2014年3月高等数学(2)考前辅导资料_20140105170803

高等数学（2）考前辅导资料一、 考试复习所用教材同济版高等数学教材和网院视频PPT.大家复习一定严格按照课程给出的课件和同济大学版课本复习。注意课件要求的范围和考前辅导资料给出的重点，不要复习偏了。本次考试考前资料中不会有原题，但是题型和例题很像，大家好好复习，祝大家考个好成绩。二、 考试题型介绍本次考试第一题填空题，共有五小题，每题5分。第二题简答题，共有四小题，每题5分。第三题计算题，共有三小题，每题10分。第四题解答题，共两小题。三、 考试相关知识点首先是本章的知识点要求掌握内容，然后是一些与考试有关的知识点详细列举。注意掌握、理解、和了解等词的分量。第七章 向量代数与空间解析几何1.理解空间直角坐标系、掌握向量的概念及其表示2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量 积、混合积）3、掌握两向量垂直、平行的条件，并且会据此关系求解向量4、理解单位向量、方向数、方向余弦、向量的坐标表达式，会求单位向量5、掌握平面方程和直线方程及其求法，特别是平面方程的点法式和一般式，直线的对称式6、会求点到直线，点到平面的距离和夹角7、了解平面与平面、平面与直线、直线与直线的 夹角，并且会利用平面、直线的相互关系解决有关问题重点：向量概念、向量坐标表达式、向量运算、平面方程的点法式和一般式，直线的对称式，两向量垂直、平行的条件，直线和平面的关系难点：向量概念、向量坐标表达式，向量运算重点：主要掌握向量、单位向量、零向量的概念，三维立体向量的表示方法，怎么判断向量相等，垂直， 平行，会利用坐标作向量的线性运算，会求直线和平面的方程，会求直线的方向向量和平面的法向量。(1)向量：既有大小又有方向的量零向量:长度为0的向量叫做零向量，记作0零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量向量a与b相等，记作a=b规定：所有的零向量都相等（判断两个向量是否相等，一定要判断其大小和方向）还有单位向量只是模为1的向量，它的方向与原向量的一致，所以单位向量不一定相等。向量共线(平行)的条件若b0，则a/b的重要条件是存在唯一实数，使a=b。若设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2,z2），则有x1/x2=y1/y2=z1/z2。零向量0平行于任何向量。向量垂直的充要条件：ab的充要条件是 ab=0，即x1x2+y1y2=0。例题1.已知点 、 ，则向量 =_ (2,16)A(5,3)BAB，向量 的单位向量为_。B解：向量的坐标等于重点坐标减去起点坐标： = 、单位向量的坐标等于向(3,21)量的坐标除以向量的模： 或者 。321(,)44,)7复习题1. 已知 A(1,0,2), B(1,2,1)是空间两点， AB的模是： （ A ）A B. 3 C. 6 D 95(2)在三维立体空间，向量的表示方法：数学中，既有大小又有方向且遵循平行四边形法则的量叫做向量（vector）。在立体三维空间向量的表示方法有三种：1）代数表示：一般印刷用黑体小写字母、或a、b、c 等来表示，手写用在a、b、c等字母上加一箭头表示。2）几何表示：向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，向量的大小，也就是向量的长度。3）在立体三维坐标系中,分别取与x轴、y轴，z轴方向相同的3个单位向量i，j,k作为一组基底。若a为该坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。由空间基本定理知，有且只有一组实数（x，y, z）向量的坐标表示，使得a=向量OP=xi+yj+zk，因此把实数对（x，y, z）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y, z）。这就是向量a的坐标表示。(3)向量运算设a=（x，y，z），b=(x，y,z)。