2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题

硕博考研WWWEDUFZUCOM12009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内（1）函数的可去间断点的个数，则（D）3SINXF123无穷多个ABC（2）当时，与是等价无穷小，则（）0XSIFXAX2LN1GBX1,6AB1,6B,6AD1,6AB（3）设函数的全微分为，则点（）ZFXYDZXY0不是的连续点不是的极值点A,B,F是的极大值点是的极小值点CFXYDXY（4）设函数连续，则（）,22411,YXDFDFXDA241,XDFYB241,XFCDY（5）若不变号，且曲线在点上的曲率圆为，则在区FXYFX,2XYFX间内（）1,2有极值点，无零点无极值点，有零点AB有极值点，有零点无极值点，无零点CD（6）设函数在区间上的图形为YFX1,3硕博考研WWWEDUFZUCOM2则函数的图形为（）0XFFTDDAF023X1211BFX023X1211CFX023X111DFX023X1211（7）设、均为2阶矩阵，分别为、的伴随矩阵。若，则分块ABAB，AB，矩阵的伴随矩阵为（）0A320B03A1FX2023X1O硕博考研WWWEDUFZUCOM3C03A2BD02A3B（8）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若P，TPT10P2，则为（）Q123123（，），（，）QATA0B0C201D102二、填空题914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（9）曲线在处的切线方程为2X0LNUTEDYTT（，0）（10）已知,则1KXE（11）NLIMSI0XD（12）设是由方程确定的隐函数，则YY1EX2X0DY（13）函数在区间上的最小值为2X0，14设为3维列向量，为的转置，若矩阵相似于，则，TT20T硕博考研WWWEDUFZUCOM420三、解答题1523小题，共94分请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（15）（本题满分9分）求极限401COSLN1TALIMIXXX（16）（本题满分10分）计算不定积分LDX0（17）（本题满分10分）设，其中具有2阶连续偏导数，求与,ZFXYFDZ2ZXY（18）（本题满分10分）设非负函数满足微分方程，当曲线过原点时，其X020XYYX与直线及围成平面区域的面积为2，求绕轴旋转所得旋转体体积。1YD（19）（本题满分10分）求二重积分，XYD其中22,1,DXYY（20）（本题满分12分）设是区间内过的光滑曲线，当时，曲线上任一点处（，）2（，）0X的法线都过原点，当时，函数满足。求的表达式0XYXYY（21）（本题满分11分）（）证明拉格朗日中值定理若函数在上连续，在可导，则存在F,AB,AB，使得,ABFA（）证明若函数在处连续，在内可导，且，则X00,0LIMXFA硕博考研WWWEDUFZUCOM5存在，且。0F0FA（22）（本题满分11分）设，1421（）求满足的所有向量22131,A3,（）对（）中的任一向量，证明线性无关。2,12（23）（本题满分11分）设二次型2233123,FXAXXX（）求二次型的矩阵的所有特征值；F（）若二次型的规范形为，求的值。21Y硕博考研WWWEDUFZUCOM62008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内（1）设，则的零点个数为（）21FXXFX0123ABCD（2）曲线方程为函数在区间上有连续导数，则定积分（）YFX0,A0ATFXD曲边梯形ABOD面积梯形ABOD面积B曲边三角形面积CAD三角形面积（3）在下列微分方程中，以（为任意常数）为通解123COSIN2XYCECX123,C的是（）A40YB40YYCYD（5）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（）FX,NX若收敛，则收敛若单调，则收敛ANNFBNFX硕博考研WWWEDUFZUCOM7若收敛，则收敛若单调，则收敛CNFXNXDNFXNX（6）设函数连续，若，其中区域为图中阴影部分，则F2,UVDFXYFDUVDFUA2VFB2VFUC（7）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵若，则（）ANEN30A不可逆，不可逆不可逆，可逆EBE可逆，可逆可逆，不可逆CD（8）设，则在实数域上与合同的矩阵为（）12AA12B21CD21二、填空题914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（9）已知函数连续，且，则FX20COSLIM1XFE0_F（10）微分方程的通解是2XYEDYY（11）曲线在点处的切线方程为SINL0,1硕博考研WWWEDUFZUCOM8（12）曲线的拐点坐标为_235YX（13）设，则Z1,2_Z（14）设3阶矩阵的特征值为若行列式，则A,3248