2013高中数学高考题详细分类考点33 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积

考 点 33 空 间 几 何 体 的 结 构 及 其 三 视 图 和 直 观 图 、空 间 几 何 体 的 表 面 积 与 体 积一 、 选 择 题1. （ 2013新 课 标 全 国 高 考 文 科 9） 与 (2013新 课 标 全 国 高 考 理科 T7)相 同一 个 四 面 体 的 顶 点 在 空 间 直 角 坐 标 系 O-xyz 中 的 坐 标 分 别 是 (1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画 该 四 面 体 三 视 图 中 的 正 视 图 时 ,以 zOx 平 面 为投 影 面 ,则 得 到 正 视 图 可 以 为 ( )【 解 析 】 选 A.由 题 意 可 知 ,该 四 面 体 为 正 四 面 体 ,其 中 一 个 顶 点 在 坐 标 原 点 ,另外 三 个 顶 点 分 别 在 三 个 坐 标 平 面 内 ,所 以 以 zOx 平 面 为 投 影 面 ,则 得 到 的 正视 图 可 以 为 选 项 A 中 的 图 .2. （ 2013山 东 高 考 文 科 4） 一 个 四 棱 锥 的 侧 棱 长 都 相 等 ， 底 面 是 正 方形 ， 其 正 （ 主 ） 视 图 如 图 所 示 ， 该 四 棱 锥 侧 面 积 和 体 积 分 别 是 （ ）A. B. C. D. 8,845,8845,384(51),3【 解 题 指 南 】 本 题 考 查 空 间 几 何 体 的 三 视 图 及 表 面 积 和 体 积 公 式 .【 解 析 】 选 B.由 图 知 ， 此 棱 锥 高 为 2， 底 面 正 方 形 的 边 长 为 2，,侧 面 积 需 要 计 算 侧 面 三 角 形 的 高 ，38231V 512h.54214侧S3.（ 2013广 东 高 考 文 科 6） 某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 三 棱 锥的 体 积 是 （ ）A B 1613C D 23【 解 题 指 南 】 本 题 考 查 空 间 想 象 能 力 ， 要 能 由 三 视 图 还 原 出 几 何 体 的 形 状 .【 解 析 】 选 D. 由 三 视 图 判 断 底 面 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 三 棱 锥 的 高 为 2，则 .11=2=33V4. （ 2013广 东 高 考 理 科 5） 某 四 棱 台 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 四 棱 台的 体 积 是 （ ）A 4 B C D 6143163【 解 题 指 南 】 本 题 考 查 空 间 想 象 能 力 与 台 体 体 积 公 式 ， 应 首 先 还 原 出 台 体 形状 再 计 算 .【 解 析 】 选 B. 四 棱 台 的 上 下 底 面 均 为 正 方 形 ， 两 底 面 边 长 和 高 分 别 为， .1,2111442333VSSh下 下棱 台 上 上 （ ） （ ）5. （ 2013辽 宁 高 考 文 科 10） 与 （ 2013辽 宁 高 考 理 科 10） 相 同已 知 三 棱 柱 的 6 个 顶 点 都 在 球 的 球 面 上 ， 若1ABCO， 则 球 的 半 径 为 （ ）,4,2,317310102D【 解 题 指 南 】 对 于 某 些 简 单 组 合 体 的 相 接 问 题 ， 通 过 作 出 截 面 ， 使 得 有 关 的元 素 间 的 数 量 关 系 相 对 集 中 在 某 个 平 面 图 形 中 。【 解 析 】 选 C.