习题课1解答与提示.doc

1习题课1（实数与极限，供参考、选用）一、概念题1假设数列na无上界，求证存在子列jna，使得当j时，jna单调增加趋向于正无穷大解：na无上界，所以存在1:11Man；令2,2max12naM，则由于na无上界，故存在22Man按此方法得到na的一个子列jna，满足,2max11jaMajjnjn显然jna单调增加趋向于正无穷大.2.若非空有界集合A没有最大值，则在A中存在一个无穷点列nx，使得Axnnsuplim证明：设Absup1b不是A的上界，所以存在Ax1，使得bxb11令21,min12xb，则2b不是A的上界，所以存在Ax2，使得bxb22即220xb由此得到22|bx再令21,min223xb，则3b不是A的上界，所以存在Ax3，使得bxb33即330xb由此得到33|bx以此类推，可以得到A中一个无穷点列nx，以及趋向于零的一个数列n，使得),2,1(|nbxnn于是Abxnnsuplim3若数列na中既无最小值，也无最大值，问na是否收敛，请证明你的结论。答案：发散证明：（）若数列na无界，则发散（）若数列na有界，令supnaM，infnam.显然mM由上题，在na中存在两个子列nx和ny，分别收敛于na的上确界M和下确界m于是数列na存在两个子列收敛于不同的极限，从而发散二、夹逼定理和单调收敛定理)1111(lim222nnnnn2提示：nnnnnnnnn222221111设,baCf，0)(xf，|)(maxbxaxfM求证Mxxfnbann1)d)(lim证明：若0)(xf，则结论显然成立因此不妨设)(xf不恒等于零假设Mf)(，并且不妨设ba此时有nnMn1)2(nnnnxxf1)d)(11nbanxxf1)d)(nnbanabMxM11)()d(（其中11|)(minnxnxfMn）当n时，MMn，1)2(1nn，1)(1nab于是由夹逼定理得到Mxxfnbann1)d)(lim用单调收敛定理说明)2141211exp(limnn存在，)131211exp(limnn不存在4.设数列na满足10na，并且41)1(1nnaa),2,1(n.求证21limnna。提示：利用单调收敛定理证明na收敛：na有界是显然的；当10x时有不等式41)1(xx，所以41)1(0nnaa。于是由题设推出)1(41)1(1nnnnaaaa.由此得到1nnaa.从而na单调增加.由单调收敛定理推出存在nnaAlim。在不等式41)1(1nnaa左端取极限得到41)1(AA，进一步推出得到41)1(AA，21A三、综合题设有函数)(xf如果满足)(f，则称是函数)(xf的一个不动点求)(xf的不动点（如果存在）的一个简单方法是适当地取一个初始点0x，构造迭代点列),2,1()(1nxfxnn如果点列nx收敛于，那么在一定条件下就是)(xf的不动点假设是)(xf的一个不动点)(xf在点的某个邻域中存在连续的导数)(xf，1|)(|f求证：如果在的附近取一个初始点0x，则迭代点列),2,1()(1nxfxnn收3敛于提示：1|)(|f并且)(xf连续，推出在点的某个邻域中恒有qxf|)(|（其中q是某个小于1的正数）|)(|)()(|111nnnnnxqxtffxfx假设)(xf在),0有界，处处可导求证存在一个单调增加并且趋向于正无穷的点列nx，使得0)(nxf提示：在区间2,21nn上应用拉格朗日中值定理设数列na有界，满足0)2(lim2nnnaa求证0limnna解：反证若0limnna不成立，则存在正数00，以及na的一个子列jna满足0|jna不妨设),2,1(0jajn另一方面，根据0)2(lim2nnnaa与极限保号性推出：p存在自然数N，当Nn时，2|2|02nnaa，于是对于充分大的j，有0022322|jjnnaa于是得到一个子列2jna，满足0223|jna同样的方法又得到子列4jna，满足0425|jna最后推出na无界兴趣题：（选自R.柯朗H.罗宾：什么是数学）设A和B是平面上的两个互不相交的区域（平面区域指由连续的简单闭曲线围成的部分），用连续函数的介值定理解释：存在直线l，将区域A分成面积相等的两个区域；存在直线l，将区域A和B同时分成面积相等的两个区域；存在两条相互垂直的直线1l和2l，将区域A分成面积相等的四个区域。构造函数)(xf分别满足下列条件：)(xf仅在一个点连续；)(xf在所有无理点连续，在所有有理点间断；在所有整数点连续，在其他点均为第二类间断提示：考察为无理点，既约分数xqpxqxf0)(,1)(；考察为无理点，为有理点xxxxg0,sin)(在3R中满足条件1|limnnnnnzyx的),(zyx组成的集合是什么？