2012年gct考试数学专项复习：代数部分

HHTUUGCT考试UUTHH专项复习：代数部分 。考试要求代数式和不等式的变换和计算。包括：实数和复数；乘方和开方；代数表达式和因式分解；方程的解法；不等式；数学归纳法，数列；二项式定理，排列，组合等。样题1 的值为 )3(arcosin(A) (B) (C) (D) 26165612# 棵大小不同的柳树，6 棵大小不同的杨树，栽到 5 个坑内，一5坑一棵，5 个坑内至多栽 2 棵柳树，5 个坑都栽了，有 种栽法。(A) (B) (C) (D)2810812753求阶乘不超过 的最大整数 2(A) (B) (C) (D)4564设函数 ， ，则 1)(xf 1,0x)(xf(A) (B) (C) (D)11x5设 ，则函数 的最大值为 30x2)(xy(A) (B) (C) (D)2136#袋中有 3 个黄球，2 个红球，1 个篮球，每次取一个球，取出后不放回，任取两次，取的红球的概率是 (A) (B) (C) (D)15303327现有三张密封的奖券，其中一张有奖，共有三个人按顺序且每人只能抓走一张，问谁抓到奖的概率最大？ (A)第一个人 (B)第二个人(C)第三个人 (D)一样大8比较 与 谁大？ 6.044.(A)前者 (B)后者 (C)一样大 (D)无法确定9 的值为 )1sin(。(A) (B) (C) (D) 221232310函数 是 )ln()xxf(A)周期函数 (B)奇函数(C)偶函数 (D)单调减少函数11当 时，确定 与 的大小关系 )2,0(xxtansi1(A)前者大 (B)后者大(C)一样大 (D)无法确定12在连乘式 展开式中， 前面的系)5(4)3(2)1( xxx 4x数为 3 / 18(A) (B) (C) (D)13141516重要问题样题中问题类型：排列组合（2） 、函数求值（4） 、二次函数（5） 、三角函数（1，9，11） 、简单概率问题（6，7） 、幂函数与指数函数（8） 、函数奇偶性（10） 、代数式运算（12） 。已考问题类型：二次函数（单调区间） 、函数图像(对称性)、乘方开方运算、简单概率问题、比赛场次。内容综述一、数和代数式1实数的运算（1）四则运算及其运算律（2）乘方与开方（乘积与分式的方根，根式的乘方与化简）（3）绝对值2复数（1）基本概念（虚数单位、复数、实部、虚部、模、辅角）（2）基本形式（代数形式、三角形式、指数形式）（3）复数的运算及其几何意义3代数式（1）几个常用公式（和与差的平方、和与差的立方、平方差、立方和、立方差等）（2）简单代数式的因式分解二、集合、映射和函数（微积分）1集合（1）概念（集合、空集、表示法）（2）包含关系（子集、真子集、相等）（3）运算（交集、并集、补集、全集）2函数（1）概念（定义、两要素、图形、反函数）（2）简单性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）（3）幂、指、对函数（含义、性质、常用公式）三、代数方程和简单的超越方程1一元二次方程（1）求根公式（2）根与系数的关系（3）二次函数的图像注 代数基本定理2简单的指数方程和对数方程5 / 18四、不等式（1）不等式的基本性质及基本不等式（算术平均数与几何平均数、绝对值不等式）（2）几种常见不等式的解法绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式、简单无理不等式、指数不等式、对数不等式等五、数列（微积分） 、 （数学归纳法）1数列的概念（数列、通项、前 项的和、各项的和）n2等差数列（1）概念（定义、通项、前 项的和）（2）简单性质3等比数列（1）概念（定义、通项、前 项的和）n（2）简单性质注 已知 是等差数列， 是等比数列，求 。nanbnkba1六、排列、组合、二项式定理1加法原理与乘法原理2排列与排列数（1）定义（2）公式注 阶乘3组合与组合数（1）定义（2）公式（3）基本性质 nnkmmC2,0114二项式定理注 常见问题七、古典概率问题1基本概念样本空间、样本点、随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件、和事件、积事件、互不相容事件、对立事件2概率的概念与性质（1）定义（非负性、规范性、可加性）（2）性质， ，)(0AP0)()()()( BAPBAP3几种特殊事件发生的概率（1）等可能事件（古典概型） nm)(7 / 18（2）互不相容事件 ，)()(BPAP对立事件 1（3）相互独立事件 )()(（4）独立重复试验如果在一次试验中某事件发生的概率为 ，那么在 此独立重复pn试验中这个事件恰好发生 次的概率为 。k kknpCP)1()(典型例题一、数和代数式1已知实数 和 满足条件 和 ，则xy1)(9yx1)(0yx的值是 。0yxA 。 B 。 C 。 D 。