习题课1.doc
1习题课1(实数与极限,供参考、选用)一、概念题1假设数列na无上界,求证存在子列jna,使得当j时,jna单调增加趋向于正无穷大2.若非空有界集合A没有最大值,则在A中存在一个无穷点列nx,使得Axnnsuplim3若数列na中既无最小值,也无最大值,问na是否收敛,请证明你的结论。二、夹逼定理和单调收敛定理)1111(lim222nnnnn;nnknn212)2(lim设,baCf,0)(xf,|)(maxbxaxfM求证Mxxfnbann1)d)(lim用单调收敛定理说明)2141211exp(limnn存在,)131211exp(limnn不存在4.设数列na满足10na,并且41)1(1nnaa),2,1(n.求证21limnna。提示:利用单调收敛定理证明na收敛:三、综合题设有函数)(xf如果满足)(f,则称是函数)(xf的一个不动点求)(xf的不动点(如果存在)的一个简单方法是适当地取一个初始点0x,构造迭代点列),2,1()(1nxfxnn如果点列nx收敛于,那么在一定条件下就是)(xf的不动点假设是)(xf的一个不动点)(xf在点的某个邻域中存在连续的导数)(xf,1|)(|f求证:如果在的附近取一个初始点0x,则迭代点列),2,1()(1nxfxnn收敛于假设)(xf在),0有界,处处可导求证存在一个单调增加并且趋向于正无穷的点列nx,使得0)(nxf设数列na有界,满足0)2(lim2nnnaa求证0limnna兴趣题:(选自R.柯朗H.罗宾:什么是数学)2设A和B是平面上的两个互不相交的区域(平面区域指由连续的简单闭曲线围成的部分),用连续函数的介值定理解释:存在直线l,将区域A分成面积相等的两个区域;存在直线l,将区域A和B同时分成面积相等的两个区域;存在两条相互垂直的直线1l和2l,将区域A分成面积相等的四个区域。构造函数)(xf分别满足下列条件:)(xf仅在一个点连续;)(xf在所有无理点连续,在所有有理点间断;在所有点间断;在所有整数点连续,在其他点均为第二类间断提示:考察为无理点,既约分数xqpxqxf0)(,1)(;考察为无理点,为有理点xxxxg0,sin)(在3R中满足条件1lim222nnnnnzyx的),(zyx组成的集合是什么?