范数最优控制理论在植树挖坑机钻头主轴纵向振动系统中的应用.pdf

1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 范 数 最 优 控 制 理 论 在 植 树 挖 坑 机 钻 头主 轴 纵 向 振 动 系 统 中 的 应 用 3孟 庆 华 1 ,2 ,于 建 国 1(1. 东 北 林 业 大 学 机 电 工 程 学 院 ,黑 龙 江 哈 尔 滨 150040 ;2. 天 津 体 育 学 院 教 育 科 学 系 ,天 津 300381)摘 要 :首 先 利 用 弹 性 动 力 学 理 论 和 Hamilton 变 分 原 理 建 立 了 植 树 挖 坑 机 钻 头 主 轴 及 钻 尖 在 进 给 过 程 中 钻 尖 与 土 壤互 相 作 用 而 产 生 纵 向 振 动 的 动 力 学 模 型 ,同 时 给 出 边 界 条 件 和 初 始 条 件 。 其 次 通 过 把 系 统 阻 尼 函 数 当 作 控 制 变 量 ,利 用算 子 半 群 理 论 和 Banach 空 间 几 何 方 法 ,以 “ 范 数 最 小 ” 来 证 明 系 统 最 优 控 制 的 存 在 性 和 唯 一 性 ,为 有 效 地 预 测 和 控 制 钻头 的 运 动 规 律 ,改 善 钻 头 主 轴 的 动 力 学 特 性 ,提 高 钻 头 工 作 效 率 及 改 进 设 计 方 法 提 供 了 新 的 理 论 依 据 。关 键 词 :挖 坑 机 ;钻 头 主 轴 ;纵 向 振 动 ;范 数 最 小 ;最 优 控 制中 图 分 类 号 :O175 ; T G52 文 献 标 识 码 :A 文 章 编 号 :1001 - 2354 (2006) 09 - 0025 - 03我 国 现 有 林 地 面 积 13 370 万 hm2 ,森 林 蓄 积 量 10 137 亿m3 ,人 均 占 有 森 林 面 积 和 蓄 积 量 分 别 只 有 世 界 人 均 水 平 16 %和 12 % ,森 林 覆 盖 率 仅 有 16. 55 % ,远 低 于 世 界 平 均 水 平 ,而 且土 地 日 趋 沙 漠 化 。 因 此 ,提 高 森 林 覆 盖 率 ,保 护 生 态 环 境 ,防 风固 沙 ,必 须 从 植 树 造 林 开 始 。 利 用 机 械 化 加 速 植 树 造 林 ,早 日实 现 绿 化 祖 国 的 “ 21 世 纪 中 国 亚 马 逊 工 程 ” 有 重 大 的 现 实 意 义 。植 树 挖 坑 机 是 一 种 方 便 、 实 用 的 挖 坑 、 整 地 机 械 ,对 提 高 整 地 质量 ,减 轻 劳 动 强 度 ,提 高 生 产 效 率 ,减 低 成 本 等 均 发 挥 很 大 作用 ,在 林 业 与 园 林 作 业 中 被 广 泛 使 用 1 。多 年 来 ,科 技 工 作 者 对 挖 坑 机 的 生 产 效 率 、 工 作 部 件 的 结构 参 数 做 过 大 量 研 究 ,尤 其 是 对 主 要 工 作 部 件 钻 头 的 几 何 尺寸 、 螺 旋 升 角 等 问 题 研 究 得 更 为 深 入 ,形 成 了 整 套 理 论 和 公式 2 5 。 而 整 机 的 振 动 特 性 ,特 别 是 钻 头 主 轴 的 振 动 特 性 对 机器 的 寿 命 和 工 作 品 质 影 响 较 大 ,但 由 于 问 题 的 复 杂 性 和 价 值 成本 等 原 因 ,致 使 国 内 外 专 家 很 少 研 究 ,近 年 来 虽 有 对 挖 坑 机 振动 特 征 进 行 动 力 学 分 析 6 ,但 用 数 学 理 论 对 挖 坑 机 钻 头 主 轴 振动 系 统 建 模 与 控 制 ,在 国 内 外 研 究 中 尚 未 见 报 道 。 由 于 问 题 的复 杂 性 ,难 以 用 一 个 确 定 函 数 关 系 表 示 其 运 动 规 律 。 