由 题 意 ， 结 合 图 形 ， 经 过 球 心 和 三 棱 柱 的 侧 棱 中 点 的 大 圆 ，O与 三 棱 柱 的 侧 棱 垂 直 ， 三 棱 柱 的 底 面 三 角 形 ABC 为 直 角 三 角 形 ， 其 外 接 圆的 圆 心 为 其 斜 边 BC 的 中 点 ， 连 接 ,由 勾 股 定 理 ，O ,22A其 中 ,所 以 球 的 半 径 为15,6,2RAOO2536().O6. （ 2013重 庆 高 考 理 科 5） 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体的 体 积 为 ( )A. B. C. D. 356035802240【 解 题 指 南 】 直 接 根 据 三 视 图 还 原 成 原 来 的 几 何 体 ,然 后 再 根 据 体 积 公 式 求解 .【 解 析 】 选 C.由 三 视 图 可 知 ,该 几 何 体 为 一 个 放 倒 的 四 棱 柱 ,底 面 为 梯 形 ,由 三 视 图 可 知 该 四 棱 柱 的 底 面 积 为 .高 为 .故 体 积 为2048211.2017. （ 2013湖 南 高 考 理 科 7） 已 知 棱 长 为 1 的 正 方 体 的 俯 视 图 是 一 个面 积 为 1 的 正 方 形 ， 则 该 正 方 体 的 正 视 图 的 面 积 不 可 能 等 于 （ ）A B C D 22- 2+1【 解 题 指 南 】 由 俯 视 图 可 知 该 正 方 体 是 水 平 放 置 的 ,则 正 视 图 有 许 多 种 可 能 ,但最 小 面 应 是 一 个 侧 面 ,最 大 面 应 是 一 个 垂 直 于 水 平 面 的 对 角 面 .【 解 析 】 选 C.由 于 俯 视 图 是 一 个 面 积 为 1 的 正 方 形 ,所 以 正 方 体 是 平 放 在 水平 面 上 ,所 以 正 视 图 最 小 面 积 是 一 个 侧 面 的 面 积 为 1,最 大 面 积 为 一 个 对 角 面的 面 积 为 ， 而 1， 所 以 答 案 C 不 正 确 .2-8. （ 2013重 庆 高 考 文 科 8） 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何体 的 表 面 积 为 ( )A. B.20 C.20 D.240【 解 题 指 南 】 根 据 三 视 图 可 还 原 原 来 的 几 何 体 ,然 后 求 出 该 几 何 体 的 表 面 积 .【 解 析 】 选 D.由 三 视 图 可 知 该 几 何 体 为 底 面 为 梯 形 的 直 四 棱 柱 .底 面 积 为 ,由 三 视 图 知 ,梯 形 的 腰 为 ,梯 形 的 周 长 为40)28(1 5432,所 以 四 棱 柱 的 侧 面 积 为 .表 面 积 为 .2058 2012409. （ 2013新 课 标 高 考 理 科 6） 如 图 ,有 一 个 水 平 放 置 的 透 明 无 盖 的正 方 体 容 器 ,容 器 高 8cm,将 一 个 球 放 在 容 器 口 ,再 向 容 器 内 注 水 ,当 球 面 恰好 接 触 水 面 时 测 得 水 深 为 6cm,如 果 不 计 容 器 的 厚 度 ,则 球 的 体 积 为 ( )A. B. C. D. 350cm386cm3172cm32048cm【 解 题 指 南 】 结 合 截 面 图 形 ,构 造 直 角 三 角 形 ,利 用 勾 股 定 理 列 出 关 于 球 半径 的 方 程 ,求 出 球 半 径 ,再 利 用 求 出 球 的 体 积 .34RV【 解 析 】 选 A. 设 球 的 半 径 为 R,由 勾 股 定 理 可 知 ， ,解 得224)(R， 所 以 球 的 体 积 .5R33250()cm10.(2013浙 江 高 考 文 科 T5)已 知 某 几 何 体 的 三 视 图 (单 位 :cm)如 图 所 示 ,则 该 几 何 体 的 体 积 是 ( )A.108cm3 B.100cm3 C.92cm3 D.84cm3【 解 题 指 南 】 根 据 几 何 体 的 三 视 图 ,还 原 成 几 何 体 ,再 求 体 积 .【 解 析 】 选 B.由 三 视 图 可 知 原 几 何 体 如 图 所 示 ,所 以 .11ABCDMADNVV163410211. （ 2013湖 南 高 考 文 科 7） 已 知 正 方 体 的 棱 长 为 1， 其 俯 视 图 是 一个 面 积 为 1 的 正 方 形 ， 侧 视 图 是 一 个 面 积 为 的 矩 形 ， 则 该 正 方 体 的 正 视图 的 面 积 等 于 （ ）A B.1 C. D.32 212【 解 题 指 南 】 根 据 面 积 关 系 得 出 ， 侧 视 图 就 是 正 方 体 的 一 个 对 角 面 ， 则 正 视图 也 是 一 个 对 角 面【 解 析 】 选 D， 根 据 条 件 得 知 正 视 图 和 侧 视 图 一 样 ， 是 正 方 体 的 一 个 对 角 面 ，故 面 积 相 等12.