2011天津市高等数学竞赛真题答案经管类

2011 年 天津市大学数学竞赛试题参考解答(经管类)一. 填空题（本题 15 分，每小题 3 分）:1. 设 是连续函数, 且 , 则 ()fx0()lim41cosxf01()lixxf2e.2. 设 , 若 则 2fabli(),xfa,b4.3. 1elndxxen.xC4. 设 是连续函数, 且 其中 由 x 轴、y 轴以及()fy(,)(,)d,DfyfxyD直线 围成, 则 1xx1.25. ln42dex.6二. 选择题（本题 15 分，每小题 3 分）:1. 设 则 在 处()2)ln(1,fxx()f0x(A) , (B) , (C) , (D) 不可导. 00f()2f答: (A)2. 设函数 具有二阶导数, 且满足方程 已知 则()yf sine0.xy0(),fx(A) 在 的某个邻域中单调增加, (B) 在 的某个邻域中单调增少, x0 ()f(C) 在 处取得极小值, (D) 在 处取得极大值.f 0答: ( C)3. 图中曲线段的方程为 , 函数 在区间 上有连续的导数, 则积分 ()yfx()fa表示 0()daxf(A) 直角三角形 AOB 的面积, (B) 直角三角形 AOC 的面积, (C) 曲边三角形 AOB 的面积, (D) 曲边三角形 AOC 的面积. 答: (D)4. 设在区间 上的函数 且 令 ,ab()0,fx(),fx()0.f1()d,baSfxOCyA0B()fx则2(),Sfba31()(),2Sfaba(A) (B) (C) (D) 122,S213,S231.S答: (C )5. 设函数 连续, 且 , 则()fxy201d(,)d(cos,in)dxbdafyfrr取值为 ,abcd(A) , ,;2sinco(B) 1d(C) 0,si,;ab(D) ,nco,1.2答: (B)三. (7 分 ) 设函数 在点 处可微, 求极限 ()fx0 002limcos()cos().nfxfxn解 由导数的定义和复合函数的求导法则0000s()s()2limcos()cos()2li2n nfffxfxnn 00i().xffx 四. (7 分) 设函数 在 上二阶可导，且 ，记 ，()fx,)0limxf10()()xftd求 的导数，并讨论 在 处的连续性.(x(x解 由已知的极限知 从而有0,ff1()d.t当 时, 从而有 0x10001()()d()d,xfxxffxtfu),().x因为 00()lim()li(0),xxf所以, 在 处连续.()当 时,2()(),xff在 处, 由 有 0x0,200()()()1()limlilim(0)2xxxfff 所以, 2(),()100.fffx而200000()()()()lim()lilimlilim2xxxxxffff 111,2f故 在 处连续.()五. (7 分) 已知函数 的导函数 是三次多项式，其图像如(,)yfxyfx下图所示：（）关于函数 ,填写下表:xfy单调增区间 单调减区间极大值点 极小值点曲线向下凸区间曲线向上凸区间曲线的拐点（）若还知道 的极大值为 6，点 在曲线 上，试求出 的xfy2,xfyxfy表达式.Oxy2233解（）单调增区间 （-2,0）, (2,)单调减区间 ,(0,2)(,2)极大值点 0 极小值点 -2, 2曲线向下凸区间3(,曲线向上凸区间3,曲线的拐点 223,(),(,)ff（）设 则由 得32,yaxbcd0,0,(2,yy0,4da故 从而3442.ayxm再由 得 所以 (0)6,(),1,64216.yx六. (7 分)设函数 在 上可导, 且满足yx)2,(0).y() 研究 在区间 的单调性和曲线 的凹凸性.()(0, ()yx() 求极限 30lim.x解 ( ) 当 时, 有20,y故 在区间 单调增加. 从而当 时, 也单调增加. 可见, 曲线y(,)0x2yx在区间 向下凸.()x0(或当 时 , 可得22().yxy可见, 曲线 在区间 向下凸. )()(,() 由题设知 , 应用洛必达法则023200limlilim3xxxyy2111li().3x七. (7 分) 设 在 上具有连续导数, 且 试证()fx00(),(0).fxf21130()d()d.fxf证 令 则 在 连续, 且对 ,2300()()d()d,xxFftft()Fx01(01)x3f20()2()().xfftx又由题设知, 当 时, 令 则 在1x.20()d(),gftfxg上连续, 且01()2(),1gffxx故有 00,.x因此(),(,1)Fx于是 在 上单调增加, 取 , 即得()x01 ,1.Fxx211300()()d()dftft所证结论成立.