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习题课1解答与提示.doc

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习题课1解答与提示.doc

1习题课1(实数与极限,供参考、选用)一、概念题1.假设数列{}NA无上界,求证存在子列}{JNA,使得当J时,JNA单调增加趋向于正无穷大.解{}NA无上界,所以存在111MAN;令}2,2MAX{12NAM,则由于{}NA无上界,故存在22MAN按此方法得到{}NA的一个子列}{JNA,满足},2MAX{11JAMAJJNJN.显然JNA单调增加趋向于正无穷大2若非空有界集合A没有最大值,则在A中存在一个无穷点列}{NX,使得AXNNSUPLIM.证明设ABSUP.1B不是A的上界,所以存在AX1,使得BXB11.令}21,MIN{12XB,则2B不是A的上界,所以存在AX2,使得BXB22.即220XB.由此得到22||BX.再令}21,MIN{223XB,则3B不是A的上界,所以存在AX3,使得BXB33.即330XB.由此得到33||BX.以此类推,可以得到A中一个无穷点列}{NX,以及趋向于零的一个数列}{N,使得,2,1||NBXNN.于是ABXNNSUPLIM.3.若数列{}NA中既无最小值,也无最大值,问{}NA是否收敛,请证明你的结论。答案发散.证明(1)若数列{}NA无界,则发散.(2)若数列{}NA有界,令}SUP{NAM,}INF{NAM显然MM.由上题,在{}NA中存在两个子列}{NX和}{NY,分别收敛于{}NA的上确界M和下确界M.于是数列{}NA存在两个子列收敛于不同的极限,从而发散.二、夹逼定理和单调收敛定理1.1111LIM222NNNNN2提示NNNNNNNNN2222211112.设,BACF,0XF,}|MAX{BXAXFM.求证MXXFNBANN1DLIM.证明若0XF,则结论显然成立.因此不妨设XF不恒等于零.假设MF,并且不妨设BA.此时有NNMN12NNNNXXF1D11NBANXXF1DNNBANABMXM11D(其中}11|MIN{NXNXFMN)当N时,MMN,121NN,11NAB.于是由夹逼定理得到MXXFNBANN1DLIM.3.用单调收敛定理说明214

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