2005天津市人文类竞赛真题及答案

2005 年天津市大学数学竞赛试题参考答案（人文学科及医学等类）一、填空：（本题 15 分，每空 3 分。请将最终结果填在相应的横线上面。 ）1 已知 ，则 。12xfxf222 设函数 ，则 。txttf2lim)()(tfte)13 设 ，则 0 。fcosin)19(f4 设函数 在闭区间 上的最大值为 M，最小值为 m，则(m，M) = xy2,。36,55 设函数 由方程 所确定，则 。)(xyxyarctn2e2dxy32)(y二、选择题：（本题 15 分，每小题 3 分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。 ）1 设 在 处连续，则( D )01e)(2x,-baxfx（A） ； （B） ； 0ba（C） ； （D） 。ba 2 当 时， 是 的（ B ）0xxsin2（A）低阶无穷小； （B）高阶无穷小；（C）等价无穷小； （D ）同阶但非等价无穷小。3 设函数 可导，且 ，若要使 在 点处可导，则必有（ A )(xfxfxFsin1)(xF0）（A） ； （B） ；0)(f )0(f（C） ； （D ） 。 4设 ，则 在 上（ D ）,212)(x,xf xtfG0dxG2,0(A) 是 的一个原函数； (B) 是 的一族原函数；xf xf(C) 连续且可导，但 ； (D) 连续不可导。)(xfG5 设 与 均为在 上有定义的函数， 在 上连续且 ，xf)(, )(xfy, 0)(xf在 上有间断点，则下列结论中的正确者为（ C ）)(y,(A) 必有间断点； (B) 必有间断点；xf )(xf(C) 必有间断点； (D) 必有间断点。)(f 2f三、求由参数方程 所确定的函数 的二阶导 。 （本题 7 分）taytxsincos2l xy2dxy解：，tttatxyansi2ecn12otd。tattattxytxy 4222 cosinsiecn1cosdd 四、设函数 试问： 当 a 为何值时， 在点 处连续； ,xxa,xfa04sin1e6rcsiln23 )(xf0当 a 为何值时， 为函数 的可去间断点。 （本题 8 分）0x)(f解：。 axxaxaxafxx 61-lim13lircsinlimrcsin1li)(lim 202030300 21elim2 2elim1e4limsin1li)(li0 020200 aa xaxaxxfxx axaxaxx欲使 ，只需命 ，解得 。)(li)(0ffxx 26a2,1a于是有当 时， ，故可知，此时 在点 处连续；1a)()(li0ffx)(xf0当 时， ，因此，此时 为函数 的可去间断点。2012m)(f五、计算 ，其中 。 （本题 7 分）10dxfxydf32e解： 6e10e160ed01e6 ed61ed332622 6262 010310310310 xxxx xxxxfff六、设曲线 与 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A 的直线与),(2ay 2y曲线 围成一平面图形，试问：2ax 当 a 为何值时，该图形绕 x 轴一周所得的旋转体体积最大？ 最大体积为多少？（本题 8 分）解：当 x0 时，由 ，解得，A 点的坐标为 ，故直线 OA 的方程为21xyaax1y。ay1于是，平面图形绕 x 轴一周所得的旋转体体积为：。2501523210421d)(V axaxaaa 上式两边对 a 求导： 。)(15)4(515d)( 27232 aa命： ，得到 a=4。由于 a=4 是当 时 的唯一驻点，且由问题的实际意义可知存0d)(Va0)(Va在最大体积，故 在 a=4 时取最大值。其最大体积为：。187532415)(V七、设 其中 具有二阶连续导数，且 ，求 ，,x,gxfx00exg10,gxf并讨论 在 上的连续性。 （本题 7 分）f解：当 时， 可导，且xxf；22 e1eexgxggfxx 当 时，由导数定义0x。102elimeli0lim0200 gxxxff xxx因此有 。 ,0,102,2xgf又 012elimelimli 000 fxggxxgxf xx 故 在 点处连续，从而 在 上的连续。f f,八、求 。 （本题 8 分） nnn1si31si2i1sil 解：注意到： nknn nn1sisi3si2isi1 1si31si2isiiiii 由积分定义，对上面不等式的右端取极限，得到。2dsinsi1lim10xnk而不等式的左端取极限，有。si1lisin1li nkkn由夹逼定理知。21sin31si2i1silm nn九、设函数 在 上连续，在 内可导，且满足 ，证明：至少xf2,0,00dcos20xf存在一点 ，使得 。 （本题 8 分）,fftan证明：由 ，可知 ，使得 ，由于 ，0dcos20xf 2,0x0cos02xf 0cosx因此必有 。xf取辅助函数 ，则 在 上连续，在 内可导，并且xfF2cosF2,02,0。由罗尔定理可知020x，2,0,0x使得 ，0coscos2in ffF于是有 。taf十、设函数 在 上具有二阶导数，且对一切 有 。证明在 内曲xf),0,0x0xf,线 上任意一点 处的切线与该曲线不相交（切点除外） 。 （本题 8 分）fyf证明：设切线方程为 ，并命00xfxy，0xffyfF于是要证明原命题成立，只需证明 在 内除 外无零点。x,0x由 ，不妨设 （ 的情况可类似证明） ，于是可知 为增函数。0xfF0FxF又由于，0,0 xfxf因此 为 的极小值点，且 ，于是0x0当 时， ， ；当 时， ， 。xF0xFx即对任意的 ， 有唯一零点 ，亦即 在 内除 外无零点，这就是说，曲,0 ,00线 上任意一点 处的切线与该曲线不相交（切点除外）xfy0xf十一、设函数 在闭区间a,b 上具有连续的二阶导数，证明：存在 (a,b)，使得)(f。)(2)(42 fbfaffab（本题 9 分）证明：将函数 在点 处作泰勒展开，并分别取 x=a 和 b，得到)(xf0； 2,2)(!212)( 1bafbafb