为 了 便 于研 究 ,在 对 钻 头 主 轴 进 行 振 动 分 析 时 ,可 将 其 分 解 为 横 向 振 动 、纵 向 振 动 和 扭 转 振 动 3 个 系 统 分 别 进 行 研 究 。文 中 将 通 过 把 系 统 阻 尼 系 数 当 作 控 制 变 量 ,以 “ 范 数 最 小 ”来 衡 量 其 最 优 性 ,并 证 明 了 挖 坑 机 钻 头 主 轴 纵 向 振 动 系 统 最 优控 制 的 存 在 性 和 唯 一 性 ,为 提 高 钻 头 工 作 效 率 及 改 进 设 计 方 法提 供 了 新 的 理 论 依 据 。 找 出 系 统 的 最 优 控 制 元 ,这 意 味 着 要 以最 小 “ 消 耗 ” 来 实 现 挖 坑 机 在 给 定 状 态 下 工 作 的 目 的 。1 钻 头 主 轴 纵 向 振 动 模 型 的 建 立1. 1 基 本 假 设(1) 钻 头 主 轴 为 均 质 弹 性 直 杆 。(2) 坑 轴 线 与 钻 头 主 轴 轴 线 重 合 ,忽 略 钻 头 主 轴 的 弯 曲 变形 和 与 坑 壁 的 摩 擦 作 用 。(3) 钻 头 主 轴 顶 部 与 连 接 处 及 挖 坑 机 支 架 简 化 为 刚 度 为 K的 弹 簧 。(4) 振 源 来 自 钻 尖 与 土 壤 互 相 作 用 ,使 钻 尖 在 坑 底 上 下 运动 产 生 的 相 对 位 移 。1. 2 力 学 模 型 的 建 立 7 在 以 上 假 设 的 基 础 上 参 照 图 1 ,利 用 弹 性 杆 理 论 与 空 间 运动 学 及 Hamilton变 分 原 理 ,可 推 导 出 钻 头 主 轴 的 纵 向 振 动 的 方程 。图 1 挖 坑 机 钻 头 主 轴 结 构 及 截 面 坐 标 系 简 图设 钻 头 主 轴 的 质 量 为 m ,截 面 抗 拉 刚 度 为 EA ( x) , E 为 弹性 模 量 , A ( x) 为 横 截 面 积 , ( x) 为 钻 头 主 轴 在 x 点 处 的 系 统 阻尼 系 数 , l 为 钻 头 主 轴 长 度 , ( x) c0 , l 为 讨 论 的 控 制 变 量 。假 设 钻 头 主 轴 的 横 截 面 在 纵 向 振 动 过 程 中 始 终 保 持 平 面 ,其 弯 曲 变 形 忽 略 不 计 ,即 同 一 横 截 面 上 各 点 仅 在 纵 向 x 轴 作 相等 位 移 ,以 u( x , t) 表 示 在 t 时 刻 钻 头 主 轴 在 x 点 处 纵 向 位 移 。根 据 牛 顿 运 动 定 理 可 得 :第 23 卷 第 9 期2 0 0 6 年 9 月机 械 设 计JOU RNAL OF MACHIN E DESIGNVol. 23 No. 9Sep. 20063 收 稿 日 期 :2006 - 04 - 27 ;修 订 日 期 :2006 - 06 - 24基 金 项 目 :教 育 部 博 士 点 基 金 项 目 (20040225005)作 者 简 介 :孟 庆 华 (1975 - ) ,女 ,黑 龙 江 人 ,东 北 林 业 大 学 机 电 工 程 学 院 博 士 生 ,天 津 体 育 学 院 教 育 科 学 系 讲 师 ,研 究 方 向 :系 统 建 模 与 系 统 仿真 。 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 92 u( x , t)9t 2 -EA ( x)m 92 u( x , t)9x 2 + ( x)9u ( x , t)9t = g令 : EA ( x)m = q( x)方 程 可 化 为 :92 u( x , t)9t 2 + ( x)9u ( x , t)9t - q( x) 92 u( x , t)9x 2 = g假 设 初 始 条 件 :u( x ,0) = 0 ( x) ;9u ( x ,0)9t = 1 ( x)假 设 边 界 条 件 :u (0 , t) = 0 ; u( l , t) = 0由 此 可 得 钻 头 主 轴 纵 向 振 动 模 型 :92 u( x , t)9t 2 + ( x)9u ( x , t)9t - q( x) 92 u( x , t)9x 2 = gu (0 , t) = 0 , u( l , t) = 0u( x ,0) = 0 ( x) , 9u ( x ,0)9t = 1 ( x)(1)2 钻 头 主 轴 纵 向 振 动 模 型 的 最 优 控 制2. 