2011年人文类竞赛真题及答案

2011 年 天津市大学数学竞赛试题参考解答(人文学科及农林医学等类)一. 填空题（本题 15 分，每小题 3 分）:1. 设 是连续函数, 且 , 则 ()fx0()lim41cosxf01()lixxf2e.2. 设 , 若 则 2fabli(),xfa,b4.3. 1elndxxen.xC4. 设 是连续函数, 且 则 ()f120()()d,ffx()fx7.45. ln421dex.6二. 选择题（本题 15 分，每小题 3 分）:1. 设 则 在 处()2)ln(1,fxx()f0x(A) , (B) , (C) , (D) 不可导. 00f()2f答: (A)2. 设函数 具有二阶导数, 且满足方程 已知 则()yf sine0.xy0(),fx(A) 在 的某个邻域中单调增加, (B) 在 的某个邻域中单调增少, x0 ()f(C) 在 处取得极小值, (D) 在 处取得极大值.f 0答: ( C)3. 图中曲线段的方程为 , 函数 在区间 上有连续的导数, 则积分()yfx()fa表示 0)daxf(A) 直角三角形 AOB 的面积, (B) 直角三角形 AOC 的面积, (C) 曲边三角形 AOB 的面积, (D) 曲边三角形 AOC 的面积. 答: (D)4. 设在区间 上的函数 且 令 ,ab()0,fx(),fx()0.f1()d,baSfx则2(),Sf31,2SabaOCyA,0B()fx(A) (B) (C) (D) 123,S312,S213,S231.S答: (C )5. 设函数 则当 (,xf0x(A) 与 是等价无穷小; (B) 与 是同阶但非等价无穷小;) ()f(C) 是比 高阶的无穷小; (D) 是比 低阶的无穷小.f x答: (B)三. (7 分 ) 设函数 在点 处可微, 求极限 ()fx0 002limcos()cos().nfxfxn解 由导数的定义和复合函数的求导法则0000s()s()2limcos()cos()2li2n nfffxfxnn 00i().xffx 四. (7 分 ) 设函数 由方程 确定, 又函数 由方程 确定, ()xtcost()y2e1yx求复合函数 的导数y0d.ty解 方程 两边对 求导cos0txsin.dxtt当 t=0 时, x=0, 故100dco.sittxx方程 两边对 x 求导2e1y2de.yy当 时, 故0x,0e20d.xyx因此,00d.dtxty五. (7 分) 设函数 在 上二阶可导，且 ，记 ，()fx,)0()limxf10()()xftd求 的导数，并讨论 在 处的连续性.(x(0x解 由已知的极限知 从而有,ff10()d.t当 时, 从而有 0x1001()()d()d,xfxxffxtfu),()0.x因为 00()lim()li(0),xxf所以, 在 处连续.()当 时,2()(),ffx在 处, 由 有 0x0,200()()()1()limlilim(0)2xxxfff 所以, 2(),()100.fffx而200000()()()()lim()lilimlilim2xxxxxffff 111,2f故 在 处连续.()六. (7 分) 已知函数 的导函数 是三次多项式，其图像如(,)yfxyfx下图所示：Oxy2233（）关于函数 ,填写下表:xfy单调增区间 单调减区间极大值点 极小值点曲线向下凸区间曲线向上凸区间曲线的拐点（）若还知道 的极大值为 6，点 在曲线 上，试求出 的xfy2,xfyxfy表达式.解（）单调增区间 （-2,0）, (,)单调减区间 ,(0,2)(,2)极大值点 0 极小值点 -2, 2曲线向下凸区间23(,曲线向上凸区间3,曲线的拐点 23,(),(,)ff（）设 则由 得32,yaxbcd(0),()0,(2),yy0,4da故 从而3442.ayxm再由 得 所以 (0)6,(),1,64216.yx七. (7 分)设函数 在 上可导, 且满足 : yx)2,(0).y() 研究 在区间 的单调性和曲线 的凹凸性.