3_8064948_18.曲线切线.高考试题中的风景线

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 641 中国 高考数学母题 (第 184 号 ) 曲线 切线 导数的引入 ,为我们求 圆 锥 曲线 在其上一 点处的切线 方程提供了有力工具 ,也许正是足于同样的考虑 ,高考命题专家命制了 一系列此类 抛物线 的切线 试题 ,构成一道靓丽的风景线 . 母题结构 :( )(函数型 )若点 P(x0, 抛物线 C:qy(q 0)上 ,则 抛物线 C 在点 P 处的切线 l:q(y+ ( )(复合 型 )若 点 P(x0,曲线 G:dx+ey+f=0 上 ,则曲线 G 在点 P 处的切线 :f=0; ( )(切点弦 )从点 P(x0,曲线 G:dx+ey+f=0 的两条切线 ,切点分别为 A、 B,则直线 方程为 :f=0. 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2009 年 浙 江 高考试题 )已知椭圆 22(ab0)的右顶点为 A(1,0),过 焦点且垂直长轴的弦长为 1.( )求椭圆 ( )设点 P 在抛物线 C2:y=x2+h(h R)上 , 处的切线与 ,P 的中点与 中 点的横坐标相等时 ,求 h 的最小值 . 解析 :( )由 椭圆 (1,0) b=1,又 由 过 a=2 椭圆 2y+; ( )设 P(t,t2+h),M(x1,N(x2,则 线段 21t;由 y=x2+h y =2x y=2t 处的切线 :y-(t2+h)=2t(即 y=2h,代入 得 :4(1+t2)x+( x1+21 )( 中 点的横坐标 =2 21 )1(2 )( 22;由21t=)1(2 )( 22 h+1)t+1=0 (h+1)20 h 1,或 h 去 ) h 的最小值 =1. 点评 :对 函数型抛物线切 线的考查 ,求抛物线的切线方程是此类问题的核心 ;其中 较 考查 的 重要 方式是 立 意于 与圆锥曲线 的 交汇 ,此类试题的命题范围广泛 ;解决 问题的核心 是 求抛物线的切线方程 ,并灵活运用 . 同 类 试题 : 1.(2014 年 江 西 高考试题 )如图 ,已知抛物线 C:y,过点 M(0,2)任作一直线与 C 相交于 A, 点 B 作 y 轴的平行线与直线 (O 为坐标原点 ).( )证明 :动点 D 在定直线上 ; ( )作 C 的任意一条切线 l(不含 x 轴 )与直线 y=2 相交于点 ( )中的定直线相交于点 明 : |-|为定值 ,并求此定值 . 2.(2012 年 福建 高考试题 )如图 ,等边三角形 边长为 8 3 ,且其三个顶点均在抛物线 E:p0)上 .( )求抛物线 E 的方程 ; ( )设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y=交于点 以 直径的圆恒过 y 轴上某定点 . 子题类型 :(2014年 山东 高考试题 )已知抛物线 C:px(p0)的焦点为 F,上异于原点的任意一点 ,过点 l 交 C 于另一点 B,交 x 轴的正半轴于点 D,且有 |当点 A 的横坐标为 3 时 , 正三角形 . ( )求 C 的方程 ; ( )若直线 l,且 有且只有一个公共点 E.(i)证明 :直线 定点 ,并求出定点坐标 ; ( 面积是否存在最小值？若存在 ,请求出最小值 ;若不存在 ,请说明理由 . 642 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 解析 :( )设 A(2则 |2p;由 |2p D(2p,0);因 当点 横坐标为 3时 , 当 2时 ,且 |3+2p 22 )2( =3+2p 2= 3+2p p=2 抛物线 C:x; ( )设 E(t);由 x 2=4 y= kl=2a,及 l2a t=i)由 直线 AE:2 ( (2a+t)x (2a+t)x 过定点 F(1,0);( B(4b),由 a=b= =|(42(42=2|(22=2|2a+ 16;当且仅 当 a=21时等号成立 . 点评 :求 曲线 的 切线方程 ,要用到复合函数的求导法则 ,即 )(2y =2;要注 意 设切点 :抛物线 G:px(p 0)上任意一点 可设 为 P(2椭圆 G:222(a b)上任意一点 可设 为 P(. 同 类 试题 : 4.(2012 年福建 高考试题 )如图 ,椭圆 E:1x 2222 ab0)的左焦点为 焦点为 心率 e=1的直线交椭圆于 A、 B 两点 ,且 .( )求椭圆 E 的方程 ; ( )设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相较于点 在坐标平面内是否存在定点M,使得以 直径的圆恒过点 M？若存在 ,求出点 M 的坐标 ;若不存在 ,说明理由 . 5.(2014 年 湖南 高考试题 )如图 ,O 为坐标原点 ,双曲线 12(,)和椭圆 2222 (a2)均过点 P(332,1),且以 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2的正方形 . ( )求 2的方程 ; ( )是否存在直线 l,使得 l 与 ,B 两点 ,与 且 |=|？证明你的结论 . 子题类型 :(2013 年 广东 高考试题 )已知抛物线 C 的顶点为原点 ,其焦点 F(0,c)(c0)到直线 l: 的距离为223,设 P 为直线 l 上的点 ,过点 的两条切线 B,其中 A,B 为切点 .( )求抛物线 C 的方程 ; ( )当点 P(x0,直线 l 上的定点时 ,求直线 ( )当点 P 在直线 l 上移动时 ,求 |最小值 . 