（ 2013四 川 高 考 理 科 3） 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何体 的 直 观 图 可 以 是 （ ）【 解 题 指 南 】 本 题 考 查 的 是 几 何 体 的 三 视 图 ， 在 判 断 时 要 结 合 三 种 视 图 进 行判 断 ， 特 别 要 注 意 虚 线 的 标 注 .【 解 析 】 选 D.根 据 几 何 体 的 三 视 图 中 正 视 图 与 侧 视 图 一 致 ， 并 且 俯 视 图 是 两个 圆 ， 可 知 只 有 选 项 D 合 适 ， 故 选 D.13.（ 2013四 川 高 考 文 科 2） 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何体 可 以 是 （ ）A 棱 柱 B 棱 台 C 圆 柱 D 圆 台【 解 题 指 南 】 本 题 考 查 的 是 几 何 体 的 三 视 图 ， 在 判 断 时 要 结 合 三 种 视 图 进 行判 断 .【 解 析 】 选 D， 根 据 几 何 体 的 三 视 图 中 正 视 图 与 侧 视 图 一 致 且 为 梯 形 ， 并 且俯 视 图 是 两 个 圆 ， 可 知 只 有 选 项 D 合 适 ， 故 选 D.14. （ 2013湖 北 高 考 理 科 8） 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 该 几 何体 从 上 到 下 由 四 个 简 单 几 何 体 组 成 ， 其 体 积 分 别 记 为 V1， V2， V3， V4，若 上 面 两 个 几 何 体 均 为 旋 转 体 ， 下 面 两 个 简 单 几 何 体 均 为 多 面 体 ， 则 有 （ ）A. V1 V2 V4 V3 B. V1 V3 V2 V4 C. V2 V1 V3 V4 D. V2 V3 V1 V4 【 解 题 指 南 】 计 算 的 大 小 ， 然 后 作 比 较 .1234,.V【 解 析 】 选 C. 21 74,33V18,V27;38V从 而 .41869;3V214V15.（ 2013江 西 高 考 文 科 8） 一 几 何 体 的 三 视 图 如 右 所 示 ， 则 该 几 何 体的 体 积 为 （ ）A.200+9 B. 200+18 C. 140+9 D. 140+18【 解 题 指 南 】 观 察 三 视 图 得 出 几 何 体 的 结 构 特 征 ， 再 代 入 体 积 公 式 进 行 计 算 .【 解 析 】 选 A.由 三 视 图 知 该 几 何 体 是 一 个 组 合 体 ， 上 部 是 半 圆 柱 ， 底 面 半 径为 3， 高 为 2； 下 部 为 长 方 体 ， 长 、 宽 、 高 分 别 为 10,4,5.所 以 此 几 何 体 的体 积 为 = .10452916. （ 2013新 课 标 高 考 文 科 11） 与 （ 2013新 课 标 高 考 理科 8） 相 同某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ,则 该 几 何 体 的 体 积 为 ( ) A.16+8 B.8+8C.16+16 D.8+16【 解 题 指 南 】 观 察 三 视 图 ， 根 据 三 视 图 确 定 几 何 体 的 构 成 ， 利 用 圆 柱 及 长 方体 的 体 积 公 式 求 解 .【 解 析 】 选 A.由 三 视 图 可 知 ,该 几 何 体 是 一 个 长 方 体 和 一 个 半 圆 柱 组 成 的 几何 体 , 所 以 体 积 为 224+224=16+8 .1二 、 填 空 题17. （ 2013辽 宁 高 考 文 科 13） 与 （ 2013辽 宁 高 考 理 科 13） 相同 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 是 _.