3_8064965_14.方程思想.解析几何的基本思想

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 625 中国 高考数学母题 (第 180 号 ) 方程思想 点 P(a,b)在 曲线 C:f(x,y)=0 上 f(a,b)=0,这是解析几何的基本结论 ,而 解析几何的基本思 想 是利用方程研究几 何问题 ,方程思 想 是解析几何的基本思 想 . 母题结构 :( )(直线方程 )若不同两点 A(x1,B(x2,足 c=0,c=0,则直线 AB:ax+by+c=0; ( )(韦达定理 )己知 c=0,c=0,则 x1+ab,( )(齐次 方程 )己知 (x1,(x2,0)满足 ,则11221122 母题 解 析 :略 . 方程 子题类型 :(2015 年 湖北 高考试题 )一种作图工具如图 1 所示 , O 是滑槽 中点 ,短杆 绕 O 转动 ,长杆 过 N 处铰链与 接 ,的栓子 D 可沿滑槽 动 ,且 N=1, 在滑 槽 带动 转动一周 ( ),以 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系 .( )求曲线 C 的方程 ; ( )设动直线l1:和 l2:x+2y=0分别交于 P,若直线 有 且只有一个公共点 ,试探究 : 面积是否存在最小值？若 存在 ,求出该最小值 ;若不存在 ,说明理由 . 解析 :( )设点 D(t,0),N(x0,M(x,y),由 2 y= | |1 (+,且 t(0 t=2x,2y162x+42y=1; ( )设直线 l 与曲线 C 的公共点 R(42 直线 l:24 P( , ),Q( , ) =21| - |=|28 8,当且仅当 1时取等号 积的最小值为 8. 点评 :当曲线 (x0, ,可得 曲线 处的切线方程为 :f=0;椭圆 G:222(a b)在点 P(处的切线方程为 :. 同 类 试题 : 1.(2006年全国 高考试题 )在平面直角坐标系 有一个以 ,- 3 )和 , 3 )为焦点 ,离心率为23的椭圆 ,设椭圆在第一象限的部分为曲线 C,动点 P 在 C 上 ,C 在点 P 处的切线与 x、 y 轴的交点分别为 A、 B,且向量 求 :( )点 M 的轨迹方程 ; ( )|的最小值 . 2.(2014 年 湖南 高考试题 )如图 ,O 为坐标原点 ,双曲线 12(,)和椭圆 2222 (a2)均过点 P(332,1),且以 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2的正方形 . ( )求 2的方程 ; 626 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 ( )是否存在直线 l,使得 l 与 ,B 两点 ,与 且 |=|？证明你的结论 . 弦方程 子题类型 :(2010 年重庆 高考 理科 试题 )已知以原点 F( 5 ,0)为右焦点的双 曲线 C 的离心率 e=25.( )求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程 ; ( )如 图 ,已知过点 M(x1,直线 l1: 与过点 N(x2,其中 直线 l2:4 的交点 E 在双曲线 C 上 ,直线 两条渐近线分别交与 G、 H 两点 ,求 面积 . 解析 :( )设 双曲线 C:22(a0,b0),则 a2+,22125 双曲线 C:42,渐近线 :y=21x; ( )设 点 E(x0,则 ;由 直线 l1:与直线 l2:的交点 为 E ,且 点M(x1, N(x2,在直线 : 上 直线 MN:,与 联立得 G(00 24 ,00 22 ),与 x+2y=0 联 立得 H(4 ,00 22 ) 面积 S=21 |00 24 00 22 +00 24 00 22 |= 2020 48 =2. 点评 :求圆锥曲线切点弦 的 方程 是解决与 切点弦 有关问题的基础 ,也是形成“统一”解法的关键 ;从点 P(x0,曲线G:222的两条切线 ,切点分别为 A、 B,则直线 200. 同 类 试题 : 3.(2010 年 重庆 高考 文科 试题 )已知以原点 O 为中心 ,F( 5 ,0)为右焦点的双曲线 C 的离心率 e=25. ( )求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程 ; ( )如 图 ,已知过点 M(x1,直线 l1: 与过点 N(x2,其中直线 l2: 的交点 E 在双曲线 C 上 ,直线 两条渐近线分别交与 G、 H 两点 ,求 值 . 4.(2008 年江西高考试题 )设点 P(x0,直线 x=m(y m,0b0)的一个焦点为 ( 5 ,0),离心率为35. ( )求椭圆 ( )若动点 P(x0,椭圆外一点 ,且点 的两条切线相互垂直 ,求点 解析 :( )令 c= 22 ,c= 5 ,e=5 a=3,c= 5 b=2 椭圆 C:92x+42y=1; ( )设 两切线 为 l1,当 由 3, 2;当 x 轴且不平行于 设 l1,k1, l1:k1(代入 椭圆 :(9)8(;由直线 圆 =0 ( 程 ( 的 根 ,同理可得 程 (的 根 42020由 19420201 3,且当 3, 2 时 ,也满足 点 P 的轨迹方程 是 x2+3. 