函数、极限与连续习题及答案

1第一章 函数、极限与连续(A)1区间 表示不等式( ),aA B C Dxxaxaxa2若 ，则 ( )13t3tA B C D269 2369tt3设函数 的定义域是( )xxf arcsin53lnA B C D25,12,11,31,4下列函数 与 相等的是( )xfgA ， B ， 24xxf2xgC ， D ，1xf1g12f15下列函数中为奇函数的是( )A B C D2sinxyxey2xxsin2xico26若函数 ， ，则 的值域为( )xf21xfA B C D2,03,03,7设函数 ( )，那么 为( )xef21xfA B C D 21ff21f21f21xf8已知 在区间 上单调递减，则 的单调递减区间是( )xf, 4xfA B C D不存在 ,0,9函数 与其反函数 的图形对称于直线( )xfyxfy12A B C D0y0xxyxy10函数 的反函数是( )21A B C Dlgxy2logxyxy1log2l111设函数 ，则( )是 无 理 数是 有 理 数xaxf,010aA当 时， 是无穷大 B当 时， 是无穷小f xxfC当 时， 是无穷大 D当 时， 是无穷小xx12设 在 上有定义，函数 在点 左、右极限都存在且相等是函fRxf0数 在点 连续的( )xf0A充分条件 B充分且必要条件 C必要条件 D非充分也非必要条件 13若函数 在 上连续，则 的值为( )1,cos2xaxfRaA0 B1 C-1 D-2 14若函数 在某点 极限存在，则( )xf0A 在 的函数值必存在且等于极限值0B 在 函数值必存在，但不一定等于极限值xfC 在 的函数值可以不存在0D如果 存在的话，必等于极限值xf15数列 ， ， ， ， ，是( )314256A以 0 为极限 B以 1 为极限 C以 为极限 D不存在在极限n16 ( )xx1silm3A B不存在 C1 D017 ( )xx21limA B C0 D2e 2118无穷小量是( )A比零稍大一点的一个数 B一个很小很小的数C以零为极限的一个变量 D数零19设 则 的定义域为 ， = 31,02,xxfx xf 0f， = 。1f20已知函数 的定义域是 ，则 的定义域是 xfy1,02xf。21若 ，则 ， xf1f xf。22函数 的反函数为 。1xey23函数 的最小正周期 。sin5T24设 ，则 。21xxff25 。3limnx26 。nn319124li27 。xxli028 。50321limx429函数 的不连续点为 。2,31,xxf30 。nnsilm31函数 的连续区间是 。12xf32设 ， 处处连续的充要条件0,2xbaf baxf是 。b33若 ， ，复合函数 的连续区间是 0,1xfxgsinxgf。34若 ， ， 均为常数，则 ， 1lim2baxx abab。35下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪既非奇函数又非偶函数？(1) ，(2) ，(3) ，(4)21xy32xy21xy1xy(5) ，(6)cosinxa36若 ，证明 。tttf52tf137求下列函数的反函数(1) ， (2) 12xy1sin2xy38写出图 1-1 和图 1-2 所示函数的解析表达式yy2 1 1 xx-1图 1-1 图 1-2539设 ，求 。xxf0,1sin2 xf0lim40设 ，求 。32nn nli41若 ，求 。21xfxffx0li42利用极限存在准则证明： 。121lim22 nnn 43求下列函数的间断点，并判别间断点的类型(1) ，(2) ，(3) ，(4)21xy21xyxyxy44设 ，问：21,0,xf(1) 存在吗？fxlim(2) 在 处连续吗？若不连续，说明是哪类间断？若可去，则补充定义，使其在该点连续。45设 ，1,302xxf(1)求出 的定义域并作出图形。f(2)当 ，1，2 时， 连续吗？xxf(3)写出 的连续区间。f46设 ，求出 的间断点，并指出是哪2 ,4 0, , 2xxf xf一类间断点，若可去，则补充定义，使其在该点连续。47根据连续函数的性质，验证方程 至少有一个根介于 1 和 2 之135x6间。48验证方程 至少有一个小于 1 的根。