1_6354544_7.让椭圆“圆”形毕露

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 让椭圆“圆”形毕露 解决 椭圆 问题 的 一个 绝妙方 法 在 伸缩变换 : 椭圆 G:2222 =1(ab0)变为 圆 O: 2x + 2y =1;椭圆 G 变为 圆 O 后 ,椭圆 G 中的复杂隐含的问题就可以变为 圆 O 中 的简单直观 的问题 ,伸缩变换 为 解决椭圆 问题 提供了一个绝妙的方法 ,为此我们建立母题如下 : 母题结构 :已知椭圆 G:2222 =1(ab0)和圆 O: 2x + 2y =1,在 伸缩变换 : 点 P、 A、 B、 C 与点 P 、 A 、B 、 C 一一对应 ,则 :点 P(x,y)在椭 圆 C 上 点 P (x ,y )在 圆 O 上 ; 直线 椭圆 G 的交点个数 =直线 A B 与 圆O 的交点个 数 ; A、 B、 C 三点共线 A 、 B 、 C 三点共线 ,且 C 为 C 为 A B 的中点 ; 若直线 斜率为 k,直线 A B 的斜率为 k ,则 k = 若直线 斜率为 k,|A B |=222211 | BC=. 母题 解 析 : 由 点 P(x,y)在椭 圆 2222 =12222 )()(=1 2x + 2y =1 点 P (x ,y )在 圆 设 直线 AB:y=kx+t,则 直线 A B :=+t;把 y=kx+(b2) =4设原点 线 A B 的距离 =d,则 1t =222 1 ( 直线 圆 直线 A B 与 圆 易证 ,略 ; |A B |= 21 k |=2)(1 221)(1 21k |222211 | 设 (x1,(x2,则 =( =( =21|1|BC= . 子题类型 :(2012 年安徽 高考试题 )如图 ,c,0),F2(c,0)分别是椭圆 C: 2222 =1(ab0)的左 ,右焦点 ,过点 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 点 P, 过点 x=. ( )若点 Q 的坐标为 (4,4),求椭圆 C 的方程 ; ( )证明 :直线 椭圆 C 只有 一个交点 . 分析 :由 P(-c,由 此易解第 ( )问 ;进行 伸缩变换 后 ,直线与椭圆 只有一个交点 转化直线与圆相切 ,而这是容易解决的 . 解析 :( )由题知 P(-c,2 2直线 y=22令 x=y=22 (2a Q(a),2a=4 a=2,c=1 椭圆 C:42x+32y=1; ( )作伸缩变换 : 椭 圆变成单位圆 O:x 2+y 2=1,点 c,0)、 F2(c,0)分别 变成 )、 E2(),直线 x =直线 l1:x=1(12 22(1222直线y=322 Q1(ca,11 111 直线 直线 只有一个交点 . 点评 :根据伸缩变换 : 圆 G:2222 =1(ab0)的切线问题 圆 O: 2x + 2y =1 的切线问题 ;这为解决椭圆的切线问题提 供了一个绝妙方法 . 子题类型 :(2011 年江苏 高考试题 )在平面直角坐标系 , M、 N 分别是椭圆42x+22y=1 的顶点 ,过坐标原点的直线交椭圆于 P、 A 两点 ,其中 P 在第一象限 ,过 P 作 x 轴的垂线 ,垂足为 C,连接 延长交椭圆于点 B,设直线 斜率为 k. ( )当直线 分线段 k 的值 ; ( )当 k=2 时 ,求点 P 到直线 距离 d; ( )对任意 k0,求证 :分析 :本题第 ( )( )问是常规问 题 ,易解 ;第 ( )问是本题的题眼 ;根据斜率转化公式 k = ,2P k ,由此可得 :k k =而转化为圆 中两直线的斜率积问题 . 解析 :( )由 M(),N(0,- 2 ) 线段 中点坐标为 Q(22) k=2; ( )当 k=2 时 ,直线 PA:y=2x,代入42x+22y=1 得 P(32,34),A(34) 直线 AC: d=322; ( )作伸缩变换 : yy 2,则 椭圆 变成单位圆 O:x 2+y 2=1,直线 为 圆 O 的直径 P1(m,n),则 m, C1(m,0)111 1 112 12 2112 1 点评 :根据 2P k ,可把椭圆中的垂直问题转化为圆中两直线的斜率积问题 ;利用 |A B |=222211 |可把椭圆中的度 量 问题转化为圆中的度 量 问题 . 子题类型 :(2008 年全国 高考试题 )设椭圆中心在坐标原点 ,A(2,0)、 B(0,1)是它的两个顶点 ,直线 y=kx(k0)与交于点 D,与椭圆相交于 E、 F 两点 . ( )若 6求 k 的值 ; ( )求四边形 积的最大值 . 分析 :由 于 第 ( )( )问 涉 及的 A,B,E,F 四点均在 椭圆 上 ,因此 ,可利用 伸缩变换 进 行 解决 . 