【 解 题 指 南 】 由 三 视 图 知 该 几 何 体 是 一 个 简 单 的 组 合 体 ， 一 个 圆 柱 的 内 部 被挖 去 一 个 长 方 体 。【 解 析 】 圆 柱 的 底 面 半 径 为 2， 母 线 长 4， 其 体 积 21416;Vsh被 挖 去 一 个 底 面 是 边 长 为 2 的 正 方 形 ， 侧 棱 长 4 的 长 方 体 ， 其 体 积故 该 几 何 体 的 体 积 是2416.V126.V【 答 案 】 18.（ 2013新 课 标 高 考 文 科 15） 已 知 H是 球 的 直 径 AB上 一 点 ，OAH:HB=1:2,AB 平 面 ， H为 垂 足 ， 截 球 所 得 截 面 的 面 积 为 ， 则 球的 表 面 积 为 _.O【 解 析 】 因 为 截 球 所 得 截 面 的 面 积 为 ， 所 以 截 面 的 半 径 为 .设 球 的O1半 径 为 ,则 , ,由 勾 股 定 理 得 ,解 得 .所 以R32AH4RB22)3(1R892球 的 表 面 积 为 .94【 答 案 】 .9219. （ 2013大 纲 版 全 国 卷 高 考 文 科 16） 与 （ 2013大 纲 版 全 国 卷 高考 理 科 16） 相 同已 知 圆 和 圆 是 球 的 大 圆 和 小 圆 ， 其 公 共 弦 长 等 于 球 的 半 径 ，OK O则 球 的 表 面 积 等 于 .3602 ， 且 圆 与 圆 所 在 的 平 面 所 成 角 为 ，【 解 题 指 南 】 解 决 本 题 要 明 确 球 大 圆 是 指 球 的 切 面 过 圆 心 的 圆 .根 据 题 意 画出 图 形 ， 确 定 圆 与 圆 所 在 平 面 的 二 面 角 ， 构 造 直 角 三 角 形 求 出 半 径 长 .OK【 解 析 】 如 图 ，设 公 共 弦 , 为 的 中 点 ， 则 ，RMNEMNOEK为 圆 与 圆 所 在 平 面 的 二 面 角 .OEK所 以 ， 又 为 等 边 三 角 形 ，60O所 以 .又 因 为 , ， R2323KE所 以 ， 即 .60sinOER解 得 ， 所 以 .2R1642S【 答 案 】 1620. （ 2013天 津 高 考 文 科 10） 已 知 一 个 正 方 体 的 所 有 顶 点 在 一 个 球 面上 . 若 球 的 体 积 为 , 则 正 方 体 的 棱 长 为 .92【 解 题 指 南 】 先 根 据 球 的 体 积 求 出 半 径 ， 再 根 据 球 的 直 径 与 其 内 接 正 方 体 对角 线 的 相 等 关 系 求 其 棱 长 .【 解 析 】 设 球 半 径 为 R， 因 为 球 的 体 积 为 ， 所 以 R= ， 又 由 球 的 直3492R32径 与 其 内 接 正 方 体 对 角 线 的 相 等 知 正 方 体 的 对 角 线 长 为 3， 故 其 棱 长 为 .3【 答 案 】 321.(2013浙 江 高 考 理 科 T12)若 某 几 何 体 的 三 视 图 (单 位 :cm)如 图 所 示 ,则 此 几 何 体 的 体 积 等 于 cm3.【 解 题 指 南 】 先 由 三 视 图 ,画 出 几 何 体 ,再 根 据 几 何 体 求 解 .【 解 析 】 由 三 视 图 可 知 原 几 何 体 如 图 所 示 ,所 以 1ABCMABCV.1534534062422SA【 答 案 】 2422.（ 2013上 海 高 考 理 科 T13） 在 平xOy面 上 ， 将 两 个 半 圆 弧 和2()()xy、 两 条 直 线 和 围 成2()()xyx的 封 闭 图 形 记 为 D， 如 图 中 阴 影 部 分 记 D绕 y 轴 旋 转 一 周 而 成 的 几 何 体 为 ， 过 作 的 水 平 截 面 ， 所 得 截(0,)|1y面 面 积 为 ， 试 利 用 祖 暅 原 理 、 一 个 平 放 的 圆 柱 和 一 个 长 方 体 ，2418y得 出 的 体 积 值 为 _【 解 析 】 根 据 提 示 ， 一 个 半 径 为 1， 高 为 的 圆 柱 平 放 ， 一 个 高 为 2， 底2面 面 积 的 长 方 体 ， 这 两 个 几 何 体 与 放 在 一 起 ， 根 据 祖 暅 原 理 ， 每 个 平8行 水 平 面 的 截 面 面 积 都 相 等 ， 故 它 们 的 体 积 相 等 ， 即 的 体 积 值 为22116【 答 案 】23.