1 状 态 空 间取 状 态 空 间 L2 0 , l ,令 H1 = span 1 , x , H2 为 H1 的 直 交补 子 空 间 ,那 么 L2 0 , l = H1 H2 。设 P1 为 空 间 L2 0 , l 到 H1 上 的 投 影 算 子 ,则 I - P1 = P2为 L 2 0 , l 到 H2 上 的 投 影 算 子 ,在 H1 上 ,方 程 (1) 化 为 :92 u( x , t)9t 2 = gu (0 , t) = 0 , u( l , t) = 0u( x ,0) = P1 0 , 9u ( x ,0)9t = P1 0(2)容 易 求 出 方 程 (2) 的 解 为 :u( x , t) = a1 + a2 x + a3 t + a4 xt其 中 系 数 a1 , a2 , a3 , a4 ,都 由 P1 0 , P2 1 唯 一 确 定 。 在 H2上 ,方 程 (1) 化 为 :92 u( x , t)9t 2 + ( x)9u ( x , t)9t - q( x)92 u( x , t)9x 2 = gu (0 , t) = 0 , u( l , t) = 0u( x ,0) = P2 0 , 9u ( x ,0)9t = P2 1(3)设 方 程 (3) 的 解 为 u2 ( x , t) ,则 有 :定 理 1 :如 果 u1 ( x , t) 是 方 程 (2) 的 解 ,则 u( x , t) 是 方 程 (1)的 解 的 充 分 必 要 条 件 是 u( x , t) - u1 ( x , t) 是 方 程 (3) 的 解 。在 H2 上 定 义 算 子 A2 8 :A 2 f = ( - q( x) 92 f ( x)9x 2 )D( A 2) = f H2 | A 2 f H2则 方 程 (3) 可 写 成 下 面 算 子 方 程 形 式 :u( t) + ( x) u( t) + A 2 u( t) = gu(0) = P2 0 , u(0) = P2 1(4)为 了 将 算 子 方 程 (4) 转 化 为 一 阶 发 展 方 程 ,引 入 Hilbert 空间 H = H1 H2 对 P x = ( x1 , x2 ) T , y = ( y1 , y2 ) T H ,定 义内 积 和 范 数 如 下 :( x , y) = ( x1 , y1) + ( x2 , y2) , x = ( x , x)其 中 : ( , ) 为 L 2 0 , l 中 内 积 ,令 :y = ( y1 , y2) T , y1 = A 1/ 22 u , y2 = dudt ,B2 =0 A 1/ 22- A 1/ 22 - , c2 =0g那 么 方 程 (4) 化 为 :d ydt = B2 y + c2y (0) = ( y1 (0) , y2 (0) ) T = ( A 1/ 22 P2 0 , P2 1) T(5)引 理 18 :算 子 B2 生 成 c0 一 个 半 群 T2 ( t) 。引 理 28 : T2 ( t) 为 解 析 半 群 ,并 且 存 在 常 数 M 1 , 0 ,使 得 : T2 ( t) Ml - t 。由 引 理 1、 引 理 2 和 定 理 1 可 知 方 程 (1) 的 解 为 :u = u1 + A - 1/ 22 y1 (6)其 中 :A - 1/ 22 是 有 界 线 性 算 子 。2. 2 主 要 结 果设 N 0 ,记 系 统 阻 尼 系 数 控 制 集 为 :U = c0 , l | 0 N , x 0 , l ,对 U 中 元 素 ,取 L 2 0 , l 范 数 ,不 难 验 证 U 是 L 2 0 , l 中 的 闭 凸 子 集 。