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外文翻译--平衡梁的剪力和弯矩.doc

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外文翻译--平衡梁的剪力和弯矩.doc

SHEARFORCEANDBENDINGMOMENTINBEAMSLETUSNOWCONSIDER,ASANEXAMPLE,ACANTILEVERBEAMACTEDUPONBYANINCLINEDLOADPATITSFREEENDFIG15AIFWECUTTHROUGHTHEBEAMATACROSSSECTIONMNANDISOLATETHELEFTHANDPARTOFTHEBEAMASFREEBODYFIG15B,WESEETHATTHEACTIONOFTHEREMOVEDPARTOFTHEBEAMTHATIS,THERIGHTHANDPARTUPONTHELEFTHANDPARTMUSTASTOHOLDTHELEFTHANDINEQUILIBRIUMTHEDISTRIBUTIONOFSTRESSESOVERTHECROSSSECTIONMNISNOTKNOWNATTHISSTAGEINOURSTUDY,BUTWEEDOKNOWTHATTHERESULTANTOFTHESESTRESSESMUSTBESUCHASTOEQUILIBRATETHELOADPITISCONVENIENTTORESOLVETOTHERESULTANTINTOANAXIALFORCENACTINGNORMALTOTHECROSSSECTIONANDPASSINGTHROUGHTHECENTRIODOFTHECROSSSECTION,ASHEARFORCEVACTINGPARALLELTOTHECROSSSECTION,ANDABENDINGMOMENTMACTINGINTHEPLANEOFTHEBEAMTHEAXIALFORCE,SHEARFORCE,ANDBENDINGMOMENTACTINGATACROSSSECTIONOFABEAMAREKNOWNASSTRESSRESULTANTSFORASTATICALLYDETERMINATEBEAM,THESTRESSRESULTANTSCANBEDETERMINEDFROMEQUATIONSOFEQUILIBRIUMTHUS,FORTHECANTILEVERBEAMPICTUREDINFIG15,WEMAYWRITERTHREEEQUATIONSOFSTACTICSFORTHEFREEBODYDIAGRAMSHOWNINTHESECONDPARTOFTHEFIGUREFROMSUMMATIONSOFFORCESINTHEHORIZONTALANDVERTICALDIRECTIONSWEFIND,RESPECTIVELY,NPCOSΒVPSINΒAND,FROMASUMMATIONOFMOMENTSABOUTANAXISTHROUGHTHECENTROIDOFCROSSSECTIONMN,WEOBTAINMPXSINΒWHEREXISTHEDISTANCEFROMTHEFREEENDTOSECTIONMNTHUS,THROUGHTHEUSEOFAFREEBODYDIAGRAMANDEQUATIONSOFSTATICEQUILIBRIUM,WEAREABLETOCALCULATETHESTRESSRESULTANTSWITHOUTDIFFICULTYTHESTRESSINTHEBEAMDUETOTHEAXIALFORCENACTINGALONEHAVEBEENDISCUSSEDINTHETEXTOFUNIT2;NOWWEWILLSEEHOWTOOBTAINTHESTRESSESASSOCIATEDWITHBENDINGMOMENTMANDTHESHEARFORCEVTHESTRESSRESULTANTSN,VANDMWILLBEASSUMEDTOBEPOSITIVEWHENTHETHEYACTINTHEDIRECTIONSSHOWNINFIG15BTHISSIGNCONVENTIONISONLYUSEFUL,HOWEVER,WHENWEAREDISCUSSINGTHEEQUILIBRIUMOFTHELEFTHANDPARTOFTHEBEAMISCONSIDERED,WEWILLFINDTHATTHESTRESSRESULTANTSHAVETHESAMEMAGNITUDESBUTOPPOSITEDIRECTIONSSEEFIG15CTHEREFORE,WEMUSTRECOGNIZETHATTHEALGEBRAICSIGNOFASTRESSRESULTANTDOESNOTDEPENDUPONITSDIRECTIONINSPACE,SUCHASTOTHELEFTORTOTHERIGHT,BUTRATHERITDEPENDSUPONITSDIRECTIONWITHRESPECTTOTHEMATERIALAGAINST,WHICHITACTSTOILLUSTRATETHISFACT,THESIGNCONVENTIONSFORN,VANDMAREREPEATEDINFIG16,WHERETHESTRESSRESULTANTSARESHOWNACTINGONANELEMENTOFTHEBEAMWESEETHATAPOSITIVEAXIALFORCEISDIRECTEDAWAYFROMTHESURFACEUPONWHICHISACTSTENSION,APOSITIVESHEARFORCEACTSCLOCKWISEABOUTTHESURFACEUPONWHICHITACTS,ANDAPOSITIVEBENDINGMOMENTISONETHATCOMPRESSESTHEUPPERPARTOFTHEBEAMEXAMPLEASIMPLEBEAMABCARRIESTWOLOADS,ACONCENTRATEDFORCEPANDACOUPLEMO,ACTINGASSHOWNINFIG17AFINDTHESHEARFORCEANDBENDINGMOMENTINTHEBEAMATCROSSSECTIONSLOCATEDASFOLLOWSAASMALLDISTANCETOTHELEFTOFTHEMIDDLEOFTHEBEAMANDBASMALLDISTANCETOTHERIGHTOFTHEMIDDLEOFTHEBEAMSOLUTIONTHEFIRSTSTEPINTHEANALYSISOFTHISBEAMISTOFINDTHEREACTIONSRAANDRBTAKINGMOMENTSABOUTENDSAANDBGIVESTWOEQUATIONSOFEQUILIBRIUM,FROMWHICHWEFINDRA3P/4–MO/LRBP/4MO/LNEXT,THEBEAMISCUTATACROSSSECTIONJUSTTOTHELEFTOFTHEMIDDLE,ANDAFREEBODYDIAGRAMISDRAWNOFEITHERHALFOFTHEBEAMINTHISEXAMPLEWECHOOSETHELEFTHANDHALFOFTHEBEAN,ANDTHECORRESPONDINGDIAGRAMISSHOWNINFIG17BTHEFORCEPANDTHEREACTIONRAAPPEARINTHISDIAGRAM,ASALSODOTHEUNKNOWNSHEARFORCEVANDBENDINGMOMENTM,BOTHOFWHICHARESHOWNINTHEIRPOSITIVEDIRECTIONSTHECOUPLEMODOESNOTAPPEARINTHEFIGUREBECAUSETHEBEAMISCUTTOTHELEFTOFTHEPOINTWHEREMOISAPPLIEDASUMMATIONOFFORCESINTHEVERTICALDIRECTIONGIVESVR–PP/4M0/LWHICHSHOWNTHATTHESHEARFORCEISNEGATIVE;HENCE,ITACTSINTHEOPPOSITEDIRECTIONTOTHATASSUMEDINFIG17BTAKINGMOMENTSABOUTANAXISTHROUGHTHECROSSSECTIONWHERETHEBEAMISCUTFIG17BGIVESMRAL/2PL/4PL/8MO/2DEPENDINGUPONTHERELATIVEMAGNITUDESOFTHETERMSINTHISEQUATION,WESEETHATTHEBENDINGMOMENTMMAYBEEITHERPOSITIVEORNEGATIVETOOBTAINTHESTRESSRESULTANTSATACROSSSECTIONJUSTTOTHERIGHTOFTHEMIDDLE,WECUTTHEBEAMATTHATSECTIONANDAGAINDRAWANAPPROPRIATEFREEBODYDIAGRAMFIG17CTHEONLYDIFFERENCEBETWEENTHISDIAGRAMANDTHEFORMERONEISTHATTHECOUPLEMONOWACTSONTHEPARTOFTHEBEAMTOTHELEFTOFTHECUTSECTIONAGAINSUMMINGFORCEINTHEVERTICALDIRECTION,ANDALSOTAKINGMOMENTSABOUTANAXISTHROUGHTHECUTSECTION,WEOBTAINVP/4MO/LMPL/8MO/2WESEEFROMTHESERESULTSTHATTHESHEARFORCEDOESNOTCHANGEWHENTHESECTIONISSHIFTEDFROMLEFTTORIGHTOFTHECOUPLEMO,BUTTHEBENDINGMOMENTINCREASESALGEBRAICALLYBYANAMOUNTEQUALTOMOSELECTEDFROMSTEPHENPTIMOSHEKOANDJAMESMGERE,MECHANICSOFMATERIALS,VANNOSTRANDREINHOLDCOMPANYLTD,1978平衡梁的剪力和弯矩让我们来共同探讨像图15A所示悬梁自由端在倾斜拉力P的作用下的问题。如果将平衡梁在截面MN处截断且将其左边部分作为隔离体(图15(B)。可以看出隔离体截面(右边)的作用国必须和左边的作用力平衡,截面MN处应力的分布情况我们现阶段是不知道的,但我们知道这些应力的合力必须和拉力P平衡。按常规可将合力分解成为通过质点作用于横截面的轴向应力N、平行于截面的剪切力V和作用在平衡梁平面中的弯矩M。作用在截面上的轴向应力、剪切力和弯曲应力就是应力的合成力。比如静止的固定梁合成力可由平衡方程得出,如图15所示悬臂梁结构。这样就可以得到图形另一部分中的图示自由部分的三个平衡方程式。由水平合力和垂直合力的方向,可得NPCOSΒ如果将平衡梁在截面MN处截断且将其左边部分作为隔离体(图15(B)。可以看出隔离体截面(右边)的作用国必须和左边的作用力平衡,截面MN处应力的分布情况我们现阶段是不知道的,但我们知道这些应力的合力必须和拉力P平衡。按常规可将合力分解成为通过质点作用于横截面的轴向应力N、平行于截面的剪切力V和作用在平衡梁平面中的弯矩M。作用在截面上的轴向应力、剪切力和弯曲应力就是应力的合成力。比如静止的固定梁合成力可由平衡方程得出,如图15所示悬臂梁结构。这样就可以得到图形另一部分中的图示自由部分的三个平衡方程式。由水平合力和垂直合力的方向,可得NPCOSΒVPSINΒ如果将平衡梁在截面MN处截断且将其左边部分作为隔离体(图15(B)。可以看出隔离体截面(右边)的作用国必须和左边的作用力平衡,截面MN处应力的分布情况我们现阶段是不知道的,但我们知道这些应力的合力必须和拉力P平衡。按常规可将合力分解成为通过质点作用于横截面的轴向应力N、平行于截面的剪切力V和作用在平衡梁平面中的弯矩M。作用在截面上的轴向应力、剪切力和弯曲应力就是应力的合成力。比如静止的固定梁合成力可由平衡方程得出,如图15所示悬臂梁结构。这样就可以得到图形另一部分中的图示自由部分的三个平衡方程式。由水平合力和垂直合力的方向,可得NPCOSΒVPSINΒ由通过截面MN质心的轴向总弯矩,可得MPXSINΒ其中力是自由端到截面MN的距离。因此,通过隔离体图解和静态平衡方程,可简单地计算出各合成力。属于单独作用的轴向应力N的应力已经在第二单元讨论过了,在这里我们将讨论怎样解出与这些应力有关的弯矩M和剪切力V。假设如图15B所示合成力N、V和弯矩M的作用方向为正,当我们在讨论梁

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