2010年人文类竞赛真题及答案

2010 年天津市大学数学竞赛试题参考答案（人文学科及医学等类）一、填空：（本题 15 分，每小题 3 分。请将最终结果填在相应的横线上面。 ）1 2 。xx1sin7lm22 设曲线 在拐点 处有水平切线，则 b = 3 ，c = 246cxbfy1,f3 ， 1 。f3 设 ，则 。20dextuxf2e564x4 已知 的一个原函数为 ，则 1 。f 2lne1df5 某城镇人口增长率的一阶动态模型为 ，其中 P 为时刻 t 时的人口总数，50.ttPt 的单位为年。如果该城镇当下人口总数为 20 万，则 12 年后该城镇人口数量为 。2015.0.二、选择题：（本题 15 分，每小题 3 分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。 ）1 设函数 其中 是有界函数，则 在 点处.x,x,f 0gcos1xgxf0（ C ） 。（A）极限不存在； （B）极限存在，但不连续；（C）连续但不可导； （D ）可导。2 设周期函数 可导，周期为 3， 且 ，则曲线xf 1f12limxfx在点 处的切线方程为（ D ） 。xfy4,（A） ； （B） ；03y 05y（C） ； （D） 。2x 92x3 设函数 连续，则 （ B ） 。fxttf02dd（A） ； （B） ；0xf 2xf（C） ； （D） 。21 14 下列命题： 设 ， ，且 ，则必有 。aunlimbvnlia),2n(vu 设 ，且 ， ，则必有 。),21(unlimbnli ba 设 ，且 ，则 必存在。nnvx0vnxlim正确的个数为（ A ） 。（A）0 个； （B）1 个；（C）2 个； （D ） 3 个。5设函数 ，若在区间 内 ， ，则 在区xff,00xfxfxf间 内（ B ） 。0,（A） ， ； （B） ， ；xfxf xf0xf（C） ， ； （D） ， 。0三、计算 。 （本题 8 分）6123elimnnnn解：先求 。 6123li xxx令 ，当 时， ，则t10t 。613e21lim3e21lim1e2lili 302650 3606123 tt ttxxtttt ttx从而 。e2li 613 nnnn四、已知 ，求 a，b 的值。 （本题 8 分）07li45xxa解：01371lim37limli 55 5545 bxx xaax axax故 5a1=0， 。从而 。57libx故 ， 。17b五、设 ，求 。 （本题 8 分）xxf1arctn05f解： ，即 。 （）2 12等式（）两边对 x 求 2 阶导数得：，0241 xffxf令 ，得 。0xf等式（）两边对 x 求 4 阶导数得：，01281452 xfxff令 ，得 。0x05f六、设对任意 x 函数 满足等式 ，求 的极xfxfxsin3ef值。 （本题 7 分）解：设 ，则有 ，u uuffusi2e即 ，与原式联立，可解出 。xxfxx sin32exfsine。xf sicoese 令 ，解得驻点 ，n 为整数。0xf xn4又 。xxxx cs2ecsiesicoe 当 （n 为整数） ，此时 为极大值 ；n240fnf n24当 （n 为整数） ，此时 为极小值 。xn1xfnxf n24e七、将一长为 l 的铁丝切成两段，分别围成等边三角形和圆形，问：当此两段铁丝各为多长时，此三角形面积与圆形面积之和最小。 （本题 7 分）解：设等边三角形的周长为 x（ 0）,则圆周长为 l x。于是两面积之和为。lS43623622令 ，得 。0218xlxSl由于是唯一驻点，且实际问题存在最小值，所以 是最小值点，即三角形93lx周长为 和圆周长为 时两面积之和最小。93l l93八、设 是区间 上的函数，且 ， ，证明：xf2a, 1xfxf， 。 （本题 8 分）2f证明：对 ， 的泰勒公式为：,xf， 。2!21xtfxtft 2a,当 时，分别有at,2， ；21xfxafxf 1,， 。221aa,两式相减得，222112 xfxfxfaff 故 xa xaxafxfff aax 22 22111212 221而 ，故 ， 。0xaf a,x（附：若取 ， ，则 ， 。显122axf 2a,xaxf1f然 ， ） 。1xf九、证明： 。 （本题 8 分）64d21032x证明：因当 时， ，故x24x；601arcsind4d1021032 x又当 时， ，所以 ，故x443x。21d1032综上 。641032x十、求由曲线 和 以及 x 轴所围图形 D 的面积与该图形绕 x 轴旋转xye1yln一周所得旋转体的体积。 （本题 8 分）解：二曲线 的交点坐标为 。xyln1,e2D 的面积 。21e6ln203edlne12e1022 xxS旋转体体积 。1el4Ve1202 x十一、对 k 的不同取值，分别讨论方程 在区间 内根的个数。3kx,0（本题 8 分）解：设 ， ， ，132xf 0kf2 当 时， ，即 在 上单调增加，又 ，故原方程在0kfxf),10f区间 内无根；, 当 时： ， ， 单调减少；kkx20xff， ，