122若 且 ，则 的最小值是 B z2iiz(A) (B) (C) (D)3453已知 是一个实数，则实数 B )(ixx(A) (B)23(C) (D)32（例 2.3.1）4如果 整除 ，则实数 D )1(x123axxa(A)0 (B)-1 (C)2 (D) 2 或-1（例 2.3.5）5设 ，则 的三次方根是 B i2311(A) (B), 2,(C) (D)211（例 2.3.6）6复平面上一等腰三角形的 个顶点按逆时针方向依次为 （原点） 、3O和 ， ，若 对应复数 ，则 对应复数1Z221OZ1iz312Z D z(A) (B) (C) (D)i3i3ii（例 2.3.7.）二、集合、映射和函数1设 是两个非空实数集， 是定义在 上的函数，是讨论集BA, fBA,合 )(f与 及 的关系。,f)(Bff2.已知 ，30,1xxA求 。)(,ACBR3已知 ，函数 的图像关于原点对称的充0adcxbaxf23分必要条件是 D (A) (B) (C) (D)bc00b(例 336)4函数 与 的图形关于 。)1(xfy)1(xfyA直线 对称。 B直线 对称。1xC 轴对称。 D 轴对称。0x 0y9 / 185设 ，且 ，那么 B 0,baab72)(31lnba(A) (B)ln(21)l(C) (D)3ban31ab（例 3310）三、代数方程和简单的超越方程1.设 ，若 是方程 的两个根，求0c21,x02cbx， 。 （例 444）21,x。312函数 在 上单调减的充要条件是 。)0(2acbxy,(A ，且 。 B ，且 。0a0bC ，且 。 D ，且 。3一个容器中盛有浓度为 盐酸 500ml，第一次倒出若干，再用075水加至 500ml，第二次倒出同样多的溶液，再用水加至 500ml，这是容器中盐酸浓度为 。问每次倒出的溶液为多少？（例 02445）4指数方程组 的解 A 63214yx(A)只有一组 (B)只有两组(C)有无穷多组 (D)不存在（例 463）四、不等式1已知集合 ，集合 ，若 ，32xA 0)1(2axxBAB求 得取值范围。a2解不等式 。 （例 551）245x4,(3解不等式 。 （例 571）x831),五、数列（微积分） 、 （数学归纳法）1已知数列 是等差数列，且 。na 2,231aa（1）求数列 的通项；（2）求数列 前 项和的公式，其中 是任意实数。nbb2设 是一等差数列，且 ，求 和 。na 641032aa76a12S（例 622）3记数列 的前 项和为 ，问 为何值时 最大？（210lgnnSnS） （例 624）9n4设 是一等比数列，且 ，求 和 。 （例 a 48,1253a10,a62631）5设 是一等比数列，且 ，求 的值。n 564534253（例 632）六、排列、组合、二项式定理15 个男生和 2 个女生拍成一排照相。（1）共有多少种排法？（ ）7P（2）男生甲必须站在一端，且两女生必须相邻，有多少种排法？（）)(5P（3）男生甲必须站在中间，且两女生必须相邻，有多少种排法？（） （例 714）)(45211 / 182100 件产品中，只有 3 件次品，从中任取 3 件，（1）恰有一件次品的取法有多少种？ 2971C（2）至少有一件次品的取法有多少种？ 30（3）至多有两件次品的取法有多少种？ （例 715）13某篮球队共 10 人，其中 7 人善打锋位，4 人善打卫位，现按队员特点派 5 人出场（左、中、右锋和左、右卫） ，共有多少种派法？3621372PC4求 展开式中所有无理项系数之和。 （例 723）9)(x97531222CS七、古典概率问题1在 100 件产品中，只有 5 件次品。从中任取两件，（1）两件都是合格品的概率是多少？ 21095C（2）两件都是次品的概率是多少？（3）一件是合格品，一件是次品的概率是多少？ (例 732)21095C2一批产品的次品率为 ，每件检测后放回，在连续三件检测中1.0至少有一件是次品的概率为 。A 。 B 。 C 。 D 。71.0729.01. 081.3办公室有 40 支笔，其中 30 支是黑笔，10 支是红笔。从中任取4 支，其中至少有一支是红笔的概率是多少？ （例 734）4031C4甲、乙两人各投篮一次，如果两人投中的概率分别是 和 。6.5.0（1）两人都投中的概率是多少？ 5.06（2）恰有一人投中的概率是多少？ 5.04（3）至少有一人投中的概率是多少？ .1（例 735）模拟练习1已知集合 ，则 是 D ,212AxyBAB(A) (B) (C) (D)空集4,24,(12设 ，则 B ,22RxyQRxyP(A) (B)QP(C) (D) 4,2)4,(3函数 的定义域是B xy)1(log(A) (B) (C) (D)2,1()2,(),2()2,(4若 是任意实数，且 ，则 B ba, ba(A) (B)221(C) (D)0)lg(baab5已知 是奇函数，定义域为 ，又 在区间xf 0,xR)(xf上是增函数，且 ，则满足 的 的取值范围是 C ),0(0)1(f )(f(A) (B)1),(C) (D) ),(),)16已知函数 的反函数为 ，则 的解集是 B 12xf (xf0)(1xf(A) (B) (C) (D)2,(),( ),2),13 / 187已知复数 ，复数 ，那么 的三角形式为 D iz123z(A) (B) )4sn(co2)43sin(co(C) (D) 5i 78已知复数 满足 ，那么复数 在复平)21,(xRyxz xzz面上对应点 的轨迹是D ),(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线9设复数 ，则 在复平面内对应的点位于第UU4 UUizi3,1221z象限。10函数 的反函数为 B )0(cosxy(A) (B) 1arx )1(arcosxy(C) (D) )(csxy 11 五支篮球队相互进行循环赛，现已知 队已赛过 4 场，EDCBA, A队已赛过 3 场， 队已赛过 2 场， 队已赛过 1 场，则此时 队已DE赛过 。A1 场。 B2 场。 C3 场。 D4 场。12从 7 人中选派 5 人到 10 个不同交通岗的 5 个中参加交通协管工作，不同的选派方法有 D (A) 种 (B) 种5107PC5107PC(C) 种 (D) 种13某科技小组有 6 名同学，先从中选出 3 人去参观展览，至少有一名女生入选时的不同选法有 16 种，则小组中的女生人数为 A (A)2 (B)3 (C)4 (D)514学校要选派 4 名爱好摄影的同学中的 3 名分别参加校外摄影小组的 3 期培训（每期只派 1 名） ，甲、乙两位同学都不能参加第 1 期培训，不同的选派方式共有 D (A) 种 (B)8 种 (C)10 种 (D)12 种615设 ，则 等于 A 34)1(6)(4)1( 23xxS S(A) (B) (C) (D)4x 4x16若 的展开式中第三项的系数为 36，则正整数 的值是UU n)( n9 .17设 的展开式中，奇数项的UU二项式系数UU之和为 ，数列nx)21( na的前项和记为 ，则 B naSnalim(A) (B) (C) (D)0211218等比数列 的公比为 ，则“ ”是“对于任意正整naq1,0qa数 ，都有 ”n1的 A (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件19在等差数列 中，若前 9 项的和是 90，则 的值是UU 10 UU。na 5a20数列 中， 是前 项和。当 时， ，则nnS,12nnS3的值是A 3lim1nS(A) (B) (C) (D)215415 / 1821在各项都是正数的等比数列 中，公比 ，并且 成na1q532,a等差数列，则公比 的值为 。q21522如果 ，那么 。4)tan(,)tan()4tan(2323某企业 2002 年 12 月份的产值是这一年 1 月分产值的 倍，则p该企业 2002 年年度产值的月平均增长率为 D (A) (B) (C) (D) 1p1p1p1p24实数 满足 ，集合 ， ，则ba,0,0baA,AvuxB集合 的子集共有 B(A)2 个。 (B)4 个。 (C)8 个。 (D)16 个。答(D)25在实数范围内对整式 分解因式，最终结果 分解1)(5xf )(xf为 (A)1 个 1 次因式和 1 个 4 次因式的乘积。(B) 1 个 1 次因式和 2 个 2 次因式的乘积。(C) 2 个 1 次因式和 1 个 3 次因式的乘积。(D) 3 个 1 次因式和 1 个 2 次因式的乘积。答(B)26集合 都是实数集 的子集，已知不等式 的解集是 ，GF,R0)(xfF不等式 的解集是 ，则不等式组 的解集是 0)(xg )(,gf(A) . (B) . (C) . (D) .FFGFCR)(GFCR答(D)27有 11 个球，编号为 ，从中取出 5 个，此 5 个球编号1,03,2之和为奇数的概率是 (A) . (B) . (C) . (D) .49050520答(C)28如果数列 满足： ，则 等于 nanan4,1110a(A)19800. (B)20000. (20200. (D)20400.答(A)29已知集合 ，则 的,2),(,2),( RxyxBRxyxA BA元素数目为 （0.495）(A) 0. (B) 1.(C) 2. (D) 无穷多。30已知 是实系数方程 的根，则此方程的其他三i1034bax个根是 （0.213）(A) . (B) .i,0 i1,(C) . (D) .131已知不等式 的解集是 ，则 等于 022bxa)3,2(ba（0.63）(A) . (B) 14. (C) . (D) 10.4 1032袋中有 3 个黄球，1 个白球和 2 个红球，每次取一个球，取出后不放回，任取两次，取得红球的概率是 （0.338）(A) . (B) . (C) . (D) .15335317 / 1833已知数列 的前 n 项和为 ，则 1)2(nnSnlim（0.409）(A