小学数学六年级下册5单元《正比例和反比例》教材分析

第五单元 正比例和反比例一、知识梳理本单元在学生具有比和比例的知识，认识常见数量关系的基础上编排，通过对两个数量保持商一定或积一定的变化，理解正比例关系和反比例关系，渗透初步的函数思想。正比例和反比例历来是小学数学里的重要内容之一，与过去的教材相比，本单元进一步加强正、反比例的概念教学，突出正比例关系的图像及简单应用，重视正、反比例与现实生活的联系，淡化脱离现实背景判断比例关系，不安排应用正、反比例关系解决实际问题。全单元编排三道例题和一个练习，前两道例题都是关于正比例的，分别教学正比例的意义和图像，后一道例题教学反比例的知识。二、教材细读本单元的教学要注意以下几点：1、结合生活中的典型实例，让学生从“变化”中看到“不变” ，体会并理解正、反比例的意义。2、借助直观的图像，帮助学生进一步认识成正比例量的变化规律，并为以后的学习作适当孕伏。具体地说：1细致安排学生的首次感知。正比例概念和反比例概念都要在充分的感知活动中形成，例 1 和例 3 分别是学生首次感知正比例关系与反比例关系，教材作了很细致的安排。例 1把感知过程设计成四步。（1）写比、求比值、解释比值。例 1 呈现的表格里是一辆汽车行驶的时间和路程的数据，让学生从中选择几组相对应的路程和时间，分别写出比并求出比值，发现所有比的比值都是 80，体会这个比值是汽车行驶的速度，这辆汽车的行驶速度始终不变。（2）用数量关系式表示比值一定。写出的各个比的数量关系相同，可以用式子“ 速度（一定） ”表示它们的共同特征。学生对“路程比时间等于速度”很熟悉，而“速度（一定） ”是例 1 数量关系的特点，首次感知正比例关系的要点就在这里。（3）体会相关联的量。正比例是两个相关联量的关系，教材指出路程和时间是两种相关联的量。说它们“相关联” ，是因为时间变化，路程也随着变化。（4）揭示正比例意义。在前三步感知活动的基础上，告诉学生：当路程和相应的时间的比值总是一定时，就说行驶的路程和时间成正比例，行驶的路程和时间叫做成正比例的量。例 3 首次感知反比例关系，也分四步进行。依次是：观察表格里的数据，路程时间笔记本的单价变化，购买的数量也变化，但总价始终不变；用数量关系式表示积一定；理解相关联的量；揭示反比例意义。2变换情境，让学生反复感知。仅有例题的首次感知还不能形成正比例、反比例的概念，需要反复感知，积累充分的感性认识。P62“试一试” 、练习十三第 1 题再次感知正比例关系，P65“试一试” 、练习十三第 6 题再次感知反比例关系。（1）选择与例题不同的数量。P62“试一试”里购买铅笔的数量与总价是相关联的量，它们的比值（单价）保持不变。练习十三第 1 题里碾米机的工作时间与碾米数量是相关联的量，它们的比值（工作效率）保持不变。学生在感知正比例关系的同时，体会这种关系是生活中常见的。（2）提出问题，引导有序地思考。 “试一试”和练习题分别设计四个和三个连续的问题，引导学生有条理地思考，独立、主动经历感知过程。（3）重温发现正比例关系的方法。几个连续问题里的学习活动依次是：找到相关联的两种量写出几组对应数量的比并求比值比较比值的大小，解释比值的意义用数量关系式表达比值一定作出成正比例的结论。这些活动与例题保持一致，重温了认识正比例关系的过程，为判断两种量成不成正比例打下了基础。3建立正比例、反比例的概念。本单元教学要形成正比例和反比例的概念。概念是一类现象共同的本质特征的反映，形成概念要对感性认识进行抽象与概括。（1）提取共同特征。各个成正比例的实例中都有两个相关联的量，两种量相对应的数的比值总是一定的。各个成反比例的实例里也有两种相关联的量，它们相对应的数的积是一定的。这些分别是正比例、反比例的本质特征，建立概念，要把这些共同特征提取出来。（2）用字母表示关系与特征。用字母 x 和 y 表示两种相关联的量，用 k表示它们的比值或者表示它们的积，用字母组成的式子表示正比例和反比例关系，是认识的一次抽象，概念在抽象中形成。4应用概念，判断比例关系。形成概念是为了更好地认识和把握客观世界，在现实生活中应用概念识别、判断和推理。正比例和反比例是常见的数量关系，判断比例关系还能初步体验函数思想，发展数学思考。（1）判断具体问题里的正比例、反比例。第 63 页“练一练” 、第 65 页“练一练”分别判断两种量成不成正比例或反比例，并说出理由。要根据正、反比例的意义，利用表格里的数据，按照例题和“试一试”的方法与步骤进行思考。通过判断，进一步理解正比例、反比例的意义。练习十三第 2、7 两题也作出类似的安排。能够在具体问题里进行判断，是本单元的基本要求。（2）利用反例加强概念。第 66 页第 3 题通过画图、计算和填表，理解正方形面积与边长不成正比例。第 68 页第 8 题通过看图、填表，理解长方形周长一定，长和宽不成反比例。