1_6354046_1.抛物线定义的解题功能

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 259 中国 高考数学母题 (第 084 号 ) 抛物线定义的解题功能 由抛物线的定义知 ,抛物线上任意一点 到抛物线准线的距离 ,即抛物线上一点到焦点的距离与该点到准线的距离具有相互转化的解题功能 . 母题结构 :抛物线上一点到焦点的距离与该点到准线的距离可相互转化 . 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2009 年四川高考试题 )己知直线 =0 和直线 l2:x=物线 x 上一动点 P 到直线 ) (A)2 (B)3 (C)511(D)3637解析 :如图 ,由 直线 l2:x= 动点 到抛物线 (1,0)的距离 ,因此 ,动点 P 到直线 (1,0)到直线 =0 的距离 =2,故选 (A). 点评 :若 点 :px(p0,焦点为 F)上的一动点 ,点 的准线的距离为 d,则 :当定点 的外部时 , |当且仅当点 的交点时 ,|当定点 的内部时 ,|最小值 ,当且仅当点 且平行于 的交点时 ,|得最小值 ;当定直线 不相交时 ,点 线 当且仅当点 且垂直于直线 的交点时 ,d1+d 取得最小值 . 同 类 试题 : 1.(2008 年辽宁高考试题 )己知点 P 是抛物线 x 上的一动点 ,则点 P 到点 (0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( ) (A)217(B)3 (C) 5 (D)292.(2004 年全国 高考试题 )若点 P 是曲线 :(的一动点 ,则点 P 到点 (0,1)的距离与点 P 到 y 轴的距离之和的最小值为 子题类型 :(2014 年 课标 高考试题 )已知抛物线 C:x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点 ,Q 是直线 的一个交点 ,若 4则 |( ) (A)27(B)25(C)3 (D)2 解析 :过 Q 作 线 l 于 M,由 4| |3;又=| |3 |43p =3,由 |C). 点评 :抛物线 G:px(p0)的焦点 F,倾斜角为 (斜率为 k)的直线 交于 A、 与 , 21 21若 则 1,12;若 则 |=p. 同 类 试题 : 3.(2013 年 江 西 高考试题 )已知点 A(2,0),抛物线 C:y 的焦点为 F,射线 抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交于点N,则 |( ) (A)2: 5 (B)1:2 (C)1: 5 (D)1:3 4.(2016 年 天津 高考试题 )设抛物线 22 (t 为参数 ,p0)的焦点为 F,准线为 l,过抛物线上一点 A作 l 的垂线 ,垂足为B,设 C(27p,0), 交于点 2|且 面积为 3 2 ,则 p 的值为 . 题 260 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 子题类型 :(2015 年浙江高考 试题 )如图 ,设抛物线 x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有 三个不同的点 A,B,C,其中点 A,B 在抛物线上 ,点 C 在 y 轴上 ,则 面积之比是 ( ) (A)1| 1| )1| 1| 22)1| 1| )1| 1| 22析 :如图 ,抛物线的准线 方程为 x= A,B 分别作 ,交 y 轴于 N, E,交 y 轴于 M,由抛物线的定义知 | |1=|1,| 1=|1=| | | | 1| A). 点评 :通过 设抛物线 G:px(p0)的焦点为 F,不经过焦点 F 的直线 l 与 G 交于 A、 B 两点 ,与 G 的准线交于点 P,与 ,则 :| | | |2 |2; 到 d=21(|. 同 类 试题 : 5.(2009 年 天津 高考试题 )设抛物线 ,过点 M( 3 ,0)的直线与抛物线相交于 A,与抛物线的准线相交于 C,|2,则 成面积之比=( ) (A)54(B)32(C)74(D)216.(2011年 辽宁 高考试题 )已知 y2=A,|3,则线段 ) (A)43(B)1 (C)45(D) 7.