北师大版数学九年级下册全册导学案（全册）

第一章 直角三角形边角关系单元总览本章的知识内容是围绕千变万化的实际问题展开的掌握锐角三角函数的定义和解直角三角函数的方法灵活运用直角三角形中边与角的关系和勾股定理解直角三角形，提高把实际问题转化为解直角三角形问题的能力分清仰角、俯角、坡角、水平距离、垂直距离等概念体会数学解题中的转化思想、数形结合思想、和函数思想1 从梯子的倾斜程度谈起（一）目标导航掌握正切、余切的定义，了解坡度的概念能正确应用 tan、cot 表示直角三角形中两边的比应注意强调：1）对于 tan= 等 2 个公式只适用于直角三角形；2）正确理解的 对 边的 邻 边tan、cot 是一个完整的符号，只表示一个数值掌握同一个角的三角函数关系 tan（90 ）=cot； cot（90 ）=tan；tancot =1基础过关1在 RtABC 中，C=90 ，A 的 的比叫做A 的正切，记作 ；A 的 的比叫做A 的余切，记作 2在ABC 中，C=90，AC =2，BC=1，那么 tanA= tanB=_3设直角三角形的两条直角边的比为 512，则较大锐角的正切值等于_4在直角三角形中，两锐角的正切互为 关系5在 RtABC 中，AB= ，BC= ，则 tanA= ，cotA= 36在ABC 中，C=90，若 AB=2AC，则 cotA = 7已知一山坡的坡度为 1 3，若某人沿斜坡向上走了 100m，则这个人升高了 m8正方形网格中， 如图 1 放置，则 tanAOB = AOB能力提升9如图 2，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离 AC=3 米， ，则梯子长3cot4BACAB = 米10如图 3，沿倾斜角为 30的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离 AC 为 2m，那么相邻两棵树的斜坡距离 AB 为 m （精确到 0.1m）11 如图 4，在ABC 中ACB 90 ，BC 3，AC4，CDAB，垂足为 D，tanBCD= ABC图 2图 3ABO图 1 图 412等腰三角形底边长是 10，周长是 40，则其底角的正切值是 13如果 tanxtan32=1，那么锐角 x=_14在ABC 中，C=90，AD 为 BC 边中线，若 AB=10，BD=4，则 tanDAC= 15在 RtABC 中，C90，设A、 B 的对边分别为 a、b，且满足 ，220ab则 tanA 等于 16在 RtABC 中，C=90，各边长都扩大 3 倍，锐角 B 的余切值是（ ）A没有变化 B扩大 3 倍 C缩小 3 倍 D不能确定 17如果 是锐角，且 ，那么 的值是（ ）4cot5tanA B C D92555418如图所示，CD 是一个平面镜，光线从 A 点射出经 CD 上的E 点反射后照射到 B 点，设入射角为 （入射角等于反射角） ，ACCD，BD CD，垂足分别为 C，D 若AC=3，BD=6， CD=12，则 tan 的值为（ ）A B C D433445519在 RtABC 中，C=90，AB 的坡度 i=12，则 CABCAB 等于 （ ）A121 B1 2 C1 D12335520在等腰梯形 ABCD 中，ABDC，D =120，AC BC，求 tanDAC 的值D CBA21已知锐角 A 满足 tanAcot A=2，求 tan2Acot 2A 的值聚沙成塔已知ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13， ，求 tanC 和 cotBBC84AS2 从梯子的倾斜程度谈起（二）目标导航掌握正弦、余弦的定义，能正确应用 sin、cos 表示直角三角形中两边的比了解锐角三角函数的概念应注意强调：1）对于 sin= 、cos = 这两个公式只适用的 对 边斜 边 的 邻 边斜 边于直角三角形；2）正确理解 sin、cos 是一个完整的符号其表示一个数值掌握同一个角的三角函数关系 sin（90 ）=cos；cos （90 ）=sin ； sin2cos 2=1基础过关1在 RtABC 中，C=90，锐角 A 的 的比叫做A 的正弦，记作 ；锐角A 的 的比叫做A 的余弦，记作 2在正方形网格中， 的位置如图所示，则 cosB 的值为 B3在ABC 中， C=90，AC=2，BC=4， 则 sinB 的值为 