向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。a+b=(x+x，y+y,z+z)。a+0=0+a=a。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 1向量的减法和加法类似向量的数乘（每个坐标值相乘）实数和向量a的乘积是一个向量，记作a，且a=a。当0时，a与a同方向当 (,)(,)xydzffx可微=函数连续（这里的连续是指没求导的函数）偏导数存在并且偏导数连续=可微=偏导数存在以上所有关系倒推均不成立。函数连续与偏导数存在之间谁也推不出谁。例题5 设 (,)uxy在 任 何 点 (,)xy处 的 全 微 分， .2d(dsindwv求 常 数 ,wv解： 2, i.xyuuxx,y知 均 可 导 有(), 1sin,().xyxwv连 续 连 续, yxu从 而 在 任 何 点 有 1sin.v即比较知 , .0第九章 重积分及曲线积分熟练掌握在直角坐标系下和极坐标系下二重积分的计算，学会计算一些简单的二重积分。了解二重积分的概念及性质，用二重积分计算一些几何量（体积等）,了解二重积分的应用。重点：熟练掌握二重积分的计算，会交换积分顺序。难点：将积分区域D化为x-型或y型或型同济课本上第九章的一二四节，会计算二重积分，知道二重积分的应用有哪些在直角坐标系二重积分 的计算。把二重积分化为二次积分的关键：（1）选择积分次序 （2）确定定积分的上、下限 根据积分区域D的图形和被积函数f(x,y)的特点例题1.计算二重积分 I= ，其中 D是由 y= ,x=1,x=2及 x轴所围成的闭区域.Dyxde2例题2. 二重积分 交换积分次序为10(,)ydfx 10(,)xdfy二重积分的应用：利用二重积分求曲顶柱体的体积与平面图形的面积，平面薄片的质心，平面薄片的转动惯量等的计算第十章 无穷级数 掌握级数敛散性概念和性质 掌握正项级数的比较审敛法、检比法、检根法 掌握交错级数的Leibniz审敛法 掌握绝对收敛和条件收敛概念 掌握幂级数及主要性质，会求收敛半径和收敛区间，会求简单的函数的幂级数展开 熟记五个基本初等函数的 Taylor 级数展开式及其收敛半径 重点：数项级数收敛和发散的概念, 正项级数的比值判别法, 交错级数的莱布尼茨判别法,幂级数的收敛半径和收敛区域。难点：数项级数收敛的判别法的适当选择,函数间接展开成幂级数。同济课本第十一章的一二三四五节会求幂级数的收敛半径和收敛域，会判断正项级数的敛散性（1）正项级数和及其审敛性：设 和 为正项级, 部分和分别为 .1na1nb11,nnkkSaTb(1)正项级数收敛的充分必要条件: 收敛 有界.1na1n(2)比较判别法: 设 . 则 且 收敛 收敛; lim0,nb0,)l1nb1na且 发散 发散. 因此, 当 时, 该二级数敛散性相同.(0,l1n1na(l(3)极限形式比检法(DAlembert): 当 时, 收敛; 当1linar1na时, 发散; 当 和 时失效.1limnar1na(4)极限形式根检法(Cauchy): 当 时, 收敛; 当 时, lim1nra1nar发散; 当 时, 失效.1nar（2）交错级数在这不列举，仔细看课本，同样是重点例题1：（1） 判断下列正项级数的敛散性 1()nn（3）幂级数 0nax(1)收敛半径 或者 . 收敛区间 端点性态讨论.1,lim|nR1limnaR(,)R(2) 绝对收敛和一致收敛的Abel定理.(3) 和函数连续性, 逐项积分和逐项微分定理. 一个重要情形: 只要下式右边级数收敛, 则 100.RnnaaxdR例题2：判断下列幂级数的收敛域（1） （2）(3)nnx2103nx解：（1）这是不缺项的幂级数，可按公式来做。，所以收敛半径R=3，收敛区间为 。1()3limnn0,6在 处，级数为 ，收敛。在 处，级数为 ，发散。0x1()nx1n故收敛域为 ,6（2）这是缺项的幂级数，按数项级数判别法来做。1232limli3nnxx当 ，即 时，幂级数收敛。2x当 时， ，从而 ，幂级数发散。1321li0nx21lim30