设 3 为 可 达 目 标 函 数 ,记 :U ad = U | 使 得 u 是 方 程 (1) 的 解 ,且 u - u1 = 3 ,则 称 U ad 为 系 统 阻 尼 系 数 允 许 控 制 集 ,钻 头 主 轴 纵 向 振 动 系 统的 控 制 问 题 就 是 寻 求 0 U ad ,使 得 : 0 L2 0 , l = min L2 0 , l | U ad式 中 : 0 称 最 优 系 统 阻 尼 系 数 控 制 元 。定 理 2 : 钻 头 主 轴 纵 向 振 动 系 统 在 U ad 中 存 在 唯 一 的 最 优系 统 阻 尼 系 数 控 制 元 。证 明 :易 知 U ad 非 空 ,以 下 只 需 证 明 U ad 是 L 2 0 , l 中 闭 凸子 集 9 。已 知 U 是 L 2 0 , l 中 闭 凸 集 , 先 证 U ad 凸 性 , 设 1 , 2 U ad ,0 1 ,由 U ad 的 定 义 及 定 理 2 知 ,存 在 方 程 (1) 的 解u 1 , u 2 ,使 得 u i - u1 满 足 方 程 (4) ,则 有 :d2 ( u i - u1)dt2 + i ( x)d ( u i - u1)dt + A 2 ( u i - u1) = g , i = 1 ,2 , u i (0) - u1 (0) = P2 0 ,d ( u i - u1)dt | t =0 = P2 1 , i = 1 ,2 , u i - u1 = 3 , i = 1 ,2 , (7)令 : = 1 + (1 + ) 2 , u = u 1 + (1 - ) u 2 ,则 有 :d2 ( u - u1)dt2 + ( x)d ( u - u1)dt + A 2 ( u - u1) = gu (0) - u1 (0) = P2 0 , d ( u - u1)dt | t = 0 = P2 1u - u1 = 3(8)由 此 ,根 据 U 的 凸 性 及 U ad 定 义 可 推 出 U ad ,凸 性 证 毕 。再 证 U ad 闭 性 ,设 n U ad , n = 1 ,2 , ,在 L2 0 , l 中 n强 收 敛 于 0 ,由 U ad 定 义 及 定 理 1知 ,存 在 方 程 (1) 的 解 u n , n =1 ,2 , ,使 得 :d2 ( u n - u1)dt2 + i ( x)d ( u n - u1)dt + A 2 ( u n - u1) = g , i = 1 ,2 , u n (0) - u1 (0) = P2 0 ,d ( u n - u1)dt | t = 0 = P2 1 , n = 1 ,2 , u n - u1 = 3 , n = 1 ,2 , (9)62 机 械 设 计 第 23 卷 第 9 期 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 由 式 (5) , (6) 可 知 :y n = A 1/ 22 ( u n - u1) , d ( u n - u1)dtTn = 1 ,2 , (10)满 足 方 程 :d y ndt = B2 n y n + C2 ny n (0) = ( A 1/ 22 P2 0 , P2 1) Tn = 1 ,2 , (11)这 里 :B2n=0 A 1/ 22- A 1/ 22 - n, C2n= C2设 T2n( t) , n = 1 ,2 , 是 由 B2n生 成 的 解 析 C0 - 半 群 ,则方 程 (1) 得 :y n = T2n( t) y0 (12)这 里 , y0 = y n (0) , B2 0 =0 A 1/ 22- A 1/ 22 - 0, C20= C2 , T20( t)是 由 B2n生 成 的 解 析 C0 - 半 群 ,则 由 limn n = 0 ,可 得 limn B2n=B20, limn