解析 :( )由 F(0,c)到直线 l: 的距离为223 2 |2| c=223 c=1 抛物线 C:y; ( )设 A(2a,B(2b,由 y y =21x y=a 切线 PA:a(即 ax=y+理可得 切线 PB:bx=y+ 切线 过 点 P(x0, y0+ y0+点 A,B 均 直线 :(y+ 直线 AB:(y+又由y0=直线 AB:(y+ ( )由 y0+ y0+a,即 的两根 a+b=x0,ab=由 |,|1 |()()=(+(a2+1=(+(a+b)2=(+(a+b)2=(+ 当 3时 , 2,即 | 得 最小值29. 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 643 点评 :求切点弦方程的 基 础是基本定理 :如果 A(x1, B(x2,不同的两点 ,且 002211 直线的方程为 :ax+by+c=0;由基本定理和切线方程 ,求切点弦方程的 过程就具有 形式化、 程序化 . 同 类 试题 : 5.(2013 年 辽宁 高考试题 )如图 ,抛物线 C1:y,C2:2py(p0)(x0,抛物线 过 M 作 切点为 A,B(M 为原点 O 时 ,A,B 重合于 O),当 - 2 时 ,切线 斜率为 ( )求 P 的值 ; ( )当 M 在 求线段 点 A,B 重合于 O 时 ,中点为 O). 6.(2015 年 浙 江 高考试题 )如图 ,已知抛物线 C1:y=41 C2:=1,过点 P(t,0)(t0)作不 过原点 O 的直线 B 分别与抛物线 2相切 ,A,B 为切点 . ( )求点 A,B 的坐标 ; ( )求 面积 . 7.(2008 年 广 东 高考试题 )设 b0,椭圆方程为2222,抛物线方程为 (如图 所示 ,过点F(0,b+2)作 x 轴的平行线 ,与抛物线在第一象限的交点为 G,已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 ( )求满足条件的椭圆方程和抛物线方程 ; ( )设 A,B 分别是椭圆长轴的左 、右端点 ,试探究在抛物线上是否存在点 P,使得 直角三角形？ 若存在 ,请指出共有几 个这样的点？并说明理由 (不必具体求出这些点的坐标 ). 8.(2015年 湖南 高考试题 )已知抛物线 C1:也是椭圆 22(ab0)的一个焦点 ,2的公共弦的长为 2 6 .( )求 ( )过点 F 的直线 l 与 ,B 两点 ,与 ,D 两点 ,且 向 ;(i)若 |求直线 l 的斜率 ; ( 处的切线与 ,证明 :直线 旋转时 , 9.(2014年 浙江 高考试 题 )如图 ,设椭圆 C:222(ab0),动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共 点 P,且点 P 在第一象限 .( )已知直线 l 的斜率为 k,用 a,b,k 表示点 P 的坐标 ; ( )若过原点 O 的直线 证明 :点 P 到直线 10.(2009 年浙江高考试题 )己知抛物线 C:py(p0)上一点 A(m,4)到其焦点的距离为417. ( )求 p 与 m 的值 ; ( )设抛物线 C 上一点 P 的横坐标为 t(t0),过 P 的直线交 C 于另一点 Q, 交 x 轴于点 M,过点 Q 作 垂线交 C 于另一点 N 是 C 的切线 ,求 t 的最小值 . ( )设 A(2a,B(2b,D(2b,d),则由 a:b=( 2;由 d=2( )设点 P(2t,t 0) C 在点 P 处的切线 :y=N1(t+),N2(2) |-|=(+16-(t+=8. ( )点 B(8 3 3 即点 B(4 3 ,12)在 p=2 抛物线 E:y; ( )设 y 轴上的点 M(0,s),P(2t,则切线 l:y=Q(1);由 0 (1-s)s(1+s)=0 s=1. ( )椭圆 E:42x+32y=1;( )设 P(2 3 ,则 直线 l: 3 22 3 Q(4, ) 以直径的圆 :x2+ ( y+(3+2=0 恒过点 M(1,0). 644 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 ( )C1:,2y+22x=1;( )设 A(x1,B(x2,公共点 P( 2 3 ,则 直线 l: 3 2 6 ,代入 3 得 :(2 2 30 x1+ 22 , 222 2224 0;而 |=| 0 ,矛盾 . ( )设 A(2a,由 切线 斜率为 a=A(1),切线 MA:21(x+1) p=2; ( )设 A(2a,B(2b,M(2t,N(x,y),则 直线 AB:tx=入 y 得 : 2a+2b=a 2b= a+b=x=a+b=y=21 (a2+21(a+b)23去 t 得 :4y=3( )设 B(1+( 0),由 圆 点 B 处的切线 PB:(1 过点 P(t,0) 12 B(2122212;由 点 P(t,0) OA:y,与 y=41(2t, ( )1|AP|d=21( )由 G(4,b+2) 切线 y=x+) 2-b=b b=1 椭圆 :,抛物线 :( ( )以 直角的 有一个 ;由 x2+ 与 抛物线 交于二 点 以 直角的 二 个 . ( )椭圆 2y+82x=1;( )如图 ,设 A(x1,B(x2,C(x3,D(x4,(i)由 同向 ,且 | (x1+x3+直线 l: y=,由 yx 12 x1+k,4;由 7289 122 yx (9+8k2)6 2891628964k 166=(289162+428964k k= 46 ;( y y =21 x y1| 21处的切线 AM:1x1(即 y=21M(21) (211),(x1, 21= 410 锐角 钝角 钝角三角形 . ( )设 P(x,y)是 椭圆 l 的交点 ,直线 l:y=kx+t,则 =(ka (222 题知 ,b2= ka:x=y