习题课1.doc

1习题课1（实数与极限，供参考、选用）一、概念题1．假设数列{}NA无上界，求证存在子列}{JNA，使得当J时，JNA单调增加趋向于正无穷大．2若非空有界集合A没有最大值，则在A中存在一个无穷点列}{NX，使得AXNNSUPLIM．3．若数列{}NA中既无最小值，也无最大值，问{}NA是否收敛，请证明你的结论。二、夹逼定理和单调收敛定理１．1111LIM222NNNNN；NNKNN2122LIM２．设,BACF，0XF，}|MAX{BXAXFM．求证MXXFNBANN1DLIM．３．用单调收敛定理说明2141211EXPLIMNN存在，131211EXPLIMNN不存在．4设数列{}NA满足10NA，并且4111NNAA,2,1N求证21LIMNNA。提示利用单调收敛定理证明{}NA收敛三、综合题１．设有函数XF．如果满足F，则称是函数XF的一个不动点．求XF的不动点（如果存在）的一个简单方法是适当地取一个初始点0X，构造迭代点列,2,11NXFXNN．如果点列}{NX收敛于，那么在一定条件下就是XF的不动点．假设是XF的一个不动点．XF在点的某个邻域中存在连续的导数XF，1||F．求证如果在的附近取一个初始点0X，则迭代点列,2,11NXFXNN收敛于．２．假设XF在,0有界，处处可导．求证存在一个单调增加并且趋向于正无穷的点列}{NX，使得0NXF．３．设数列}{NA有界，满足02LIM2NNNAA．求证0LIMNNA．兴趣题１．（选自R柯朗H罗宾什么是数学）2设A和B是平面上的两个互不相交的区域（平面区域指由连续的简单闭曲线围成的部分），用连续函数的介值定理解释①存在直线L，将区域A分成面积相等的两个区域；②存在直线L，将区域A和B同时分成面积相等的两个区域；③存在两条相互垂直的直线1L和2L，将区域A分成面积相等的四个区域。２．构造函数XF分别满足下列条件①XF仅在一个点连续；②XF在所有无理点连续，在所有有理点间断；③在所有点间断；④在所有整数点连续，在其他点均为第二类间断．提示②考察为无理点，既约分数XQPXQXF0,1；④考察为无理点，为有理点XXXXG0,SIN