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习题课1.doc

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习题课1.doc

1习题课1(实数与极限,供参考、选用)一、概念题1.假设数列{}NA无上界,求证存在子列}{JNA,使得当J时,JNA单调增加趋向于正无穷大.2若非空有界集合A没有最大值,则在A中存在一个无穷点列}{NX,使得AXNNSUPLIM.3.若数列{}NA中既无最小值,也无最大值,问{}NA是否收敛,请证明你的结论。二、夹逼定理和单调收敛定理1.1111LIM222NNNNN;NNKNN2122LIM2.设,BACF,0XF,}|MAX{BXAXFM.求证MXXFNBANN1DLIM.3.用单调收敛定理说明2141211EXPLIMNN存在,131211EXPLIMNN不存在.4设数列{}NA满足10NA,并且4111NNAA,2,1N求证21LIMNNA。提示利用单调收敛定理证明{}NA收敛三、综合题1.设有函数XF.如果满足F,则称是函数XF的一个不动点.求XF的不动点(如果存在)的一个简单方法是适当地取一个初始点0X,构造迭代点列,2,11NXFXNN.如果点列}{NX收敛于,那么在一定条件下就是XF的不动点.假设是XF的一个不动点.XF在点的某个邻域中存在连续的导数XF,1||F.求证如果在的附近取一个初始点0X,则迭代点列,2,11NXFXNN收敛于.2.假设XF在,0有界,处处可导.求证存在一个单调增加并且趋向于正无穷的点列}{NX,使得0NXF.3.设数列}{NA有界,满足02LIM2NNNAA.求证0LIMNNA.兴趣题1.(选自R柯朗H罗宾什么是数学)2设A和B是平面上的两个互不相交的区域(平面区域指由连续的简单闭曲线围成的部分),用连续函数的介值定理解释①存在直线L,将区域A分成面积相等的两个区域;②存在直线L,将区域A和B同时分成面积相等的两个区域;③存在两条相互垂直的直线1L和2L,将区域A分成面积相等的四个区域。2.构造函数XF分别满足下列条件①XF仅在一个点连续;②XF在所有无理点连续,在所有有理点间断;③在所有点间断;④在所有整数点连续,在其他点均为第二类间断.提示②考察为无理点,既约分数XQPXQXF0,1;④考察为无理点,为有理点XXXXG0,SIN

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