4已知在ABC， C=90，且 2BC=AB，那么 sinA =_5已知在 中， 90，3cosB=2，则 sinA= 6已知三角形三边的比是 25247，则最小角的余弦值为 ，最小角的正切值为_7已知 为一锐角，sin ，则 cos = ， = 45tan8在ABC 中， C=90，a、 b 分别为A 和B 的对边，且 3a= b，则 sinA_9在 RtABC 中，C=90，已知 a 和 A，则下列关系中正确的是（ ）Ac=asinA Bc = Cc =acosA Dc= sinos能力提升10若 是锐角，那么 sincos 的值 （ ）A大于 1 B等于 1 C小于 1 D不能确定11 在 RtABC 中，ACB=90，如果 sinAsin B=23，那么 tanA 的值为（ ）A23 B32 C49 D9412在ABC 中 C=90，a、 b 分别为A 和B 的对边 a=8，b=15，sinAsinBsin C 等于（ ）A B C D 7181731701713在ABC 中， C=90，CD AB 于 D则 sinB=（ ）A B C D DAAACB14若 AB =90，则 的值等于（ ）22siniA1 B C D8 2(cos)B2sin15如图，菱形 的周长为 ， ，垂足为 ，C40mDEEDCBEA，则下列结论正确的有（ ）3sin5A ； ；菱形面积为 ；6cmDE2cBE260cm410cmBD 个 个 个 个1316如图，在矩形 ABCD 中，DEAC 于 E，设 ADE ，且cos ，AB4，则 AD 的长为（ ） 35A3 B C D16320316517在ABC 中， ACB=90，CD AB 于 D，CD=4，BC=5，求A 的四个三角函数值18在 RtABC 中，C=90，若 sinA 是方程 5 14x8=0 的一个根，求 sinA，tanA219已知 2 是方程 的一个根，求 sin325sin10x聚沙成塔RtABC 中， ，BC、AC 、AB 三边的长分别为 a、b、c，则 sinA= ， 90C accosA= ，tanA = bca我们不难发现：sin 260cos 260=1， 试探求 sinA、cosA、tanA 之间存在的一般关系，并说明理由3 30，45，60 角的三角函数值目标导航熟记 30、45 、 60角的三角函数值，会计算含有特殊角的三角函数式；了解sin、cos 、tan、cot 的增减性基础过关1 ；sin60cot45=_cos452（1sin30 cos45）（ 1sin30 cos45）= _ 3cos 260sin 260的值为_ 4cos30 =_s30in5在ABC 中，AB=1，AC= ，BC=1，则 sinA=_A=_26cosA= （A 为锐角），则 A 的度数为_ 327 =_(sin01)8 一棵树因雪灾于 A 处折断，如图所示，测得树梢触地点 B 到树根 C处的距离为 4 米，ABC 约 45，树干 AC 垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为 米9已 知 为 锐 角 ， tan（ 90 ） = ， 则 的 度 数 为 310在 RtABC 中，C=90，c=10 A=30，则 b= 能力提升11若 45a 90 ，则 sina_cosa ；若 0A45则 sinA_cosA（填大于、小于或等于）12在ABC 中， C=90，若 cosA= ，则 sinA=_1213判断对错1）cot46tan46 （ ）2）sin75cot45 0 （ ）14当锐角 A45时，sin A 的值是（ ）A小于 B大于 C小于 D大于2323215在ABC 中，若sinA 1 ，则 C 的度数是（ ）23(cos)0BA75 B60 C45 D3016 为锐角，且关于 x 的方程 有两个相等的实根，则 =（ ）2sin1xA60 B45 C30 D30或 6017下列不等式，成立的是 （ ）Atan45sin30cot45 Bsin30cot60cos45tan45Ccot60sin30cos45tan45 Dtan30sin30cot45cos4518在 RtABC 中，C=90，b=1 ，c =5，那么 （ ） A0 A30 B30A45 C45 A60 D60A9019计算：1） cos02sin60tacos30tan4532） 1cos45t60sinco30220已知：如图，在 ABC 中， ACB90，CDAB ，垂足为 D，若B30 ，CD6，求 AB的长CA D B21如图，梯形 ABCD 是拦水坝的横断面图，（图中 是指坡面的铅直高度 DE 与水平1:3i宽度 CE 的比），B =60，AB=6 ，AD=4，求拦水坝的横断面 ABCD 的面积（结果保留三位有效数字参考数据： 1.732， 1.414）32A DB Ei=1: 3C聚沙成塔是 RtABC 中的一个锐角，若 sin cos m ，sin cos n，则 m，n 有怎样的关系？