T2n( t) = T20( t) ,记 y 0 = T20( t) y0 是 方 程 :d ydt = B2 0 y + C2 0y (0) = y0(13)的 解 ,且 由 式 (12) , (13) 可 得 limn y n = y 0 ,由 A - 1/ 22 为 界 线 性 算子 得 :limn u n = u1 + A- 1/ 22 y n = u1 + A- 1/ 22 y 0 = u 0 (14)由 定 理 1 可 知 : u 0 是 方 程 (1) 中 将 ( x) 替 换 为 0 ( x) 所 得方 程 的 解 。由 式 (14) 知 : u 0 - u1 = 3 ,再 由 U 的 闭 性 及 U ad 定 义 得 : 0 U ad 。由 L2 0 , l 是 自 反 严 格 凸 Banach空 间 ,U ad 是 L 2 0 , l 的 闭凸 子 集 ,闭 性 证 毕 。于 是 存 在 唯 一 的 0 U ad ,使 得 : 0 L2 0 , l = min L2 0 , l | U ad 0 即 为 所 谓 的 最 优 系 统 阻 尼 系 数 控 制 元 ,定 理 证 毕 。定 理 3 :如 果 0 U ad 是 挖 坑 机 钻 头 纵 向 振 动 系 统 的 最 优阻 尼 系 数 控 制 元 , 那 么 在 U ad 中 一 定 存 在 序 列 n , 使 它 在L2 (0 , l) 中 强 收 敛 于 0 。证 明 :略 ,可 以 仿 照 文 献 10 中 定 理 2 的 方 法 证 明 。3 结 束 语建 立 了 挖 坑 机 钻 头 主 轴 纵 向 振 动 系 统 数 学 模 型 ,并 通 过 把系 统 阻 尼 函 数 当 作 控 制 变 量 ,证 明 了 此 纵 向 振 动 系 统 最 优 控 制存 在 性 和 唯 一 性 ,为 有 效 地 预 测 和 控 制 钻 头 的 运 动 规 律 ,改 善钻 头 主 轴 的 动 力 学 特 性 ,提 高 钻 头 工 作 效 率 及 改 进 设 计 方 法 提供 了 新 的 理 论 依 据 。 对 林 业 与 园 林 机 械 理 论 研 究 有 一 定 指 导 意义 和 应 用 价 值 ,但 是 由 于 影 响 挖 坑 机 钻 头 动 力 学 特 性 因 素 十 分复 杂 ,目 前 还 难 以 掌 握 。 因 此 ,在 分 析 中 仍 然 是 在 假 设 条 件 基 础上 进 行 的 ,还 需 进 一 步 研 究 。 在 今 后 工 作 中 还 将 对 钻 头 主 轴 振动 系 统 中 的 横 向 振 动 和 扭 转 振 动 也 分 别 建 模 求 解 ,并 将 其 各 子系 统 综 合 进 行 有 效 控 制 。参 考 文 献 1 潘 天 丽 ,王 蓝 . 在 退 耕 还 林 中 应 大 力 发 展 林 业 机 械 J . 陕 西 林 业科 技 ,2000 ,4 :59 - 64. 2 茅 也 冰 ,王 乃 康 ,刘 会 敏 . 挖 坑 机 动 态 力 学 参 数 测 试 试 验 装 置 的 研制 J . 北 京 林 业 大 学 学 报 , 2004 ,26 (1) :79 - 82. 3 Mut hukrishna S V , Sujat ha C. Twist drill deformation and opti2mum drill geometryJ . Computers 2. De2partment of Educational Science , Tianjin Physical Culture Insti2tute , Tianjin 300381 , China)Abstract : Utilizing the theory of elastic dynamics andHamilton variation principle , the dynamics model was firstlyestablished for the longitudinal vibration produce