（ 2013上 海 高 考 文 科 T10） 已 知 圆 柱 的 母 线 长 为 l， 底 面 半 径 为 r,O是 上 底 面 圆 心 ， A、 B 是 下 底 面 圆 周 上 的 两 个 不 同 的 点 ， BC 是 母 线 ， 如 图 .若 直 线 OA 与 BC 所 成 角 的 大 小 为 ， 则 = .6rl【 解 析 】 36tanrllr由 题 知 ，【 答 案 】 324.(2013江 苏 高 考 数 学 科 T8)如 图 ,在 三 棱 柱 A1B1C1 ABC 中 ,D,E,F 分 别是 AB,AC,AA1的 中 点 ,设 三 棱 锥 F ADE 的 体 积 为 V1,三 棱 柱 A1B1C1 ABC 的 体 积为 V2,则 V1 V2= .【 解 析 】 设 三 棱 柱 的 底 面 ABC 的 面 积 为 S,高 为 h,则 其 体 积 为 V2=Sh.因 为 D,E分 别 为 AB,AC 的 中 点 ,所 以 ADE 的 面 积 等 于 ,又 因 为 F 为 AA1的 中 点 ,14所 以 三 棱 锥 F-ADE 的 高 等 于 ,于 是 三 棱 锥 F-ADE 的 体 积12h,故 V1 V2=1 24.113424VSh【 答 案 】 1 2425. (2013福 建 高 考 理 科 T12)已 知 某 一 多 面 体 内 接 于 球 构 成 一 个 简 单 组合 体 ,如 果 该 组 合 体 的 正 视 图 、 俯 视 图 均 如 图 所 示 ,且 图 中 的 四 边 形 是 边 长为 2 的 正 方 形 ,则 该 球 的 表 面 积 是 .【 解 题 指 南 】 如 果 考 球 ,我 们 只 要 清 楚 一 个 结 论 ,外 接 球 的 直 径 就 是 长 方 体的 对 角 线 .【 解 析 】 球 是 棱 长 为 2 的 正 方 体 的 外 接 球 ,则 球 的 直 径 ,223d所 以 球 的 表 面 积 为 S=4 R2= d2=12 .【 答 案 】 1226.(2013北 京 高 考 理 科 T14)如 图 ,在 棱 长 为 2 的 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ,E 为 BC 的 中 点 ,点 P 在 线 段 D1E 上 ,点 P 到 直 线 CC1的 距 离 的 最 小 值 为 .【 解 析 】 如 图 ，过 P 作 PH 垂 直 上 底 面 A1B1C1D1,过 E 作 EE1垂 直 上 底 面 A1B1C1D1,E1在 线 段B1C1上 ,P 到 线 段 CC1的 距 离 为 HC1.当 点 P 在 线 段 ED1上 运 动 时 ,P 到 直 线CC1距 离 的 最 小 值 为 C1到 线 段 D1E1的 高 ,所 以 最 小 值 就 是 C1D1E1的 高 .25【 答 案 】 2527. （ 2013新 课 标 全 国 高 考 文 科 15） 已 知 正 四 棱 锥 的 体OABC积 为 ， 底 面 边 长 为 ， 则 以 为 球 心 ， 为 半 径 的 球 的 表 面 积 为3OA_。【 解 题 指 南 】 利 用 正 四 棱 椎 的 性 质 ， 求 得 OA 的 长 ， 即 可 得 球 的 表 面 积 .【 解 析 】 设 正 四 棱 锥 的 高 为 ， 则 ， 解 得 高 ， 则 底 面 正h213()h32h方 形 的 对 角 线 长 为 ， 所 以 ,所 以 球 的 表 面236226()(A积 为 .24(6)【 答 案 】28.（ 2013陕 西 高 考 理 科 12） 某 几 何 体112 1的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 其 体 积 为 .【 解 题 指 南 】 根 据 空 间 几 何 体 的 三 视 图 推 导 出 该 几 何 体 为 半 个 圆 锥 ， 代 入 圆锥 的 体 积 公 式 求 解 .【 解 析 】 立 体 图 为 半 个 圆 锥 体 ， 底 面 是 半 径 为 1 的 半 圆 ， 高 为 2。 