =PBDAPB或APB = 0°，PAC =PBD.选择(c) 证明：如图6，连接PA，连接PB交AC于F ACBD ,PFA =PBD. PAC =APF PFA, PAC =APB PBD.