八. (7 分) ( ) 设函数 在区间 上连续 , 为偶函数, (),fxg,a(0)a(gx满足条件 ( 为常数). 证明:fxc;0d)daafx() 设 其中 为正整数, 计算定()sin,ux2,0,().xx积分.()arcotedxI解 () 00()d()()d.a afxgfgfxg 对于上式右边的第一个积分, 令 有,t000d()aaaffcfx ()()cgxfxg所以 000()d ()d.a aaafxgf g () 由于 22ercoterct),1xxxx而当 时, 因此, 0x1arcotearcte.2xx容易验证, 是偶函数. 应用()的结论()ux20()arcoted()sindxI xx211sco2nn 20()isidxnx331cos1().n九. (7 分 ) 设函数 在闭区间 上连续, 并且对任一 , 存在 使得()fxabxab,yab证明: 存在 使 (|.2fy()0.f证法一 应用闭区间上连续函数的最值定理, 存在 , 使12,1 2, ,()min()max().xab bffxMf由题设, 对于 , 存在 , 使得 可见 y()|0fy0.M现在证明: 事实上, 假如 由题设, 存在1,()i()0.xabff1()fx, 使0xab0111()()()2fffxf此与“ 是 在 上的最小值 ” 矛盾.1fxf,ab综上, 得到结论: 于是, 应用介值定理, 存在 使 0.mM,ab()0.f证法二 任取一个 由题设存在 使,x1,xab10()().2ff从而存在 使2,xab2102()()().ffxfx如此继续下去, 可得数列 使,nab01()()().2nfxfn由于有界无穷数列 必有一个收敛的子数列 , 可设存在一个 , 使kxablim.knx由 的连续性, 证毕.()f()li()0kknffx十. (7 分 ) 设函数 具有二阶导数, 且 直线 是曲线 上任意一yf ().fxaL()yfx点 处的切线, 其中 记直线 与曲线 以及直线(,af ,1.aa()f所围成的图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积为 试问 为何值时 01xy .Va取得最小值.)V解 切线 的方程为 即aL()(),fafx.yfx于是10()2()()dVfxfafx1d().32xa 可见, 在 连续, 在 可导. 令 ()a1(,1),()2()()320aVfff由于 在 内有唯一的驻点 ()0,f,).并且, 当 时, ; 当 时, 因此, 在(3a(0a(1)3()0Va()Va处取得最小值.23a十一. (7 分) 设（1）闭曲线 是由圆锥螺线 ： ， （ 从 0AOzyx,sin,co变到 ）和直线段 构成， 其中 ， ；2AO0,20（2）闭曲线 将其所在的圆锥面 划分成两部分， 是其中的有界部分. 在2zy面上的投影区域为 .xOyD() 求 上以 为曲顶的曲顶柱体的体积 ;() 求曲面 的面积.解( ) 在 面上的投影区域为 , 在极坐标系下表示为:xyOxy1aL()f0,2.r故所求曲顶柱体的体积为2dDVxy20r2341d.() 所在的圆锥面方程为 , 曲面上任一点处向上的一个法向量为2zxy2(,)(1).xynz故所求曲面 的面积21ddxyDDSxy230042.r十二 .(7 分 ) 设圆 含于椭圆 的内部, 且圆与椭圆相切于两点 2xy21xyab(即在这两点处圆与椭圆都有公共切线) .() 求 与 满足的等式; ab() 求 与 的值, 使椭圆的面积最小解 () 根据条件可知 , 切点不在 轴上. 否则圆与椭圆只可能相切于一点. 设圆与椭圆y相切于点 , 则 既满足椭圆方程又满足圆方程, 且在 处椭圆的切线斜0xy0()x 0(,)xy率等于圆的切线斜率, 即 . 注意到 因此, 点 应满足2001bxa0x200201()2(3)xybay由(1)和(2)式, 得(4)2200.byaOxy2由 (3) 式得 代入(4) 式20.