2014~2016福建省高一数学竞赛真题

2016 年 福 建 省 高 一 数 学 竞 赛 试 题 参 考 答 案 及 评 分 标 准（ 考 试 时 间 ： 5 月 8 日 上 午 8： 30 11： 00）一 、 选 择 题 （ 每 小 题 6 分 ， 共 36 分 ）1 若 集 合 2 12 0A x x x ， 1 01xB x x ， C x x A x B 且 ， 则 集 合 C （ ）A 3 1 1 4 ， ， B 3 1 1 4 ， ， C 3 1 1 4 ， ， D 3 1 1 4 ， ，2 已 知 直 线 1l ： ( 2) 3 1 0m x my 与 直 线 2l ： ( 2) ( 2) 4 0m x m y （ 0m ） 相 互 垂 直 ， 垂 足为 P ， O为 坐 标 原 点 ， 则 线 段 OP 的 长 为 （ ） A 5 B 2 C 3 D 23 如 图 ， 在 三 棱 锥 P ABC 中 ， PAB ， PBC 均 为 等 边 三 角 形 ， 且AB BC 。 则 二 面 角 A PC B 的 余 弦 值 为 （ ）A 23 B 33 C 63 D 134 若 函 数 2 2 4 3( ) 2 log 3ax x xf x x x ， ， ， （ 0a ， 且 1a ） 的 值 域 为 3 ， ， 则 实 数 a的 取 值 范 围 为（ ） A 1 3， B (1 3)， C (3 )， D 3 ，5 如 图 ， 在 四 面 体 P ABC 中 ， 已 知 PA、 PB、 PC 两 两 互 相 垂 直 ， 且 3PA PB PC 。 则 在 该四 面 体 表 面 上 与 点 A距 离 为 2 3的 点 形 成 的 曲 线 段 的 总 长 度 为 （ ）A 3 B 3 3 C 5 32 D 3 32 6 ( )f x 是 定 义 在 R 上 的 函 数 ， 若 (0) 1f ， 且 对 任 意 x R ， 满 足( 2) ( ) 2f x f x ， ( 6) ( ) 6f x f x ， 则 (2016)f （ ）A 2013 B 2015 C 2017 D 2019二 、 填 空 题 （ 每 小 题 6 分 ， 共 36 分 ）7 已 知 实 数 x， y 满 足 2 2 6 4 4 0x y x y ， 记 2 2 2 4x y x y 的 最 大 值 为 M ， 最 小 值 为 m ，则 M m 。8 过 直 线 2y x 上 一 点 P作 圆 C ： 2 2 5( 3) ( 1) 4x y 的 切 线 PA、 PB， A、 B 为 切 点 。 若 直 线 PA、PB关 于 直 线 2y x 对 称 ， 则 线 段 CP的 长 为 。9 已 知 正 四 棱 锥 P ABCD 的 底 面 边 长 为 6， 侧 棱 长 为 5， I 为 侧 面 PCD 的 内 心 ， 则 四 棱 锥I ABCD 的 体 积 为 。10 已 知 ( )f x 是 偶 函 数 ， 0x 时 ， ( )f x x x （ 符 号 x 表 示 不 超 过 x的 最 大 整 数 ） ， 若 关 于 x的方 程 ( )f x kx k （ 0k ） 恰 有 三 个 不 相 等 的 实 根 ， 则 实 数 k 的 取 值 范 围 为 。11 方 程 2( 1)( 1) 1x y xyz （ x y ） 的 正 整 数 解 ( )x y z， ， 为 。 （ 写 出 所 有 可 能的 情 况 ）12 已 知 0a ， 0b ， 0c ， 则 5 8 2 32 3 2b c a c b ca b b c c a 的 最 小 值 为 。三 、 解 答 题 （ 第 13、 14、 15、 16 题 每 题 16 分 ， 第 17 题 14 分 ， 满 分 78 分 ）13 已 知 ( ) lnf x x ， 2( ) 2 4 1g x x ax a 。（ 1） 若 函 数 ( ( )f g x 在 区 间 1 3， 上 为 单 调 函 数 ， 求 实 数 a的 取 值 范 围 ；（ 2） 若 函 数 ( ( )g f x 在 区 间 31 e ， 上 的 最 小 值 为 2 ， 求 实 数 a的 值 。14 已 知 2( ) ( 2)f x x a x a （ a R ） 。（ 1） 若 ( ) 0f x 在 区 间 ( 3 1) ， 内 有 两 个 不 同 的 实 数 根 ， 求 实 数 a的 取 值 范 围 ；（ 2） 若 1x 时 ， ( ) 0f x 恒 成 立 ， 求 实 数 a的 取 值 范 围 。15 如 图 ， 圆 O的 圆 心 在 坐 标 原 点 ， 过 点 (0 1)P ， 的 动 直 线 l与 圆 O相 交 于 A， B两 点 。 当 直 线 l平 行于 x轴 时 ， 直 线 l被 圆 O截 得 的 线 段 长 为 2 3。（ 1） 求 圆 O的 方 程 ；（ 2） 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 内 ， 是 否 存 在 与 点 P 不 同 的 定 点 Q， 使 得QA PAQB PB 恒 成 立 ？ 若 存 在 ， 求 出 点 Q的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 。