解析 :对于椭圆42x+作伸缩变换 : yy ,则椭圆变成单位圆 O:x 2+y 2=1,点 A(2,0)变成 A (1,0),点 B(0,1)变成 B (0,1) |A B |= 2 ,直线 EF:y=成直线 E F :y =2 |E F |=2; ( )由 6 116 11 |75 点 圆 x2+75)2与 直线 A B :x+y=1 的交点 k=32戓83; ( )在 单位圆 当且仅当 A B E F ,即 2k=k=21时 ,四边形 A E B F 的面积取最大值 =21|A B |E F | = 2 四边形 积的最大值 S=2四边形 A E B F 的面积 =2 2 . 点评 :通过 BC=,可把椭圆中的 面积 问题转化为圆中的 面积 问题 ,尤其是 椭圆中 面积 的 最值 问题转化为圆中面积 的 最值 问题 ,可获得直观奇妙的解法 . 1.(2013 年安徽 高考试题 )已知椭圆 C:2222 =1(ab0)的焦距为 4,且过点 P( 2 , 3 ). ( )求椭圆 ( )设 Q(x0,0)为椭圆 过点 Q作 垂足为 (0,2 2 ),作 垂线交 x 轴于点 是点 D 关于 y 轴的对称点 ,作直线 G 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由 . 2.(2009 年清华大学自主招生数学试题 )如图 ,过 椭圆 :2222 =1(ab0)的 端点 A()作直线 l 交 椭圆 于 P,交 y 轴于Q,过原点作 l l,l 交 椭圆 于 | 2 |等比数列 . 3.(2009 年辽宁高考试题 )己知椭圆 C 经过点 A(1,23),两个焦点为 (),(1,0). ( )求 椭圆 C 的方程 ; ( )E、 F 是椭圆 C 上的两个动点 ,如果直线 斜率与 斜率互为相反数 ,证明 :直线 斜率为定值 ,并求出这个定值 . 4.(2013年 山东 高考试题 )在平面直角坐标系 已知椭圆 ,焦点在 短轴长为 2,离心率为22. ( )求椭圆 C 的方程 ; ( )A,B 为椭圆 C 上满足 面积为46的任意两点 ,E 为线段 中点 ,射线 椭圆 ,设 求实数 t 的值 . 5.(2006 年 上海 高考试题 )已知在平面直角坐标系 的一个椭圆 ,它的中心在原点 ,左焦点为 F(- 3 ,0)且右顶点为D(2,0) 的坐标是 (1,21). ( )求该椭圆的标准方程 ; ( )若 P 是椭圆上的动点 ,求线段 点 M 的轨迹方程 ; ( )过原点 O 的直线交椭圆于点 B,C,求 积的最大值 . 6.(2013 年 课标 高考 试题 )平面直角坐标系 ,过椭圆 M:2222 =1(ab0)右焦点 的直线 x+ =0 交 M 于 A、 P 为 中点 ,且 斜率为21. ( )求 M 的方程 ; ( )C,D 为 M 上的两点 ,若四边形 D 四边形 积 的最大值 . ( )由题知 ,22 32 =1 椭圆 C:48 22 =1; ( )作伸缩变换 : yy 22,则 椭圆 变成单位圆 O:x 2+y 2=1,点 A 变为点 , 2 ),设 Q1(,则1E1(0)11 11112112 直线 y= 2 2 ) )11 =111 直线 位圆 只有一个交点 直线 椭圆 C 一定有唯一的公共点 . 作伸缩变换 : 椭圆变成单位圆 O:x 2+y 2=1,点 A()、 P、 Q、 R 变为 点 A ()、 P 、 Q 、 R ,由 l l 及 弦长关系式 |A B | =222211 | ,| 2 |等比数列 |2| |A Q |A R |=2|2 |A Q |A R |=2;设 Q A O= ,则 A Q O= ;在 R O 中 ,| | |A R |= 在 Q A 中 ,|A Q |=|B Q |2 |A Q |A R |= 22. ( )由两个焦点为 1,0),0) c=1,2a=|4 a=2 椭圆 C 的方程为 :34 22 =1; ( )作伸缩 变换 : yy 2,则椭圆变成单位圆 O:x 2+y 2=1,点 A(1,23)变成 1,23),因 直线 斜率与 斜率互为相反数 ,由 伸缩变换 的性质知 ,直线 1过 1G x 轴交单 位圆 O 于点 G,过 ;由 直线 1 直线 3 直线 斜率 k=231为定值 . ( )22x+;( )对于椭圆22x+作伸缩变换 : yy ,则椭圆变成单位圆 O:x 2+y 2=1,设 A,B,P, ,B ,P ,E ,则=22S 3 21A =43 A =23 A =3,或32;当 A =3时 , =332;当 A =32时 , =2 变换 的性质 4 知 , =332,或 2. ( )椭圆42x+; ( )(+4(=1; ( )对于椭圆42x+作伸缩变换 : yy ,则在椭圆变成单位圆 O:x 2+y 2=1,点 A(1,21)变成 A (21,21),直线 成 B C 是圆 O 的直径 |B C |=2 A B C 面积的最大值 =21|B C |=22 积的最大值 =2 A B C 面积的最大值 = 2 . 作伸缩变换