攀枝花学院《概率论与数理统计》谢永钦课后习题答案

1概率论与数理统计习题及答案习题一1略见教材习题参考答案2设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生【解】（1）A（2）AB（3）ABC（4）ABCCBABCACABABCBABC5627BCACABCABBACBC8ABBCCAABACBCABC3略见教材习题参考答案4设A，B为随机事件，且P（A）07,PAB03，求P（）AB【解】P（）1P（AB）1PAPAB10703065设A，B是两事件，且P（A）06,PB07,求（1）在什么条件下P（AB）取到最大值（2）在什么条件下P（AB）取到最小值【解】（1）当ABA时，P（AB）取到最大值为06（2）当AB时，P（AB）取到最小值为036设A，B，C为三事件，且P（A）P（B）1/4，P（C）1/3且P（AB）P（BC）0，P（AC）1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率【解】P（ABC）PAPBPCPABPBCPACPABC143247从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少【解】P532115/8对一个五人学习小组考虑生日问题（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；3（3）求五个人的生日不都在星期日的概率【解】（1）设A1五个人的生日都在星期日，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故P（A1）（）5（亦可用独立性求解，下同）57（2）设A2五个人生日都不在星期日，有利事件数为65，故P（A2）563设A3五个人的生日不都在星期日P（A3）1PA11579略见教材习题参考答案10一批产品共N件，其中M件正品从中随机地取出N件（N30如图阴影部分所示230164P22从（0，1）中随机地取两个数，求8（1）两个数之和小于的概率；65（2）两个数之积小于的概率14【解】设两数为X,Y，则0正正（甲乙）（甲反1乙反）（甲反乙反）由对称性知P（甲正乙正）P（甲反乙反）因此P甲正乙正1246证明“确定的原则”（SURETHING）若P（A|C）PB|C,PA|PB|，则P（A）PB【证】由P（A|C）PB|C,得,C即有PACB同理由|,得故PACPABCPB47一列火车共有N节车厢，有KKN个旅客上火车并随意地选择车厢求每一节车厢内至少有一个旅客的概率【解】设AI第I节车厢是空的，（I1,N）,则191211NKKIKIJKIINPAPA其中I1,I2,IN1是1，2，N中的任N1个显然N节车厢全空的概率是零，于是211211122111231CC0NNNKKINIKIJIJNKNIIIINNISPASPASS12CCKKNKNN故所求概率为20121C1NKIINNPA1CNK48设随机试验中，某一事件A出现的概率为0试证明不论0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1【证】在前N次试验中，A至少出现一次的概率为11N49袋中装有M只正品硬币，N只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）在袋中任取一只，将它投掷R次，已知每次都得到国徽试问这只硬币是正品的概率是多少【解】设A投掷硬币R次都得到国徽B这只硬币为正品由题知,MNPB1|,|12RPAB则由贝叶斯公式知|PAB122RRRMNN50巴拿赫（BANACH）火柴盒问题某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根试求他首次发现一盒空时另一盒恰有R根的概率是多少第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有R根的概率又有多少21【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有（1）发现一盒已空，另一盒恰剩R根，说明已取了2NR次，设N次取自B1盒12PB（已空），NR次取自B2盒，第2NR1次拿起B1，发现已空。把取2NR次火柴视作2NR重贝努里试验，则所求概率为21CCNRRP式中2反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）（2）前2NR1次取火柴，有N1次取自B1盒，NR次取自B2盒，第2NR次取自B1盒，故概率为112122NNNRRR51求N重贝努里试验中A出现奇数次的概率【解】设在一次试验中A出现的概率为P则由0120CC1NNNNNQPQPQPQCNNNN以上两式相减得所求概率为13NNPQP12NQP若要求在N重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得21NPP52设A，B是任意两个随机事件，求P（B）（AB）（）（A）的值B22【解】因为（AB）（）AB（B）（A）ABA所求BB故所求值为053设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件ABC，PAPBPC0,PA|B1,试比较PAB与PA的大小2006研考解因为BP所以PABPBA26习题二1一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律【解】352435,0C06XPX故所求分布律为X345P010306272设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求（1）X的分布律；（2）X的分布函数并作图；333,1,1,12222PXP【解】315231350,CCXPX故X的分布律为X012P235235135（2）当XA时，F（X）1即分布函数0,01,XFXAA18设随机变量X在2，5上服从均匀分布现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