16 如 图 ， O、 I 分 别 为 ABC 的 外 心 、 内 心 ， 连 结 CI 并 延 长 交 ABC 的 外 接 圆 O 于 点 H 。 D、E 分 别 在 ABC 的 边 AB 、 AC 上 ， 且 满 足 DB BC CE 。（ 1） 求 证 ： HB HI ；（ 2） 求 证 ： IHO EBD 。17 已 知 集 合 1 2 3 2016M L， ， ， ， ， 求 最 大 的 正 整 数 k ， 使 得 存 在 集 合 M 的 k 元 子 集 A， 满 足 集合 A中 任 何 一 个 数 都 不 等 于 其 余 任 意 两 个 不 同 数 的 积 。2015 年 福 建 省 高 一 数 学 竞 赛（ 考 试 时 间 ： 5 月 10 日 上 午 8： 30 11： 00）一 、 选 择 题 （ 每 小 题 6 分 ， 共 36 分 ）1.集 合 1 3A x x x N ， 的 子 集 有 （ ）A 4 个 B 8 个 C 16 个 D 32 个2 若 直 线 2l 与 直 线 1l ： 2 1y x 关 于 直 线 y x 对 称 ， 则 2l 与 两 坐 标 轴 围 成 的 三 角 形 的 面 积 为 （ ）A 1 B 23 C 12 D 143 给 出 下 列 四 个 判 断 ：（ 1） 若 a， b 为 异 面 直 线 ， 则 过 空 间 任 意 一 点 P ， 总 可 以 找 到 直 线 与 a， b 都 相 交 。（ 2） 对 平 面 ， 和 直 线 l， 若 ， l ， 则 l 。（ 3） 对 平 面 ， 和 直 线 l， 若 l ， l ， 则 。（ 4） 对 直 线 1l ， 2l 和 平 面 ， 若 1l ， 2 1l l ， 且 2l 过 平 面 内 一 点 P ， 则 2l 。其 中 正 确 的 判 断 有 （ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个4 如 图 ， 已 知 正 方 体 1 1 1 1ABCD ABC D ， E 为 CD中 点 ， 则 二 面 角 1E AB B 的 正 切 值 为 （ ） A 1 B 24 C 2 D 2 25 已 知 ABC 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， CA CB ， 4AB ， O为 AB 中点 ， 动 点 P 满 足 条 件 ： 2PO PA PB ， 则 线 段 CP长 的 最 小 值 为 （ ）A 3 B 2 C 5 D 46 记 ea e ， b ， c e ， ed ， 则 a， b ， c， d 的 大 小 关 系 为 （ ）A a d c b B a c d b C b a d c D b c d a （ 必 要 时 ， 可 以 利 用 函 数 ( ) lnf x e x x 在 0 e， 上 为 增 函 数 ， 在 e ， 上 为 减 函 数 ）二 、 填 空 题 （ 每 小 题 6 分 ， 共 36 分 ）7 已 知 ( )f x 为 奇 函 数 ， ( )g x 为 偶 函 数 ， 且 2( ) ( ) 2xf x g x x ， 则 (1)f 。8 已 知 直 线 l： 1 0x By 的 倾 斜 角 为 ， 若 45 120 ， 则 B的 取 值 范 围 为 。9 如 图 ， 在 三 棱 锥 P ABC 中 ， PA PB PC ， PA PB ， PA PC ， PBC 为等 边 三 角 形 ， 则 PC 与 平 面 ABC 所 成 角 的 正 弦 值 为 。10 函 数 2 2( ) 2 3 6f x x x x x 的 最 小 值 为 。11 已 知 函 数 2 5 4x xy a a （ 0a ， 且 1a ） 在 区 间 1 1 ， 上 的 最 小 值 为 54 ，则 2 5 4x xy a a 在 区 间 1 1 ， 上 的 最 大 值 为 。12 若 实 数 x， y 满 足 条 件 ：2 22 3 04 9 36x yx y ， 则 2 x y 的 最 小 值 为 。三 、 解 答 题 （ 第 13、 14、 15、 16 题 每 题 16 分 ， 第 17 题 14 分 ， 满 分 78 分 ）13 在 ABC 中 ， 已 知 点 (2 1)A ， ， (2 8)B ， ， 且 它 的 内 切 圆 的 方 程 为 2 2 4x y ， 求 点 C 的 坐 标 。14 已 知 2( )f x x bx c （ b ， c R ， 0b ） ， 且 对 任 意 实 数 x， ( ) 2f x x b 恒 成 立 。（ 1） 求 证 ： c b ； （ 2） 若 当 c b 时 ， 不 等 式 2 2( ) ( ) ( )M c b f c f b 对 满 足 条 件 的 b ， c恒 成 立 ， 求 M的 最 小 值 。15 如 图 ， AD、 CF 分 别 是 ABC 的 中 线 和 高 线 ， PB、 PC是 ABC 外 接 圆 O的切 线 ， 点 E 是 PA与 圆 O的 交 点 。（ 1） 求 证 ： AFD ACP ； （ 2） 求 证 ： DC 平 分 ADE 。