A_三、解答题1523小题，共94分请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本题满分9分）求极限40SINSINLMXX16（本题满分10分）设函数由参数方程确定，其中是初值问题YX20LN1TYUDXT的解求02XTDE2X17（本题满分9分）求积分120ARCSINXD18（本题满分11分）求二重积分其中MAX,DY,02,DXYY19（本题满分11分）设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且对任意的F0,01F，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成0,TXTYFXX一旋转体若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式F20（本题满分11分）1证明积分中值定理若函数在闭区间上连续，则至少存在一点，FX,AB,AB使得BAFXDFBA硕博考研WWWEDUFZUCOM92若函数具有二阶导数，且满足，证明至少存在一点X3221,XD1,30使得（21）（本题满分11分）求函数在约束条件和下的最大值与最小值22UXYZ2ZXY4Z（22）（本题满分12分）设矩阵，现矩阵满足方程，其中，221NAAAAXB1,TNX，1,0B（1）求证；1NA（2）为何值，方程组有唯一解，并求；A1X（3）为何值，方程组有无穷多解，并求通解（23）（本题满分10分）设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足A12,A,13，32（1）证明线性无关；13,（2）令，求2P1PA硕博考研WWWEDUFZUCOM102007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题110小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内（1）当时，与等价的无穷小量是0XX（A）（B）（C）（D）E1LN1X1COSX（2）函数在上的第一类间断点是1TAEXF,（A）0（B）1（C）（D）22（3）如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆YFX3,周，在区间的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设，则2,00DXFFT下列结论正确的是硕博考研WWWEDUFZUCOM11（A）B324F5324F（C）（D）（4）设函数在处连续，下列命题错误的是FX0（A）若存在，则（B）若存在，则0LIMXF0LIMXFX0F（C）若存在，则（D）若存在，则F0（5）曲线的渐近线的条数为1LNEXY（A）0（B）1（C）2（D）3（6）设函数在上具有二阶导数，且，令，则下列结论正确F0,0FXNUF的是A若，则必收敛B若，则必发散12UNU12UNC若，则必收敛D若，则必发散U（7）二元函数在点处可微的一个充要条件是,FXY0,（A）,0,LIMXYF（B）00,0LI,LIMXYFFF且（C）2,0,LIXYFFX硕博考研WWWEDUFZUCOM12（D）00LIM,0,LIM,0,XXYYFFFF且（8）设函数连续，则二次积分等于Y1SIN2DDX（A）（B）10ARCSIND,DYFX0ARCSIN,DYFX（C）（D）212（9）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是13,线性相关，则AB1231,1231,CD22（10）设矩阵，则与01,12ABABA合同且相似（B）合同，但不相似C不合同，但相似D既不合同也不相似二、填空题1116小题，每小题4分，共24分把答案填在题中横线上（11）_30ARCTNSILIMXX（12）曲线上对应于的点处的法线斜率为_2O1SITTY4T（13）设函数，则_3X0NY（14）二阶常系数非齐次微分方程的通解为_23EXYY（15）设是二元可微函数，则_,FUV,ZFZ（16）设矩阵，则的秩为01A3A三、解答题1724小题，共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤硕博考研WWWEDUFZUCOM13（17）本题满分10分设是区间上单调、可导的函数，且满足，FX0,4100COSINDDFXXTTT其中是的反函数，求1FFX（18）（本题满分11分）设是位于曲线下方、轴上方的无界区域D21,0XAYX（）求区域绕轴旋转一周所成旋转体的体积；VA（）当为何值时，最小并求此最小值AV（19）（本题满分10分）求微分方程满足初始条件的特解2YXY1Y（20）（本题满分11分）已知函数具有二阶导数，且，函数由方程所确定，FU0FYX1EYX设，求LNSIZFYX200D,XXZ（21）本题满分11分设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，,FG,AB,AB，证明存在，使得FAFG（22）本题满分11分设