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习题课1解答与提示.doc

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习题课1解答与提示.doc

1习题课1(实数与极限,供参考、选用)一、概念题1.假设数列{}na无上界,求证存在子列}{jna,使得当j时,jna单调增加趋向于正无穷大.解:{}na无上界,所以存在1:11Man;令}2,2max{12naM,则由于{}na无上界,故存在22Man…按此方法得到{}na的一个子列}{jna,满足},2max{11jaMajjnjn.显然jna单调增加趋向于正无穷大.2.若非空有界集合A没有最大值,则在A中存在一个无穷点列}{nx,使得Axnnsuplim.证明:设Absup.1b不是A的上界,所以存在Ax1,使得bxb11.令}21,min{12xb,则2b不是A的上界,所以存在Ax2,使得bxb22.即220xb.由此得到22||bx.再令}21,min{223xb,则3b不是A的上界,所以存在Ax3,使得bxb33.即330xb.由此得到33||bx.以此类推,可以得到A中一个无穷点列}{nx,以及趋向于零的一个数列}{n,使得),2,1(||nbxnn.于是Abxnnsuplim.3.若数列{}na中既无最小值,也无最大值,问{}na是否收敛,请证明你的结论。答案:发散.证明:(1)若数列{}na无界,则发散.(2)若数列{}na有界,令}sup{naM,}inf{nam.显然mM.由上题,在{}na中存在两个子列}{nx和}{ny,分别收敛于{}na的上确界M和下确界m.于是数列{}na存在两个子列收敛于不同的极限,从而发散.二、夹逼定理和单调收敛定理1.)1111(lim222nnnnn2提示:nnnnnnnnn2222211112.设],[baCf,0)(xf,}|)(max{bxaxfM.求证Mxxfnbann1)d)((lim.证明:若0)(xf,则结论显然成立.因此不妨设)(xf不恒等于零.假设Mf)(,并且不妨设ba.此时有nnMn1)2(nnnnxxf1)d)((11nbanxxf1)d)((nnbanabMxM11)()d((其中}11|)(min{nxnxfMn)当n时,MMn,1)2(1nn,1

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