3_8065039_3.三项展开式的通项公式

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 347 中国 高考数学母题 (第 112 号 ) 三项展开式的通项公式 利用 二项式展开式 的通项公式 ,虽 然 可以 解决 三项展开式 试题 ,但思维能力要求高 ,解题过程沉长 ;若直接使用 三项式展开式 的通项公式解决有关问题 ,则简巧方便 . 母题结构 :(三项式定理 ):(a+b+c)(k1,k2,!！kk!k ! 321 其中 k1,k2,N,且 k1+k2+k3=n. 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(1984 年 全国 高考试题 )(|x|+|1的展开式中的常数项 为 . 解析 :(法一 )由 (|x|+|1=(|x|+|1x)的 通项 =2)3x|+|1x)k;由 (|x|+|1x)项 =项 k=0,2:当 k=0时 ,常 数项 =(8;当 k=2时 ,(|x|+|1x)2展开式中的常数项 =2 常 数项 =2(32 =上 ,展开式中的常数项 =法 二 )由 (|x|+|1=( |x -|1x)6的 通项 =(-1)|x )6常数项 =(20.(法 三 )由 (|x|+|1的通项 T(k1,k2,!！kk!k !3 321|x|1k (|1x)2k (k =!！kk!k !3 321(k |x|1k - 2k , 其中 k1+k2+;令 2k1+ (k1,k2,(0,0,3),(1,1,1) 常数项 =!！30!0!3(+!！11!1!3(=点评 :法一 添加括号 ,把某两项看成一项 ,这是把三项式向二项式转化的有效途径 ;法二将 三项式 分解因式 ,这 样可 把三项式 转化为两个二项式 积的形式 ;若 三项式恰好是二项式的平方 ,则也可直接转化为二项式问题求解 ;法三 利用三项式定理 ,注意 :各指数 0 k n;各指数所 满足的条件 :各指数 和 =n; 分析研究不定方程组 的所有解 . 同 类 试题 : 1.(2003 年 安徽 春招 试题 )(41x+1)6的展开式中常数项为 (用数字作答 ). 子题类型 :(1992年 全国 高考试题 )在 (x+2)5的展开式中 ) (A)160 (B)240 (C)360 (D)800 解析 :(法一 )由 (x+2)5=(x)+25的 通项 =x)5且仅当 k=4时 ,=x)5 展开式中 3 24B).(法 二 )由 (x+2)5=(x+1)5(x+2)5,(x+1)5的 通项 =x+2)5的 通项 =25展开式中 5125B).(法 三 )由 (x+2)5的 展开式中 (3x+2)5的 展开式中 3 24240.(法 四 )由 (x+2)5的 展开式 的通项 T(k1,k2,!！kk!k !5 321(k (3x)2k 23k =!！kk!k !5 321 23k 32k 2k ,其中 k1+k2+;令 2k1+ , 展开式中 x 的系数 240. 点评 :解决 三项式 (a+b+c)开式问题 的基本思 路 有 :转化为二项式 展开式问题 ; 直接利用 三项式 定理 . 同 类 试题 : 2.(2015 年 上海 高考试题 )在 (1+x+20151x)10的展开式中 , (结果用数值表示 ). 子题类型 :(2015 年 课 标 高考试题 )(x2+x+y)5的展开式中 , )(A)10 (B)20 (C)30 (D)60 348 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 解析 :(法一 )由 (x2+x+y)5=(x2+x)+y5 的 通项 =x2+x)5 ,k=2 (x2+x)3=x3(x+1)3 (x+1)3 中 系数C).(法 二 )由 (x2+x+y)5的 展开式 的通项 T(k1,k2,!！kk!k !5 321(k (x)2k !！kk!k !5 321 2k 其中 k1+k2+;令 2k1+, , !！22!1!5=C). 点评 :三项式定理 展开式的通项公式 ,结构对称优美 ,易于记忆 开式的通项公式 是解决 三项式 展开式 问题 的 母题公式 . 同 类 试题 : 3.(2009年 江 西 高考试题 )(1+ax+by)43,不含 2,则 a,b,n 的只可能为 ( ) (A)a=2,b=-1,n=5 (B)a=-2,b=-1,n=6 (C)a=-1,b=2,n=6 (D)a=1,b=2,n=5 4.(2004 年 安徽 春招 试题 )若 (x+20,则自然数 n= . 5.(2005 年湖北 高考试题 )(2x+2 )5的展开式中整理后的常数项为 . 6.(1997 年全 国高中数学联赛上海 初赛试题 )展开式 (1+x+的常数项是 . 7.(2012 年全 国高中数学联赛四川 初赛试题 )(x2+的展开式中的常数项是 (用具体数字作答 ). 8.(2014 全国高中数学联赛 浙江 初赛试题 )x R+,则 (展开式中常数项为 ( ) (A) (B) (C) (D) (法一 )由 (x+2的 通项 =(21)常数项 =(21)66231;(法 二 )由 通项 T(k1,k2, 常数项 =16231. (法一 )由 (1+x+20151x)10=(1+x)+20151x10的通项 =+x)100151x)k,为求 只有 k=0 +x)10的展开式中 ,5;(法 二 )将 (1+x+20151x)10视为 10 个因式的积 ,其中 ,2 个取 x,余下 8 个取 1 5;(法 三 )由 T(k1,k2,!！k！10 32120151x)3k !0!2!8！10=45. 由 (1+b)n=243,(1+a)n=32 a=1,b=2,n=D). 由 (x+n=(x 项 =(-1)x )2 2 k=n 常数项 =(-1)20 n=3. (法一 )由 (2x+0的通项 =(21)10x )10常数项 =2263;(法 二 )由 T(k1,k2, 常数项 =2263. (法一 )由 (1+x+的通项 =x+x1)k= (k,t)=(0,0),(2,1),(4,2),(6,3) 常