14_5042174_24.长方体的模型功能之直角面体

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 长方体的模型功能之直角面体 模型解题法之 三 长方体是立体几何中的基本几何体 ,其结构对称 ,内涵丰富 ,具有 展开空间想象的 依托 功能 ,是研究 立体 几何体的重要载体 模型 ;直角四 面体 是长方体 的基 本 子题 ,也是高考试题的一个重要 模型 载体 . 母题结构 :在 长 方体 ( )设计 四面体 方体 面体的条件 ; ( )若 DA=a,DC=b,c,分别以直线 x、 y、 建立空间直角坐标系 ,则 平面 法向量 m=(a1,b1, 母题 解 析 :( ) 侧棱 面 在 , 的高 ,沿 起 ,使 00; ( )由 A(a,0,0),C(0,b,0),0,c) (-a,b,0), 1(,c);设 平面 m=(x,y,z),由 m 0,m 10 ,令 x= m=(. 子题类型 :(2006 年 江西 高考试题 )如图 ,已知三棱锥 侧棱 两垂直 , 且 ,C=2,E 是 中点 . ( )求 O 点到面 距离 ; ( )求异面直线 C 所成角 的 余弦值 ; ( )求二面角 余弦值 . 解析 :分别以直线 x、 y、 z 轴 ,建立空间直角坐标系 ,如图 ,则 A(0,0,1), B(2,0,0),C(0,2,0) E(0,1,0)( )由平面 法向量 m=(1,1,2),(0,0,1) O 点 到面 距离 d=| | 36;( )由 (,0),(0,2, 2 异面直线 成角的 余弦值 =52;( )由平面 法向量 n=(1,2,2) 867 二面角 余弦值 =1867. 点评 :由于直角四面体中存在一个顶点上的三条棱两两垂直 ,这为 建立空间直角坐标系 创建了绝佳基 础 . 子题类型 :(2007年 湖北 高考试题 )如图 ,在三棱锥 面 C 是 中点 ,且 C=a, (0=222 2)(21 0 (4,2) 直线 平面 成的角的取值范围 是 (0,4). 点评 :在直角四面体中存在三个侧面两两垂直 ,除此以外 的另 一个 面 称为斜面 ,斜面的法向量有广泛应用 ,值得记忆 . 子题类型 :(2015 年 重庆 高考试题 )如图 ,三棱锥 ,面 C=3, , D,E 分别为线段 C 上的点 ,且 E= 2 ,. ( )证明 :面 ( )求二面角 余弦值 . 解析 :分别以直线 x、 y、 z 轴 ,建立空间直角坐标系 ,如图 ,则 P(0,0,3); 由 E= 2 , (0,2,0),B(0,3,0),D(1,1,0) A(23,0,0); ( )由 (,0),(1,1,0),(0,0,3) 0, 0 E 面 ( )平面 法向量 m=(2,1,1),法向量 (,0) 63 二面角 余弦值 =63. 点评 :解答 直角四面体 问题的常规程序 :建系 ;巧设单位长度 ,求点的坐标 ;求相关向量 ,解决问题 . 1.(2013 年 广东 高考试题 )如图 ,在边长为 1 的等边三角形 ,D,E 分别是 C 边上的点 ,E,F 是 中点 ,E 交于点 G,将 F 折起 ,得到如图所示的三棱锥 中 2. ( )证明 :面 ( )证明 :面 ( )当 2时 ,求三棱锥 2.(2014 年 上海 春招 试题 )如图 ,在体积为31的三棱锥 ,平面 直 ,B=1, ,E、 F 分别是 中点 F 与 成的角的 余弦值 . 3.(2000 年 上海 高考试题 )如图所示四面体 ,C,两互相垂直 ,且 C=2,E 是 点 , 异面直线 E 所成的角 满足 1010,求四面体 体积 . 4.(2011 年 陕 西高考试题 )如图 ,在 , 00, 00, 的高 ,沿 起 ,使 00. ( )证明 :平面 面 ( )设 E 为 中点 ,求 角的余弦值 . 5.(2014 年 陕 西高考试题 )四面体 其三视图如图所示 , 过棱 中点 E 作平行于 C 的平面分别交四面体的棱 C,点 F,G,H. ( )证明 :四边形 矩形 ; ( )求直线 平面 角 的正弦值 . 