率38【解】XU2,5，即1,2530XFX其他53DPX故所求概率为233120C7P19设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开他一个月要到银行5次，5E以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求PY1【解】依题意知，即其密度函数为15XE51E,0XF该顾客未等到服务而离开的概率为2510EDXPX,即其分布律为25EYB39225525CE1,01,3410E67KKPY20某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）（1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些（2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些【解】（1）若走第一条路，XN（40，102），则406620971XPX若走第二条路，XN（50，42），则505384故走第二条路乘上火车的把握大些（2）若XN（40，102），则0545056911XP若XN（50，42），则42P12501640故走第一条路乘上火车的把握大些21设XN（3，22），（1）求P202FX,0,212他B试确定常数A,B，并求其分布函数F（X）【解】（1）由知DFX|02ED2EDXAA44故2A即密度函数为E,02XF当X0时1DEXXXFF当X0时00D2X1EX故其分布函数1E,02,XFX2由12011DDBFXBX得B1即X的密度函数为452,01,XF其他当X0时F（X）0当00时，ELNXYPXYLNDYXF故2/LN11LNE,0DYYYXFYFYFY221PYX当Y1时0YFPY49当Y1时21YFPYXY212YP1/2DYXFX故D1142YYXYYFYFFFY1/412E,30PY当Y0时0YFPY当Y0时|XXYDYFX故DYYXFYFFFY2/E,0Y5031设随机变量XU（0,1），试求（1）YEX的分布函数及密度函数；（2）Z2LNX的分布函数及密度函数【解】（1）01P故EX当时Y0YFY当10时，2LNXZ/2LNEZ/21/2EDZZX即分布函数/20,1EZZF故Z的密度函数为/2,0ZZF32设随机变量X的密度函数为FX2,0,X其他试求YSINX的密度函数【解】01P52当Y0时，0YFYP当00）1，故06,则P（X1时，ELNXYYPYLN01DYX即,01YYFY故2,YYFY51设随机变量X的密度函数为FXX,12求Y1的密度函数FYY3X65【解】3311YFYPXYPY332113DARCTGARCTGYYXY故261YYF52假设一大型设备在任何长为T的时间内发生故障的次数N（T）服从参数为T的泊松分布（1）求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q（1993研考）【解】（1）当TT与NT0等价，有1101ETTFTPTTTPNT即1E,0TTT即间隔时间T服从参数为的指数分布。（2）168E16|816/8QPPT53设随机变量X的绝对值不大于1，PX11/8，PX11/4在事件1P|Y2|0的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为P（01P0,PX1,Y1PU1,U11X21D1,4XU故得X与Y的联合概率分布为,1,04242因,而XY及（XY）2的概率分布相应2DXYE为,01422041从而,EXY2102所以2DEXY11331设随机变量X的概率密度为FX，（X）XE211求E（X）及D（X）；（2）求COVX,|X|,并问X与|X|是否不相关（3）问X与|X|是否相互独立，为什么【解】1|1ED02X|20EDXX2COV,|XEXEX|1|E,2X所以X与|X|互不相关3为判断|X|与X的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域X中的子区间（0,）上给出任意点X0，则有00|XX所以0|1P故由00000,|XXPXXPX得出X与|X|不相互独立32已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数XY1/2，设Z23（1）求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；（2）求X与Z的相关系数XZ；（3）问X与Z是否相互独立，为什么【解】1132YE2COV,33XYXYDZ1196,4而COV,3462XYD所以16Z1142因11COV,COV,OV,322XYXZXY19630,D所以OVXZDZ3由，得X与Z不相关又因，所以X与Z也0XZ1,31,9NX相互独立33将一枚硬币重复掷N次，以X和Y表示正面向上和反面向上的次数试求X和Y的相关系数XY【解】由条件知XYN，则有D（XY）D（N）0再由XBN,P,YBN,Q，且PQ,12从而有4Y所以0XD故12,4XYNXY34设随机变量X和Y的联合概率分布为10101007018015008032020试求X和Y的相关系数【解】由已知知EX06,EY02，而XY的概率分布为YX101P00807202所以E（XY）00802012COVX,YEXYEXEY01206020从而035对于任意两事件A和B，0PA1，0PB1,则称为事件A和B的相关系数试证P（1）事件A和B独立的充分必要条件是0；（2）|1YX115【证】（1）由的定义知，0当且仅当PABPAPB0而这恰好是两事件A、B独立的定义，即0是A和B独立的充分必要条件2引入随机变量X与Y为1,0若发生若发生1,0Y若发生若发生由条件知，X和Y都服从01分布，即PA1PB从而有EXPA,EYPB,DXPAP,DYPBP,COVX,YPABPAPB所以，事件A和B的相关系数就是随机变量X和Y的相关系数于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得