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函数级数 幂级数.doc

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函数级数 幂级数.doc

函数级数习题课习题一、函数序列和函数级数的一致收敛判别1.证明下列函数级数在指定区间上一致收敛(1),,1125nxnnx,(2)10,0,ln1ln22nnnx,(3)1sin1nnxn解1232521|||2||1|25nxnnxxnnx,用比较判别法.2在,ll一致收敛.因为11lnlim0ttt,所以当n充分大时有nnxnnx22ln||2|ln1ln|.当lxl时,nnlnnx22ln2|ln1ln|.于是由比较判别法推出一致收敛.3莱布尼茨级数,nxnxkrnkkn1sin11|sin1|||1.2.设xf在区间,有连续导数.1xfnxfnxgn.求证1在任意闭区间,ba上,}{xgn一致收敛于xf2limafbfdxxgbann.解11,0,1nxnnxxfxfnxfnxgn由xf在1,ba一致连续可以推出xgn一致收敛于xf2积分号下取极限,用牛顿-莱布尼茨公式.3.求证对于任意正数1q,函数级数11nnnx在区间,qq一致收敛.求该级数的和函数连续的区间.解由比值或根植判别法可以推出正项级数11nnnq收敛.对于任意的,qqx,nnnqnx1|1|.该级数的和函数连续的区间1,1.二、幂级数1.nnnxa10的收敛域是3,1,则nnnxa20的收敛域是2,22.设幂级数1nnnax在点2x收敛,则实数a的取值范围是31a3.设幂级数nnnxa0的收敛半径为1R,nnnxb0的收敛半径为2R.讨论幂级数nnnnxba0的收敛半径.(},min{21RRR).4.证明012012121dsinnnnxxnntttx.5.将函数21x展开成幂级数nnnxa10.解112xx.0111111nnnxxx.6.求和1211nnnnn.解研究11nnnnx.1ln1xnxnn11x.逐项积分得到111ln1d1ln1011xxxxttnnxxnn.于是当1||0x时,1ln1111xxxxnnxnn.令21x即得到最后结果.8.11212nnnxxS.求证xS满足微分方程1xxSxS.求出xS.(xtxtxS02121dee2)

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