4 三角函数的有关计算目标导航会用计算器求任意锐角的三角函数值和由三角函数值求锐角基础过关1江郎山位于我国典型的丹霞地貌景观，被称为“中国丹霞第一奇峰”九年级（）班课题学习小组的同学要测量三块巨石中的最左边的“郎峰”的高度，他们在山脚的平地上选取一处观测点 C，测得BCD=28， ACD=4825，已知从观测点 C 到“郎峰”脚 B 的垂直高度为 322 米，如图所示，那么“郎峰” AB 的高度约为 （ ）A152 米 B361 米 C202 米 D683 米2如图，某超市（大型商场）在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板（一楼的楼顶墙壁）与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高 1.85 米，他乘电梯会有碰头危险吗？ 二楼一楼4mA 4m4mB28C1 题图 2 题图3如图所示，某学校拟建两幢平行的教学楼，现设计两楼相距 30 米，从 点看 点，仰角为AC；从 点看 点，俯角为 ，解决下列问题：5AD30（1）求两幢楼分别高多少米？（结果精确到 1 米） （6 分）（2）若冬日上午 太阳光的入射角最低为 （光线与水平线的夹角） ，问一号楼的光照是9: 30否会有影响？请说明理由，若有，则两楼间距离应至少相距多少米时才会消除这种影响？（结果精确到 1 米） （4 分）（参考数据： ）tan50.87tan.574cos1.732AC1号楼2号楼DB5300光线能力提升4如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AHBC，坡角 74ABC，坝顶到坝脚的距离6mAB为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为 55，由此，点 需向右平移至点 D，请你计算 AD 的长 （精确到 0.1m）AB CD H55o5如图，一条小船从港口 出发，沿北偏东 40方向航行 20 海里后到达 处，然后又沿北偏A西 30方向航行 10 海里后到达 处问此时小船距港口 多少海里？（结果精确到 1 海里）CACQBAP北 4035 船有触角危险吗（一）目标导航了解直角三角形的意义，仰角、俯角的概念；掌握直角三角形三边关系、锐角之间的关系、边角之间的关系理解解直角三角形的方法“有斜用弦，无斜用切，宁乘毋除，取原避中”基础过关1ABC 中C=90 ，A=30，tanB = ，AC= ，则 AB= 322已知ABC 中， B30 ，BC2，AB3，则 SABC 3若正三角形的边长为 2，则这个三角形的面积是 4图 1 是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若6A， 5，将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍，得到图 2 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 5数学活动课上，小敏、小颖分别画了ABC 和 DEF，数据如图 3，如果把小敏画的的三角形的面积记作 S1，小颖画的三角形的面积记作 S2，那么你认为（ ）A B C D不能确定 212S12S6一个等腰梯形的一底角为 150，腰长为 10，下底长为 30，则上底为 7等腰三角形的腰长为 2cm，面积为 1 cm2，则顶角的度数为 能力提升8已知在ABC 中， B60，AB=6，AC= ，则三角形的面积为 369从 1.5m 高的测量仪上，测得某建筑物顶端仰角为 30，测量仪距建筑物 60m，则建筑物的高大约为（ ）A34.65m B36.14m C28.28m D29.78m10在 RtABC 中，AD 是斜边 BC 上