2009年天津市人文类竞赛真题及答案

2009 年天津市大学数学竞赛试题参考答案（人文学科及医学等类）一、填空：（本题 15 分，每空 3 分。请将最终结果填在相应的横线上面。 ）1 。nnn121lim e42 设 ，则使 存在的最大 n = 4 。xf40f3 0 。02dcos1s4 。27x35 设曲线 由方程 确定，则该曲线在点 处的切线方程为 y2xy1, 154xy。二、选择题：（本题 15 分，每小题 3 分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。 ）1 当 x 0 时， 是 x 的（ B ） 。2x（A）等价无穷小； （B）同价但非等价无穷小；（C）高阶无穷小； （D ）低阶无穷小。2 函数 的第一类间断点的个数为（ C ） 。xf1ln（A）0； （ B）1； （C）2； （D）3。3 设 是周期为 2 的周期函数，且 ，则 （ D ） 。xf 1f3lim0fhfh（A）2； （ B）1； （C） ； （D）1。24 设 ， ，则 在 x = 0 点处（ C ） 。0ex,f xtfF1dF（A）极限不存在； （B）极限存在但不连续；（C）连续但不可导； （D ）可导且 。5设 与 具有任意阶导数，且 ，xfg1e xfxgfxf， ，则（ A ） 。10f0（A） 为函数 的极小值； （B ） 为函数 的极大值；0fxf 0fxf（C）点（0,1）为曲线 的拐点； （D ）极值与拐点由 确定。fyg三、设函数 04sin1e6arcsiln23xxxf ， ， a 为何值时， 在 x = 0 点处连续；f a 为何值时，x = 0 为 的可去间断点。 （本题 8 分）解：因为 axxa xaxxfxxx 6113lim13limrcsinlircsin1lili 220 2030300 42eli2 2elim41elimsinlili0 02000 aa xaxafxx axxax命： ，即 ，解得 。ffx0lim426a1,a当 时， ，故 在 x = 0 点处连续。1ff当 时， ，故 x = 0 为 的可去间断点。2a01li0fx f四、设 ，求 。 （本题 8 分）enn nlim解：先求相应函数的极限 21321lnim1lnlim 1lnlielie 1lim1eli1li 020 20210 001 tt ttttt tttxtt tt txtx所以 。linx五、设 （n 为正整数） ，xf 求 在闭区间0,1上的最大值 M（n ） ；x 求 。 （本题 8 分）Mnlim解： 命 ，得 ， 。011 nxxxxf nnn n12x当 时， ；x100f时， ，nx故 为 的极大值点， 为对应的极大值。x1f nnf 11又 ，故 即为 在闭区间0,1上的最大值： 。0fnfxf nnM1 。1nn e1limli nM六、计算 。 （本题 7 分）42de1si-xI解： ，其中 ，故402042inin-x-xI 402042de1sinde1sinxxt-。281siside1si 40240202 -xx-xxI七、设对任意 x，都有 ，且 在 x = 0 点处连续， ，证明： 在 x = 0FfFf点处也连续。 （本题 7 分）证明：首先，由 ，知 ，从而 。00Ff 0f0f又由 ，知 。又 在 x = 0 点处连续， ，知xfxfxF0F， ，于是有 。即 。所以， 在 x lim0Fx li0x lim0fx liffxf= 0 点处也连续。八、设函数 满足f 在闭区间a,b上连续，且 ；0bfa 在开区间（a,b）内具有二阶导数，且在 x = a 点处一阶右导数 。0af证明：至少存在一点 （a,b） ，使得 。 （本题 8 分）f证明：由 ，知存在 0，使当 a 4 时，两曲线 与 有两个不同的交点。kxyl xy4l十一、设 a 0，b 0， 是a,b 上的非负连续函数，且 ，证明：f 0dbaxf。baaxfxfd2（本题 8