习题课1.doc

1习题课1（实数与极限，供参考、选用）一、概念题1假设数列na无上界，求证存在子列jna，使得当j时，jna单调增加趋向于正无穷大2.若非空有界集合A没有最大值，则在A中存在一个无穷点列nx，使得Axnnsuplim3若数列na中既无最小值，也无最大值，问na是否收敛，请证明你的结论。二、夹逼定理和单调收敛定理)1111(lim222nnnnn；nnknn212)2(lim设,baCf，0)(xf，|)(maxbxaxfM求证Mxxfnbann1)d)(lim用单调收敛定理说明)2141211exp(limnn存在，)131211exp(limnn不存在4.设数列na满足10na，并且41)1(1nnaa),2,1(n.求证21limnna。提示：利用单调收敛定理证明na收敛：三、综合题设有函数)(xf如果满足)(f，则称是函数)(xf的一个不动点求)(xf的不动点（如果存在）的一个简单方法是适当地取一个初始点0x，构造迭代点列),2,1()(1nxfxnn如果点列nx收敛于，那么在一定条件下就是)(xf的不动点假设是)(xf的一个不动点)(xf在点的某个邻域中存在连续的导数)(xf，1|)(|f求证：如果在的附近取一个初始点0x，则迭代点列),2,1()(1nxfxnn收敛于假设)(xf在),0有界，处处可导求证存在一个单调增加并且趋向于正无穷的点列nx，使得0)(nxf设数列na有界，满足0)2(lim2nnnaa求证0limnna兴趣题：（选自R.柯朗H.罗宾：什么是数学）2设A和B是平面上的两个互不相交的区域（平面区域指由连续的简单闭曲线围成的部分），用连续函数的介值定理解释：存在直线l，将区域A分成面积相等的两个区域；存在直线l，将区域A和B同时分成面积相等的两个区域；存在两条相互垂直的直线1l和2l，将区域A分成面积相等的四个区域。构造函数)(xf分别满足下列条件：)(xf仅在一个点连续；)(xf在所有无理点连续，在所有有理点间断；在所有点间断；在所有整数点连续，在其他点均为第二类间断提示：考察为无理点，既约分数xqpxqxf0)(,1)(；考察为无理点，为有理点xxxxg0,sin)(在3R中满足条件1lim222nnnnnzyx的),(zyx组成的集合是什么？