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习题课1.doc

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习题课1.doc

1习题课1(实数与极限,供参考、选用)一、概念题1.假设数列{}na无上界,求证存在子列}{jna,使得当j时,jna单调增加趋向于正无穷大.2.若非空有界集合A没有最大值,则在A中存在一个无穷点列}{nx,使得Axnnsuplim.3.若数列{}na中既无最小值,也无最大值,问{}na是否收敛,请证明你的结论。二、夹逼定理和单调收敛定理1.)1111(lim222nnnnn;nnknn212)2(lim2.设],[baCf,0)(xf,}|)(max{bxaxfM.求证Mxxfnbann1)d)((lim.3.用单调收敛定理说明)2141211exp(limnn存在,)131211exp(limnn不存在.4.设数列{}na满足10na,并且41)1(1nnaa),2,1(n.求证21limnna。提示:利用单调收敛定理证明{}na收敛:三、综合题1.设有函数)(xf.如果满足)(f,则称是函数)(xf的一个不动点.求)(xf的不动点(如果存在)的一个简单方法是适当地取一个初始点0x,构造迭代点列),2,1()(1nxfxnn.如果点列}{nx收敛于,那么在一定条件下就是)(xf的不动点.假设是)(xf的一个不动点.)(xf在点的某个邻域中存在连续的导数)(xf,1|)(|f.求证:如果在的附近取一个初始点0x,则迭代点列),2,1()(1nxfxnn收敛于.2.假设)(xf在),0[有界,处处可导.求证存在一个单调增加并且趋向于正无穷的点列}{nx,使得0)(nxf.3.设数列}{na有界,满足0)2(lim2nnnaa.求证0limnna.兴趣题:1.(选自R.柯朗H.罗宾:什么是数学)2设A和B是平面上的两个互不相交的区域(平面区域指由连续的简单闭曲线围成的部分),用连续函数的介值定理解释:①存在直线l,将区域A分成面积相等的两个区域;②存在直线l,将区域A和B同时分成面积相等的两个区域;③存在两条相互垂直的直线1l和2l,将区域A分成面积相等的四个区域。2.构造函数)(xf分别满足下列条件:①)(xf仅在一个点连续;②)(xf在所有无理点连续,在所有有理点间断;③在所有点间断;④在所有整数点

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