1_6354476_15.柯西不等式在解析几何中的应用

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 柯西不等式在解析几何 中的应用 妙 解 解析几何中的最值 问题 因为柯西不等式的加入 ,开拓了解决解析几何中最值问题的视角和方法 ,利用柯西不等式 解决解析几何中最值问题 ,不仅 可以 极大的减少 算 量 ,而且拓展了 解决解析几何中最值问题 的范围 . 母题结构 :(二维 柯西不等式 )若 a,b,x,y R,则 (a2+x2+ (ax+. 母题 解 析 :由 (a2+x2+ (ax+ 22 22|;设点 P(x,y),直线 l:ax+,则 | 22 ,点点 P 到直线 l 的距 离 d=22|;由 | d 22 22| (a2+x2+ (ax+. 子题类型 :(2014 年 湖北 高考试 题 )已知 2是椭圆与双曲线的公共焦点 ,P 是它们的一个公共点 ,且 ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值是 ( ) (A)334(B)332(C)3 (D)2 解析 :设 椭圆的长半轴长为 半轴长为 曲线的实半轴长为 半轴长为 圆与双曲线的离心率分别为e1, 由 ba b=1-)1(41 )1(3 2222 11e+223e=4;由柯西不等式 :(1+31)(211e+223e) (11e +21e )211e +21e 334 (A). 点评 :柯西不等式在解析几何中的简单应用有 :与椭圆、双曲线上一点 P(x,y)有关的线性目标函数 z=ax+最值问题 ;可建立约束 条件下的 目标函数的最值问题 (本题就是一个佳例 ). 子题类型 :(2008 年 全国 高考试 题 )设椭圆中心在坐标原点 ,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点 ,直线 y=kx(k0)与交于点 D,与椭圆相交于 E、 F 两点 . ( )若 6求 k 的值 ; ( )求四边形 积的最大值 . 解析 :( )由 题设得椭圆 :42x+,直线 AB:x+2y=2 D(122k,122又由 6 57 F(57122k,5712241(57122k)2+(57122=1 k=32,或 k=83; ( )如图 ,易知四边形 积 S 等于四边形 积的两倍 ,设点 F(x,y)(x0,y0),则四边形 积 =21(x+2y) S=x+2y;由柯西不等式得 :(x+2y)2=(22x+2y)2 (22+22)(42x+8 S=x+2y 2 2 ,当且仅当 x= 2 ,y=22时 ,等号成 S 的最大值为 2 2 . 点评 :在 椭圆、双曲线 中 ,若所求面积可转化为其上一点或二点 的 坐标函数 ,或 可建立约束 条件下的面积表达式 ,则利用 柯西不等式 可巧妙求解 . 子题类型 :(2014年 浙江 高考试 题 )如图 ,设椭圆 C:222(ab0),动直线 l 与 椭圆 C 只有一个公共点 P,且点 P 在第一象限 . ( )已知直线 l 的斜率为 k,用 a,b,k 表示点 P 的坐标 ; ( )若过原点 O 的直线 证明 :点 P 到直线 解析 :( )设 P(x,y)是 椭圆 C 与直线 l 的交点 ,直线 l:y=kx+t,则 =(ka (222 题知 ,b2= ka:x=y=2222 P(2222; ( )设 点 P(x0,过点 P 且与 切线 l 垂直的 直线 为 切线 l:200 直线 2 直线 点 P 到直线 点 d=20420422=)( 22022020420422222)( =且仅当 a3:等 号成立 点 P 到直线 点评 :本题的第 ( )问给出了一个基本结论 :原点 O 到椭圆 C:222(ab0)上任意一点 P 处的法线 (过点 P 且与椭圆 处的切线垂直的直线 )距离的最大值为 1.(2008 年 全国 高考试 题 )若直线ax+ 通过点 M(,则 ( ) (A)a2+1 (B)a2+1 (C)21a+21b 1 (D)21a+21b 1 2.(2008 年 江苏 高考试 题 )在 平面直角坐标系 ,点 P(x,y)是椭圆32x+ 上的一个动点 ,求 S=x+y 的最大值 . 3.(2004 年复旦 大学 保送生考试 试题 )椭圆162x+92y=1 内接矩形周长的最大值是 . 4.(2014 年全国高中数学联赛 湖 北 预赛 试题 )共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为 e1,椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的 2 倍 ,则11e +21e 的最大值为 . 5.(2012 年广东高考试题 )在平面直角坐标系 ,已知椭圆 C:222(ab0)的离 心率 e=32,且椭圆 C 上的点到Q(0,2)的距离的最大值为 3. ( )求椭圆 C 的方程 ; ( )在椭圆 C 上 ,是否存在点 M(m,n),使得直线 l:mx+ 与圆 O:x2+ 相交于不同的两点 A、 B,且 面积最大？若存在 ,求出点 M 的坐标及相对应的 面积 ;若不存在 ,请说明理由 . 6.(2011年中南财经大学保送生考试试题 )如图 ,已知椭圆 C:222(ab0)上的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为 2+ 3 和 2- 3 ,直线 y=kx(k0) 与 交于点 D,与椭圆相交于 E、 F 两点 . ( )求此椭圆的方程 ; ( )若 6求 k 的值 ; ( )求四边形 积的最大值 . 7.(2007 年 陕西 高考试 题 )已知椭圆 C:222(ab0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为 3 . ( )求椭圆 C 的方程 ; ( )设直线 l 与椭圆 C 交于 A、 B 两点 ,坐标原点 O 到直线 积的最大值 . 8.(2004年全国高中数学联赛 四川 初赛 试题 )已知椭圆 :222(ab0)动圆 :x2+2,其中 D(x0,则 E( 412k, x0=由6 x0+( 7752412k k=32 ,83 ; ( )易知四边形 积 S 等于四边形 积的两倍 ,设点 F(x,y)(x0,y0),则四边形 积 =21(x+2y) S=x+2y;由柯西不等式得 :(x+2y)2=(22x+2y)2 (22+22)(42x+8 S=x+2y 2 2 ,当且仅当 x= 2 ,y=22时 ,等号成 S 的最大值为 2 2 . ( )由 e=22136,a= 3 b=1 椭圆 C:32x+; ( )设 A(x1,B(x2,则 S 1|23|31x 23 )3)(3(2222212