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习题课1解答与提示.doc

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习题课1解答与提示.doc

1习题课1(实数与极限,供参考、选用)一、概念题1.假设数列{}NA无上界,求证存在子列}{JNA,使得当J时,JNA单调增加趋向于正无穷大.解{}NA无上界,所以存在111MAN;令}2,2MAX{12NAM,则由于{}NA无上界,故存在22MAN按此方法得到{}NA的一个子列}{JNA,满足},2MAX{11JAMAJJNJN.显然JNA单调增加趋向于正无穷大2若非空有界集合A没有最大值,则在A中存在一个无穷点列}{NX,使得AXNNSUPLIM.证明设ABSUP.1B不是A的上界,所以存在AX1,使得BXB11.令}21,MIN{12XB,则2B不是A的上界,所以存在AX2,使得BXB22.即220XB.由此得到22||BX.再令}21,MIN{223XB,则3B不是A的上界,所以存在AX3,使得BXB33.即330XB.由此得到33||BX.以此类推,可以得到A中一个无穷点列}{NX,以及趋向于零的一个数列}{N,使得,2,1||NBXNN.于是ABXNNSUPLIM.3.若数列{}NA中既无最小值,也无最大值,问{}NA是否收敛,请证明你的结论。答案发散.证明(1)若数列{}NA无界,则发散.(2)若数列{}NA有界,令}SUP{NAM,}INF{NAM显然MM.由上题,在{}NA中存在两个子列}{NX和}{NY,分别收敛于{}NA的上确界M和下确界M.于是数列{}NA存在两个子列收敛于不同的极限,从而发散.二、夹逼定理和单调收敛定理1.1111LIM222NNNNN2提示NNNNNNNNN2222211112.设,BACF,0XF,}|MAX{BXAXFM.求证MXXFNBANN1DLIM.证明若0XF,则结论显然成立.因此不妨设XF不恒等于零.假设MF,并且不妨设BA.此时有NNMN12NNNNXXF1D11NBANXXF1DNNBANABMXM11D(其中}11|MIN{NXNXFMN)当N时,MMN,121NN,11NAB.于是由夹逼定理得到MXXFNBANN1DLIM.3.用单调收敛定理说明2141211EXPLIMNN存在,131211EXPLIMNN不存在.4设数列{}NA满足10NA,并且4111NNAA,2,1N求证21LIMNNA。提示利用单调收敛定理证明{}NA收敛①{}NA有界是显然的;②当10X时有不等式411XX,所以4110NNAA。于是由题设推出14111NNNNAAAA由此得到1NNAA从而{}NA单调增加由单调收敛定理推出存在NNAALIM。在不等式4111NNAA左端取极限得到411AA,进一步推出得到411AA,21A.三、综合题1.设有函数XF.如果满足F,则称是函数XF的一个不动点.求XF的不动点(如果存在)的一个简单方法是适当地取一个初始点0X,构造迭代点列,2,11NXFXNN.如果点列}{NX收敛于,那么在一定条件下就是XF的不动点.假设是XF的一个不动点.XF在点的某个邻域中存在连续的导数XF,1||F.求证如果在的附近取一个初始点0X,则迭代点列,2,11NXFXNN收3敛于.提示1||F并且XF连续,推出在点的某个邻域中恒有QXF||.(其中Q是某个小于1的正数)||||||||111NNNNNXQXTFFXFX2.假设XF在,0有界,处处可导.求证存在一个单调增加并且趋向于正无穷的点列}{NX,使得0NXF.提示在区间2,21NN上应用拉格朗日中值定理.3.设数列}{NA有界,满足02LIM2NNNAA.求证0LIMNNA.解反证.若0LIMNNA不成立,则存在正数00,以及}{NA的一个子列}{JNA.满足0||JNA.不妨设,2,10JAJN.另一方面,根据02LIM2NNNAA与极限保号性推出P存在自然数N,当NN时,2|2|02NNAA,于是对于充分大的J,有0022322||JJNNAA.于是得到一个子列}{2JNA,满足0223||JNA.同样的方法又得到子列}{4JNA,满足0425||JNA....最后推出}{NA无界.兴趣题1.(选自R柯朗H罗宾什么是数学)设A和B是平面上的两个互不相交的区域(平面区域指由连续的简单闭曲线围成的部分),用连续函数的介值定理解释①存在直线L,将区域A分成面积相等的两个区域;②存在直线L,将区域A和B同时分成面积相等的两个区域;③存在两条相互垂直的直线1L和2L,将区域A分成面积相等的四个区域。2.构造函数XF分别满足下列条件①XF仅在一个点连续;②XF在所有无理点连续,在所有有理点间断;③在所有整数点连续,在其他点均为第二类间断.提示②考察为无理点,既约分数XQPXQXF0,1;④考察为无理点,为有理点XXXXG0,SIN.3.在3R中满足条件1||||||LIMNNNNNZYX的,,ZYX组成的集合是什么

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