所 以 体 积3213V【 答 案 】 .29. （ 2013陕 西 高 考 文 科 12） 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 其 表面 积 为 . 【 解 题 指 南 】 根 据 空 间 几 何 体 的 三 视 图 推 导 出 该 几 何 体 为 半 个 球 体 ， 代 入 球的 表 面 积 公 式 求 解 .【 解 析 】 综 合 三 视 图 可 知 ， 立 体 图 是 一 个 半 径 r=1 的 半 个 球 体 。 其 表 面 积 = 34212r【 答 案 】30. （ 2013湖 北 高 考 文 科 16） 我 国 古 代 数 学 名 著 数 书 九 章 中 有“天 池 盆 测 雨 ”题 ： 在 下 雨 时 ， 用 一 个 圆 台 形 的 天 池 盆 接 雨 水 . 天 池 盆 盆口 直 径 为 二 尺 八 寸 ， 盆 底 直 径 为 一 尺 二 寸 ， 盆 深 一 尺 八 寸 . 若 盆 中 积 水 深九 寸 ， 则 平 地 降 雨 量 是 寸 .（ 注 ： 平 地 降 雨 量 等 于 盆 中 积 水 体 积 除 以 盆 口 面 积 ； 一 尺 等 于 十 寸 ）【 解 题 指 南 】 先 求 出 水 的 体 积 ,再 除 以 天 池 盆 盆 口 的 面 积 ,得 出 平 地 降 雨 量 .【 解 析 】 圆 台 的 轴 截 面 是 下 底 长 为 12 寸 ， 上 底 长 为 28 寸 ， 高 为 18 寸 的 等腰 梯 形 ， 雨 水 线 恰 为 中 位 线 ， 故 雨 水 线 直 径 是 20 寸 ， 所 以 降 水 量 为22(106)933(.4寸【 答 案 】 331.（ 2013北 京 高 考 文 科 10） 某 四 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 该 四 棱 锥的 体 积 为 _.【 解 题 指 南 】 由 三 视 图 可 判 断 出 此 几 何 体 是 底 面 是 正 方 形 ， 高 为 1 的 四 棱锥 ， 再 代 入 体 积 公 式 求 体 积 。【 解 析 】 此 棱 锥 底 面 是 边 长 为 3 的 正 方 形 ， 高 为 1， 所 以 体 积 为 。23【 答 案 】 3三 、 解 答 题32. （ 2013新 课 标 高 考 文 科 19） 如 图 ， 三 棱 柱 中 ，1CBA， ， .CBA1A601B（ ） 证 明 ;CAB1（ ） 若 AB=CB=2, A1C= ,求 三 棱 柱 ABC-A1B1C1的 体 积【 解 题 指 南 】 （ ） 取 的 中 点 ， 利 用 线 面 垂 直 证 明 线 线 垂 直 ；O（ ） 求 三 棱 柱 ABC-A1B1C1的 体 积 ， 先 确 定 线 面 垂 直 ， 找 到 三 棱 柱的 高 .1ABC【 解 析 】 （ ） 取 的 中 点 ， 连 结 ， ， .OC1AB因 为 ， 所 以 .CBAABO由 于 ， ， 故 为 等 边 三 角 形 ，16011所 以 .因 为 ， 所 以 面 .OAC1ABCO1又 平 面 ， 故 .1（ ） 由 题 设 知 与 都 是 边 长 为 的 等 边 三 角 形 ， 所 以C12， 又 ， 则 ， 故 .31OAC6112OACAC1因 为 ， 所 以 面 , 为 三 棱 柱 的 高 .B1OB1B又 ， 故 三 棱 柱 的 体 积 .2CSAC 1 3OASVC33.（ 2013上 海 高 考 文 科 T19） 如 图 ， 正 三 棱 锥 O-ABC 的 底 面 边 长 为2， 高 为 1， 求 该 三 棱 锥 的 体 积 及 表 面 积 。【 解 析 】 由 已 知 条 件 可 知 ,正 三 棱 锥 O-ABC 的 底 面 ABC 是 边 长 为 2 的 正 三角 形 ,经 计 算 得 底 面 ABC 的 面 积 为 .所 以 该 三 棱 锥 的 体 积 为 1= .设 O是 正 三 角 形 ABC 的 中 心 .由 正 三 棱 锥 的 性 质 可 知 ,OO 平 面 ABC.延 长 AO交 BC 于 D,连 接 OD,得 AD= ,OD= .又 因 为 OO=1,所 以 正 三 棱 锥 的 斜 高 OD= .故 侧 面 积 为 3 2 =2 .3所 以 该 三 棱 锥 的 表 面 积