()(0, ()yx() 求极限 3lim.x解 ( ) 当 时, 有20,y故 在区间 单调增加. 从而当 时, 也单调增加. 可见, 曲线y(0,)0x2yx在区间 向下凸.()x(或当 时 , 可得22().yxy可见, 曲线 在区间 向下凸. )()yx(0,() 由题设知 , 应用洛必达法则y232000limlilim3xxxy2111li().3x八. (7 分) 求正数 的值 , 使得余弦曲线 与坐标轴围成的图形的面积,abcos(0,)2yx被正弦曲线 和 三等分.sinyxsiyx解 不妨设 . 显然, 20cod1由 , 得 ; cosinyaxart由 , 得 ibcot.b于是 由题设rcotrt.aco0 arcot1(sin)d(sis)03xxx2221.1a(注: 令 . 如图可知, )arcot22sin,cos.1a解得 4.3同理, arcot 20arcot1sindsdbbxx 2arcotssin0arcotbbxxb2 2211.解得 5.1b九. (7 分 ) () 设函数 在区间 上连续 , 为偶函数, 满(),fxg,a(0)a(gx()fx足条件 ( 为常数). 证明:fc;0d()daafxOxy21cosxsinyab21a1() 设 其中 为正整数, 计算定()sin,uxx2,0,().xx积分.()arcotedxI解 () 00()d()()d.a afxgfgfxg 对于上式右边的第一个积分, 令 有,t000d()aaaffcfx ()()cgxfxg所以 000()d ()d.a aaafxgf g () 由于 22ercoterct),1xxxx而当 时, 因此, 0x1arcotearcte.2xx容易验证, 是偶函数. 应用()的结论()u20()arcoted()sindxI211sco2nxn 20()isidxn331cos1().n十. (7 分) 设 在 上具有连续导数, 且 试证()fx00(),(0).fxf21130()d()d.fxf证 令 则 在 连续, 且对 ,0() ,xFxtt()Fx1(01)x30()2()dfff 2().xtx又由题设知, 当 时, 令 则 在(01)x()0.fx20()2()d(),xgftfxg上连续, 且012,1gff故有 ()0(0,).xx因此,1F于是 在 上单调增加, 取 , 即得()x01(),1.Fx211300()d()dftft所证结论成立.十一. (7 分) 设函数 在闭区间 上连续, 并且对任一 , 存在 使()fxabxab,yab得 证明: 存在 使 1(|.2fy()0.f证法一 应用闭区间上连续函数的最值定理, 存在 , 使12,x1 2, ,()min()ma().xab bffMf由题设, 对于 , 存在 , 使得 可见 y()|0fy0.M现在证明: 事实上, 假如 由题设, 存在1,()i()0.xabff1()fx, 使0xab0111()()()2fffxf此与“ 是 在 上的最小值 ” 矛盾.1fxf,ab综上, 得到结论: 于是, 应用介值定理, 存在 使 0.mM,ab()0.f证法二 任取一个 由题设存在 使,x1,xab10()().2ff从而存在 使 2,ab102()()().fxffx如此继续下去, 可得数列 使,nab01()()().2nfxfn由于有界无穷数列 必有一个收敛的子数列 , 可设存在一个 , 使kxablim.kn由 的连续性, 证毕.()fx()li()0kknffx十二. (7 分) 设抛物线 通过 两点, 且 . 确定 的值, 2yabc(,)120abc使得抛物线与 轴所围图形 的面积最小, 并求此时的图形 绕 轴旋转一周所得旋xDDx转体的体积.解 由已知, 抛物线通过点 可得 ; 又抛物线通过点 , 可得(0,)0()即 2ab.a于是, 抛物线 与 轴交于 和 两点. 这时抛物线与 轴所yxx(,)2,0ax围图形的面积 为S20()()daa3232