习题课1.doc

1习题课1（实数与极限，供参考、选用）一、概念题1．假设数列{}na无上界，求证存在子列}{jna，使得当j时，jna单调增加趋向于正无穷大．2.若非空有界集合A没有最大值，则在A中存在一个无穷点列}{nx，使得Axnnsuplim．3．若数列{}na中既无最小值，也无最大值，问{}na是否收敛，请证明你的结论。二、夹逼定理和单调收敛定理１．1111lim222nnnnnnnknn2122lim２．设,baCf，0xf，}|max{bxaxfM．求证Mxxfnbann1dlim．３．用单调收敛定理说明2141211explimnn存在，131211explimnn不存在．4.设数列{}na满足10na，并且4111nnaa,2,1n.求证21limnna。提示利用单调收敛定理证明{}na收敛三、综合题１．设有函数xf．如果满足f，则称是函数xf的一个不动点．求xf的不动点（如果存在）的一个简单方法是适当地取一个初始点0x，构造迭代点列,2,11nxfxnn．如果点列}{nx收敛于，那么在一定条件下就是xf的不动点．假设是xf的一个不动点．xf在点的某个邻域中存在连续的导数xf，1||f．求证如果在的附近取一个初始点0x，则迭代点列,2,11nxfxnn收敛于．２．假设xf在,0有界，处处可导．求证存在一个单调增加并且趋向于正无穷的点列}{nx，使得0nxf．３．设数列}{na有界，满足02lim2nnnaa．求证0limnna．兴趣题１．（选自R.柯朗H.罗宾什么是数学）2设A和B是平面上的两个互不相交的区域（平面区域指由连续的简单闭曲线围成的部分），用连续函数的介值定理解释①存在直线l，将区域A分成面积相等的两个区域②存在直线l，将区域A和B同时分成面积相等的两个区域③存在两条相互垂直的直线1l和2l，将区域A分成面积相等的四个区域。２．构造函数xf分别满足下列条件①xf仅在一个点连续②xf在所有无理点连续，在所有有理点间断③在所有点间断④在所有整数点连续，在其他点均为第二类间断．提示②考察为无理点，既约分数xqpxqxf0,1④考察为无理点，为有理点xxxxg0,sin．３．在3R中满足条件1lim222nnnnnzyx的,,zyx组成的集合是什么