点评 :对 “同等地位”的两 条直线 ,首先围绕其中一条直线“单方面” 展开分析与运算 ,直至得到关于某量的一元二次方程 ,同理可得另一条直线对应量也是该一元二次方程的根 ,通过根与系数的关 系 ,使问题获得干净利落的 解 决 . 同 类 试题 : 5.(2015 年全 国高中数学联赛江 苏 初赛 试题 )如图 ,在平面 直角坐标系 ,圆 直线 l:y= x 轴正半轴 相切 圆 的 半径之积为 2,两圆的一个交点为 P(2,2),求 直线 l 的 方程 . 6.(2008年全国高中数学联赛山东 初赛试题 )F(1,0)为一定点 ,P(0,b)是 点 M(a,0)满足 = 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 效手段 627 满足 20,求 :( )点 N 的轨迹曲线 C 的方程 ; ( )曲线 7.(2009年 山东 高考试题 )设 m R,在平面直角坐标系中 ,已知向量 a=(mx,y+1),向量 b=(x,a b,动点 M(x,y)的轨迹为 E.( )求轨迹 并说明该方程所表示曲线的形状 ;( )已知 m=41,证明 :存在圆心在原点的圆 ,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B,且 为坐标原点 ),并求出该圆的方程 ; ( )已知 m=41,设直线 l 与圆C:x2+2(1b0)的左焦点为 焦点为 心率 e=21. 过 、 B 两点 ,且 .( )求椭圆 E 的方程 ; ( )设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相较于点 在坐 标平面内是否存在定点 M,使得以 直径的圆恒过点 M？若存在 ,求出点 M 的坐标 ;若不存在 ,说明理由 . 9.(2013 年 广东 高考试题 )已知抛物线 C 的顶点为原点 ,其焦点 F(0,c)(c0)到直线 l: 的距离为223,设 P 为直线 l 上的点 ,过点 P 做抛物线 C 的两条切线 B,其中 A,B 为切点 . ( )求抛物线 C 的方程 ; ( )当点 P(x0,直线 l 上的定点时 ,求直线 ( )当点 P 在直线 l 上移动时 ,求 |最小值 . 10.(2013年 辽宁 高考试题 )如图 ,抛物线 C1:y,C2:2py(p0)(x0,抛物线 过 切点为 A,B(M 为原点 O 时 ,A,B 重合于 O),当 - 2 时 ,切线 斜率为 ( )求 ( )当 2上运动时 ,求线段 点 A,时 ,中点为 O). 11.(2015 年 浙 江 高考试题 )如图 ,已知抛物线 C1:y=41 C2:=1,过点 P(t,0) (t0)作不过原点 O 的直线 B 分别与抛物线 2相切 ,A,B 为切点 . ( )求点 A,B 的坐标 ; ( )求 面积 . 注 :直线与抛物线有且只有一个公共点 ,且与抛物线的对称轴不平行 ,则该直线 与抛物线相切 ,称该公共点为 切点 . 12.(2009 年浙江高考试题 )己知抛物线 C:py(p0)上一点 A(m,4)到其焦点的距离为417. ( )求 p 与 m 的值 ; ( )设抛物线 C 上一点 P 的横坐标为 t(t0),过 P 的直线交 C 于另一点 Q, 交 x 轴于点 M,过点 Q 作 垂线交 C 于另一点 N 是 C 的切线 ,求 t 的最小值 . ( )椭圆 C:2y=1;设 P(2(01,y4);( )由 |2=x2+9 |的最小值 =3. ( )C1:,2y+22x=1;( )设 A(x1,B(x2,公共点 P( 2 3 ,则 直线 l: 3 2 6 ,代入 3得 :(22 30 x1+ 22 , 222 2224 0;而 |=| 0 ,矛盾 . 628 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 ( )双曲线 C:42,渐近线 :y=21x;( )设 点 E(x0,则 直线 MN:,与 联立得G(00 24 ,00 22 ),与 x+2y=0 联立得 H(4 ,00 22 ) 2020 412=3. ( )曲线 :9(;( )设 A(x1,B(x2, 直线 AB: A、 M、 B 三点共线 . 设 k=O1(m,O2(n, +(2=(2, +(2=(2 m,n 是 方程 1)t+8=0 的 两根 ;由 半径之积为 2 41 21 k=34. ( )设 N(x,y),由 =0,20 ,x+a=0,y=2b x;( )设 交点 T(x0,切线 :k( 代入 x 得 : =0 =0;由 1 1 交点轨迹 是直线 x=( )由 a b ; 当 m=0时 ,两直线 ,方程为 y= 1; 当