16 已 知 正 整 数 a， b ， c（ a b c ） 为 ABC 的 三 边 长 ， 且 2 2 215 15 15a b c ， 求 a b c 的 最 小值 。 其 中 m 表 示 m 的 小 数 部 分 ， 即 m m m （ m 表 示 不 超 过 m 的 最 大 整 数 ） 。17 已 知 集 合 1 2 3 2015P L， ， ， ， 。 集 合 A是 P 的 子 集 ， 且 在 A的 任 意 三 个 元 素 中 ， 总 可 以 找 到 两 个元 素 a和 b ， 使 得 a是 b 的 整 数 倍 。 求 A 的 最 大 值 。 （ 其 中 A 表 示 集 合 A的 元 素 的 个 数 ） .2014 年 福 建 省 高 一 数 学 竞 赛 试 题（ 考 试 时 间 ： 5 月 11 日 上 午 8： 30 11： 00）一 、 选 择 题 （ 每 小 题 6 分 ， 共 36 分 ）1 已 知 集 合 1A x x a ， 2 2xB y y x ， ， 若 A B A ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为（ ）A 1， B ( 1)， C 0 1， D 3，2 若 一 个 圆 锥 的 侧 面 展 开 图 是 面 积 为 2 的 半 圆 面 ， 则 该 圆 锥 内 切 球 的 体 积 为 （ ）A 4 327 B 32 327 C 43 D 163 3 函 数24y x x 的 值 域 为 （ ）A 2 2 2 2 ， B 2 2 2 ， C 1 2 ， D 2 2 ，4 给 出 下 列 命 题 ：（ 1） 设 l， m是 不 同 的 直 线 ， 是 一 个 平 面 ， 若 l ， l m ， 则 m 。（ 2） a， b 是 异 面 直 线 ， P 为 空 间 一 点 ， 过 P 总 能 作 一 个 平 面 与 a， b 之 一 垂 直 ， 与 另 一 条 平 行 。（ 3） 在 正 四 面 体 ABCD中 ， AC 与 平 面 BCD所 成 角 的 余 弦 值 为 33 。（ 4） 在 空 间 四 边 形 ABCD中 ， 各 边 长 均 为 1， 若 1BD ， 则 AC 的 取 值 范 围 是 (0 3)， 。其 中 正 确 的 命 题 的 个 数 为 （ ）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个5 已 知 ( )f x 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 且 对 任 意 x R ， 均 有 ( 3) ( )f x f x ， 当 3(0 )2x ， 时 ，2( ) ln( 1)f x x x ， 则 函 数 ( )f x 在 区 间 0 6， 上 的 零 点 个 数 为 （ ）A 6 个 B 7 个 C 8 个 D 9 个6 已 知 函 数 2 2( ) 6 13 10 29f x x x x x 。 给 出 下 列 四 个 判 断 ：（ 1） ( )f x 的 值 域 是 0 2， ； （ 2） ( )f x 的 图 像 是 轴 对 称 图 形 ；（ 3） ( )f x 的 图 像 是 中 心 对 称 图 形 ； （ 4） 方 程 ( ) 29 13f f x 有 解 。其 中 正 确 的 判 断 有 （ ）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个二 、 填 空 题 （ 每 小 题 6 分 ， 共 36 分 ）7 已 知 集 合 2 2( ) ( 2014) ( 2014) 1A x y x y ， ， ( ) 2014 2 2014B x y x y a ， ，若 A B ， 则 实 数 a的 取 值 范 围 为 。8 如 图 ， 在 等 腰 直 角 三 角 形 ABC 中 ， 4CA CB ， D、 E 分 别 为 AC 、 AB的 中 点 。 将 ADE 沿 DE 折 起 ， 使 得 折 起 后 二 面 角 A DE B 为 60。 则 折 起 后四 棱 锥 A DEBC 的 体 积 为 。9 已 知 函 数 2 2 1( ) log ( )xf x x 的 图 像 关 于 点 A 对 称 ， 则 点 A 的 坐 标为 。10 ABC 中 ， 已 知 4AB ， 若 3CA CB ， 则 ABC 面 积 的 最 大 值 为 。11 已 知 二 次 函 数 2( )f x ax bx c ， 若 对 任 意 0 2x ， 均 有 ( ) 2f x 成 立 ， 则 b 的 最 大 值为 。12 不 等 式22 8 6 logx x 的 解 集 为 。三 、 解 答 题 （ 第 13、 14、 15、 16 题 每 题 16 分 ， 第 17 题 14 分 ， 满 分 78 分 ）13 （ 本 题 满 分 16 分 ） 求 二 次 函 数 2( ) 2 1f x ax x 在 区 间 1 2， 上 的 最 小 值 ( )g a 的 表 达 式 。14 （ 本 题 满 分 16 分 ） 已 知 两 个 同 心 圆 1C ： 2 2 4x y 和 2C ： 2 2