这些都是在具体问题里作出的判断，能使学生深刻体会正比例、反比例的特征，从而加强概念。（3）初步进行稍抽象的判断。第 70 页第 12 题没有提供具体的数据，判断两种量是不是成正比例或反比例，是较高的要求。虽然思维比较抽象，也要按照判断正比例、反比例的一般程序，先找到相关联的量，研究两个量是不是比值一定或者积一定，然后作出结论。其中的（2） ，一个人的年龄与体重不能看作相关联的量，而且它们的比或乘积都没有实际意义，更谈不上比值一定或积一定，因而既不成正比例，也不成反比例。5认识并简单应用正比例的图像。正比例图像是一条射线（中学里是一条直线） ，反比例图像是曲线（中学里是双曲线） 。本单元只教学正比例的图像，不教学反比例的图像。正比例图像的教学要求有两点，一是联系画折线统计图的经验，在方格纸上描出表示各组对应数量的点，知道所描的点在同一条直线上。二是已知一组相对应的数量中的一个数量，在图像上估计另一个数量是多少。三、练习说明及学生困难分析本单元安排了一个练习，预计学生遇到的困难有：1、不能熟练判断正反比例关系。2、判断正反比例的理由叙述不全面；3、对于图形公式与正反比例结合的内容，学生混淆不清。所以安排练习时要体现一定的层次性，帮助学生逐步提高判断成正、反比例的量的能力。练习时建议做到以下几点：1、通过不同形式帮助学生判断。练习十三除了第 12 题，其他题都通过表格、画图、图像等多种方式和多个设问进行，帮助学生判断正反比例。2、运用比较、类比的方法帮助学生掌握结论。练习十三的第 3 题和第 8 题这两题，在练习后可以引导学生将这两题进行比较，并尝试让学生用自己的语言来概括。同时以这两题为泉眼，可以把其他的如圆柱体积、三角形面积、长正方体的一些公式进行类推。3、有了前面的基础，练习十三的第 12 题可以适当增加一些内容让学生进行熟练的判断，并有选择性地进行理由的叙述。四、点击精彩案例“成正比例的量”教学案例教学目标：1、使学生感受正比例在实际生活中的存在，经历概括两种量成正比例关系的过程。2、理解正比例的意义，并能根据正比例的意义正确判断两种量是否成正比例关系。3、培养学生的抽象概括能力和分析判断能力。4、培养学生初步的函数意识。教学重点：学生理解正比例的意义。教学难点：引导学生通过观察、思考发现两种相关联的量的变化规律，即它们相对应的数的比值一定，从而概括出正比例关系的概念。教学设计：（一）复习准备：= = = =时 间路 程 数 量总 价 工 作 时 间工 作 量 边 长正 方 形 的 面 积（二）导学：1、出示以下两个表格：表 1：甲车行驶的时间和所行的路程如下表：时间（时） 1 2 3 4 路程（千米） 50 100 150 200 表 2：乙车行驶的时间和所行的路程如下表：时间（时） 1 2 3 4 路程（千米） 50 88 120 204 2、分组讨论：（1） 表 1、表 2 中有哪两种量？它们相关联吗？（2）哪个表中的两种量的变化更有规律？有什么规律？3、学生汇报讨论结果。汇报时教师引导学生比较上面两种情况的相同点和不同点。同时教师根据学生的回答板书：相同点：一种量变化，另一种量也随着变化不同点：表 1 中甲车的路程和时间这两种量中相对应的两个数的比值一定；表 2 中乙车的路程和时间这两种量中相对应的两个数的比值不一定。4、教师说明：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。这节课，我们就来学习和研究“成正比例的量” 。板书课题：成正比例的量5、教师质疑：根据正比例的意义想一想：上面例子中甲车的路程和时间是不是成正比例的量？为什么？乙车的路程和时间是不是成正比例的量？为什么？构成正比例关系的两种量必须具备哪些条件？6、尝试：判断下面的每张表格中的两种量是不是成正比例的量？（1）在一间布店的柜台上，有一张写着某种花布的米数和总价的表：数 量（米） 1 2 3 4 总 价（元） 8.2 16.4 24.6 32.8 （2）正方形的边长和周长如下表。正方形的边长（厘米） 1 2 3 4 正方形的周长（厘米） 4 8 12 16 （3）正方形的边长和面积如下表。正方形的边长（厘米） 1 2 3 4 正方形的面积（平方厘米） 1 4 9 16 7、字母关系式教师提问：如果字母 y 和 x 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值，正比例关系怎样用字母表示出来？学生回答后，教师板书： =k （一定）xy8、教学例 3例 3每袋面粉的重量一定，面粉的总重量和袋数是不是成正比例？（1）根据正比例的意义，由学生讨论解答（2）汇报判断结果，并说明判断的根据（三）尝试练习：判断下面每题中的两种量是不是成正比例，并说明理由。每小时织布米数一定，织布总米数和时间。每人树植棵数一