(1986年广东高考试题 )若点 3,2),点 为使得 |得最小值 ,点 P 的坐标应为 ( ) (A)(0,0) (B)(1,1) (C)(2,2) (D)(21,1) 8.(2008年 课标 高考试题 )己知点 那么点 (2,距离与点 点 P 的坐标为 ( ) (A)(41, (B)(41,1) (C)(1,2) (D)(1,9.(2008 年 四川 高考试题 )已知抛物线 C:x 的焦点为 F,准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在 C 上且 | 2 |则 ) (A)4 (B)8 (C)16 (D)32 10.(1992 年 全 国 高考试题 )圆心在抛物线 x 上 ,且与 x 轴和该抛物线的准 线都相切的一个圆的方程是 ( ) (A)x2+ (B)x2+y2+=0 (C)x2+=0 (D)x2+1=0 11.(2010 年 辽宁 高考试题 )设抛物线 x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点 ,l,A 为垂足 F 的斜率为 - 3 ,那么 |( ) (A)4 3 (B)8 (C)8 3 (D)16 12.(2007 年山东高考试题 )设 O 是坐标原点 ,F 是抛物线 px(p0)的焦点 ,A 是抛物线上的一点 , x 轴正向的夹角为 600,则 |为 . 13.(2012 年第 二 十 三 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高二 )试题 )已知 A,B 是抛物线 x 上的两个动点 ,且 |3,则当中点 M 到 y 轴的距离最短时 ,点 M 的横坐标是 . 14.(2012年全国高中数学联赛试题 ()抛物线 px(p0)的焦点为 F,准线为 l,A,个动点 ,且满足 在 为 N,则| | . 15.(2013 年全国高中数学联赛 甘肃 预 赛 试题 )抛物线 px(p0)的焦点为 F,已知点 A、 B 为抛物线上的两个动点 ,且满足 200,过弦 中点 N,垂 足 为 N,则| | . 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 261 设 P 到准线的 距离 为 d,焦点为 F(21,0),A(0,2),由 d=| |d=| |A). 由 设 P 到准线的 距离 为 d,焦点为 F(2,0),A(0,1),由 |d=| | 5 . 如图 ,由 射线 FA:x+2(x 0) 21 55 | |5;又由 抛物线的 定义知 | | |C). 如图 ,由 F(2p,0) |3p |23p A(p, 2 p);由 |=1:2 S 31S 2 S 2 p= 6 . 由 准线 :x=2 3 B(23,- 3 ) AB:y=32 2( ) =22 =A). 由 |xA+1=3 xA+5 线段 中点到 y 轴的距离 =21(xA+C). 设 P 到准线的 距离 为 d,则 |d |d 3+21,当且仅当 P 在直线 y=2 上时 ,等 号成立 C). 由 设 P 到准线的 距离 为 d,焦点为 F(1,0),则 |d |d 2+1=3,当且仅当 P 在直线 y=时 ,等号成立 A). 过 A 点向准线 :x=垂线 为垂足 ,由抛物线的定义 :| | 2 | | A(t,t+2),代入 x 得 (t+2)2=8t t=2 A(2,4) 面积 =B). 由 圆与 x 轴和准线都相切 圆心 到 x 轴和准线 的 距离 相等 圆心 到 x 轴和 焦点 F(21,0)的 距离 相等 圆心 在直线 x=21上 一个圆的圆心 (21,1),半径 r=D). 由 F(2,0) 直线 AF:y=- 3 ( A( 3 ) P(6,4 3 ) |6+2=B). 由 过 D x 轴于 D,令 FD=m,则 m,由 p+m=2m m=p |=22 )3()2( =221p. 设 A(xA,B(xB,则 xA, |3 (+(=9 (+4(xA+2 (+ 4(xA+8 1(xA+169 点 设 A,B在 l 上的投影为 D,C,由抛物线的定义 :|由梯形的中位 线定理得 |21(|=21(|;在 ,由余弦定理得 :|=|+| F|BF|(|2F| (|2 |