1_6354550_1.抛物线的焦点弦.弹奏一类高考试题

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 抛物线的焦点弦 抛物线 焦点弦试题的母题 抛物线 的焦点弦 是高考命题的一个生长点 ,由此开发的高考试题源源不断 ,由 抛物线的焦点弦 ,弹奏 出 一类高考试题 ;为此我们构造出此 类高考试题 的母题如下 : 母题结构 :设 抛物线 px(p0)的焦点弦 倾斜角为 ,则 | p,|p,|2 p. 母题 解 析 :如图 ,设 抛物线 的 准线为 l,作 l 于点 D,l 于点 C, 点 H,则 |AF|由 |AF|p |=p,同理可 得 :|p |p+p= 2 12p |AB|p. 子题类型 :(2010 年 重庆 高考试题 )已知以 F 为焦点的抛物线 x 上的两点 A、 B 满足 3则弦 中点到准线的距离为 . 分析 :由 抛物线 的定义易得 :抛物线的 焦点弦 中点到准线的距离 =21|因此问题转化为求 抛物线的 焦点弦 长 . 解析 :由 3 抛物线的 焦点弦 ,设 直线 倾斜角为 ,则 |p,|p p=3 p 21 |28p 弦 中点到准线的距离 =21|34p=38. 点评 :关于 抛物线 的焦点弦长还有 如下 两个变式 : 若 斜率为 k,则 |2(1+21k)p; 若 则 | 2 )1( 2p. 子题类型 :(2013年 课标 高考试题 )设抛物线 C:,直线 且与 ,若 |3|则 L 的方程为 (A)y=y= (B)y=33( y= (C)y= 3 ( y=- 3 ( (D)y=22( y=分析 :由 |p,|p | |,考虑到 A,B 的不同位 置可能有| |. 解析 :设 直线 L 的 倾斜角为 ,由 |3|p=3p或p=3p 21 3 ;由 焦点 F(1,0) 直线 L:y= 3 (故选 (C). 点评 :关于抛物线的焦点 有如下结论 : 若| | ( 1),且直线 则 | =11;若| | ,且直线 率为 k,则 1+11)2. 关的面积 子题类 型 :(2012 年安徽高考试题 )过抛物线 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、 点 O 是原点 ,若 |3,则 面积为 . 分析 :由 |3 可求 进而可求 由 S 面积 . 解析 :由 p=2,|3p=3 322 S p=223. 点评 :抛物线 焦点弦 面积公式 还有 : S 2 S 2 1.(2009 年福建高考试题 )过抛物线 px(p0)的焦点 F 作倾斜角为 450的直线交抛物线于 A、 B 两点 ,若线段 长为8,则 p= . 2.(2014 年 课标 高考试题 )设 :x 的焦点 ,过 00的直线交于 ,则 | . 3.(2010 年 重庆 高考试题 )已知抛物线 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线 于 A、 B 两点 ,|2,则 | . 4.(1993 年第四届“希望杯”全国数学邀请赛 (高二 )试题 )过抛物线 y2=x 的焦点 F 的直线 ,l 交抛物线于 A,B 两点 ,且 A 点在 x 轴上方 ,则 |取值范围是 . 5.(2008年全国 高考试题 )己知 :过 的直线交 、 设 |则 | |比值为 . 6.(2008 年江西高考试题 )过抛物线 py(p0)的焦点 F 作倾斜角为 300的直线 ,与抛物线分别交于 A、 B 两点 (点 A 在 ,则| | . 7.(2012 年 重庆 高考试题 )过抛物线 作直线交抛物线于 A,若 |1225,|)的焦点作斜率为 1 的 直线与该抛物线交于 A,B 两点 ,A,B 在 x 轴上的正射影分别为 D,2 2 ,则 P= . 详解 : 由焦点弦长公式 |2p=8 p=2. 由焦点弦长公式 |2p=12. 由 |p=2 0 |=2. 由4 2 112 |p (2p,(2+ 2 )p,又 p=21 |取值范围是(41,1+22. 由| |0455=3+2 2 . 由倾斜角为 300 直线 与对称轴夹角 =600;又由 点 A 在 |p,|p | |=31. 由 p=1,|22225 562 51;由 | |p=65. 由 |p=4 面积 = 3 . 由 p=23, =300 S p=49. 由 k= 3 =600 |p=4 面积 =4 3 C). 由 |2=4 2 =32