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函数级数 幂级数.doc

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函数级数 幂级数.doc

函数级数习题课习题一、函数序列和函数级数的一致收敛判别1.证明下列函数级数在指定区间上一致收敛(1),,1125NXNNX,(2)10,0,LN1LN22NNNX,(3)1SIN1NNXN解1232521|||2||1|25NXNNXXNNX,用比较判别法.2在,LL一致收敛.因为11LNLIM0TTT,所以当N充分大时有NNXNNX22LN||2|LN1LN|.当LXL时,NNLNNX22LN2|LN1LN|.于是由比较判别法推出一致收敛.3莱布尼茨级数,NXNXKRNKKN1SIN11|SIN1|||1.2.设XF在区间,有连续导数.1XFNXFNXGN.求证1在任意闭区间,BA上,}{XGN一致收敛于XF;2LIMAFBFDXXGBANN.解11,0,1NXNNXXFXFNXFNXGN由XF在1,BA一致连续可以推出XGN一致收敛于XF;2积分号下取极限,用牛顿-莱布尼茨公式.3.求证对于任意正数1Q,函数级数11NNNX在区间,QQ一致收敛.求该级数的和函数连续的区间.解由比值或根植判别法可以推出正项级数11NNNQ收敛.对于任意的,QQX,NNNQNX1|1|.该级数的和函数连续的区间1,1.二、幂级数1.NNNXA10的收敛域是3,1,则NNNXA20的收敛域是2,22.设幂级数1NNNAX在点2X收敛,则实数A的取值范围是31A3.设幂级数NNNXA0的收敛半径为1R,NNNXB0的收敛半径为2R.讨论幂级数NNNNXBA0的收敛半径.(},MIN{21RRR).4.证明012012121DSINNNNXXNNTTTX.5.将函数21X展开成幂级数NNNXA10.解112XX.0111111NNNXXX.6.求和1211NNNNN.解研究11NNNNX.1LN1XNXNN11X.逐项积分得到111LN1D1LN1011XXXXTTNNXXNN.于是当1||0X时,1LN1111XXXXNNXNN.令21X即得到最后结果.8.11212NNNXXS.求证XS满足微分方程1XXSXS.求出XS.(XTXTXS02121DEE2)

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