6.(2007 年 北京 高考试题 )如图 ,在 ,斜边 以通过 以直线 轴旋转得到 ,且二面角 直二面角 ,动点 D 在斜边 . ( )求证 :平面 平面 ( )当 D 为 中点时 ,求异面直线 D 所成角的 余弦值 ; ( )求 平面 成角的最大值 . 7.(2012 年 湖北 高考试题 )如图 1, 50,过动点 A 作 足 D 在 线段 且异于点 B,连接 起 ,使 00(如图 2 所示 ). ( )当 长为多少时 ,三棱锥 体积最大 ; ( )当三棱锥 体积最大时 ,设点 E,M 分别为棱 试在棱 确定一点 N,使得 求 平面 成角的大小 . 8.(2005 年 浙江 高考 文科 试题 )如图 ,在三棱锥 ,B=1 O、 D 分别是 中点 ,面 ( )求证 :平面 ( )求直线 平面 成角的 正弦值 . 9.(2005 年 浙江 高考 理科 试题 )如图 ,在三棱锥 ,B=BC= O、 D 分别是 中点 ,面 ( )当 k=21时 ,求直线 平面 成角的大小 ; ( )当 k 取何值时 ,O 在平面 的射影恰好为 重心？ 10.(2010 年 辽宁 高考试题 )已知三棱锥 ,平面 B A=1 为 一点 ,S 分别为 C 的中点 . ( )证明 :( )求 平面 成角的大小 . ( )由 C,E B=C 面 )由 F=21,2 面 )当 2时 ,21,13 1243. 由 体积 V=31 ;又由 异面直线 C 所成的角的 余弦值 =5. 如图建立空间直角坐标系 ,则 A(0,2,0),C(2,0,0) E(1,1,0);设 D(0,0,z),则 (1,1,0), (0,-2,z) 2422 z;由 1010 24 22 z=1010 z=4 四面体 体积 V=38. ( )由 D 平面 平面 面 ( )不妨设 ,则 3 ,如图建立空间直角坐标系 ,则 B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0, 3 ) E(21 ,23 ,0) (21 ,23 ,- 3 );由 (1,0,0) 2222 . ( )由三视图 知 ,B,两垂直 面 面 C F,G,H 分别是 C,中点 四边形 平行四 边形 ;又 由 平行四 边形 矩形 ; ( )如图建立空间直角坐标系 ,则 A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0) F(1,0,0),G(0,1,0) 平面 法向量 m=(1,1,0),由 (2,0, 10 510. 如图建立空间直角坐标系 ,则 A(0,0,2 3 ),B(0,2,0),C(2,0,0); ( )由 C 平面 平面 平面 ( )当 D 为 中点时 ,D(0,1, 3 ) (, 3 );由 (0,0,2 3 ) 46 异面直线 D 所成角的 余弦值 =46; ( )由 面 平面 成的角 当 小时 , 大 ,此时 足为 D 3 平面 成角的 最大时的正切值 =332, ( )设 BD=x,则 50,由 平面 00 三棱锥 体积 V=61x(3(0=平面 成角的 满足 |23 =3. ( )由 O、 D 分别是 中点 平面 ( )设 B=a,b,如图建立空间直角坐标系 ,则 B(0,2a,0),C(,0),P(0,0,2b) D(,b);由 1 a2+(a2+ b= 7 a;由 (,b),平面 m= (-b,b,a) 0210 直线 平面 成角的 正弦值 =30210. ( )设 B=a,b,如图建立空间直角坐标系 ,则 B(0,2a,0),C(,0),P(0,0,2b) D(,b);由 1 a2+(a2+ b= 7 a;由 (,b),平面 m= (-b,b,a) 0210 直线 平面 成角的 正弦值 =30210; ( )由 重心 G(2a,32b) (2a,32b);由 (0,b)