12x(B)1在函数 的可去间断点 处，下面结论正确的是( )xf0xA函数 在 左、右极限至少有一个不存在0B函数 在 左、右极限存在，但不相等xfC函数 在 左、右极限存在相等0D函数 在 左、右极限都不存在xf2设函数 ，则点 0 是函数 的( ),0sin31xf xfA第一类不连续点 B第二类不连续点 C可去不连续点 D连续点3若 ，则( )0lim0xfA当 为任意函数时，有 成立g0lim0xgfxB仅当 时，才有 成立li0x0C当 为有界时，能使 成立li0fxD仅当 为常数时，才能使 成立xg 00xg4设 及 都不存在，则( )fx0limx0liA 及 一定不存在0 xfx0liB 及 一定都存在gfx0li g0C 及 中恰有一个存在，而另一个不存在0 fx0liD 及 有可能存在fx0lim075 的值为( )xxsin1lm20A1 B C不存在 D06 ( )2il1xxA B C0 D331327按给定的 的变化趋势，下列函数为无穷小量的是( )xA ( ) B ( )1421xC ( ) D ( )x0xsin08当 时，下列与 同阶(不等价)的无穷小量是( )xA B C D xsin1lni21xe9设函数 ， ，则 为( )g22xgf1fA30 B15 C3 D1 10设函数 ( )的值域为 ， 的值42xf0E12xg域为 ，则有( )FA B C DEFEF11在下列函数中， 与 表示同一函数的是( )xfgA ， B ， 1xf 0xfxg2C ， D ， 2fxg3f12与函数 的图象完全相同的函数是( )xA B C D e2lnx2arcsinxe2lnx2sinarc13若 ，下列各式正确的是( )1xA B C D 12131x814若数列 有极限 ，则在 的 领域之外，数列中的点( )nxaA必不存在 B至多只有限多个 C必定有无穷多个 D可以有有限个，也可以有无限多个15任意给定 ，总存在 ，当 时， ，则( )0M0XXxMxfA B xfxlimfxlimC D 16如果 与 存在，则( )fx0lifx0liA 存在且 000xfB 存在，但不一定有fx0lim00limxfxC 不一定存在0D 一定不存在fx0li17无穷多个无穷小量之和，则( )A必是无穷小量 B必是无穷大量C必是有界量 D是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量18 ，则它的连续区间为( )1lnarcos2xyA B1x 2xC D,2,ee1,1ee19设 ，则它的连续区间是( )nxxf13limA B ( 为正整数) 处, nx1C D 及 处,0020设 要使 在 处连续，则 ( ),xaexfxxfaA2 B1 C 0 D-1 921设 ，若 在 上是连续函数，则0,3sin1xaxf xf,( )aA0 B1 C D3122点 是函数 的( )x1,3,xxfA连续点 B第一类非可去间断点 C可去间断点 D第二类间断点23方程 至少有一根的区间是( )014xA B C D2,0,23,22,124下列各式中的极限存在的是( )A B C Dxxsinlmxe10li1352limx12lim0x25 ( )xsil0A1 B0 C -1 D不存在26 。22limnn27若 ，则 。312xxf xf28函数 的单调下降区间为 。ln2y29已知 ，则 ， 。35limban ab30 ，则 。21liexa31函数 的不连续点是 ，是第 类不连续点。xf1032函数 的不连续点是 ，是第 不连续点。xf1sin33当 时， 。0x334已知 ，为使 在 连续，则应补充定义 xf1f0x0f。35若函数 与函数 的图形完全相同，则 的取值范围是 1xfxgx。36设 ，若 ，则 ；若 ，则 3xf0f 0xf；若 ；则 。0xf37设 ， ，则 0,2xf 0,35xgxgf。38设 ，函数 有意义，则函数 的定义域 10uuf fln。39设数列 的前 项和为 ，那么 1nnxnSx1limnSS2。40如果 时，要无穷小 与 等价， 应等于 0cos2iaa。41要使 ，则 应满足 。lim10xxba42 。243函数 ，当 时，函数 连续。1,12xAxf Axf44已知 ，则 ， 。2lim2xbaab1145 ， ；若 无间断点，0,21xaexf xflimxf则 。a46函数 在点 处可可连续开拓，只须令 。xf1sin 0f47 。xco1lim2048 。xe3li49 。20cs1lix50设 ，证明：当 ， ，下列等式成立：xGln0xy(1) ，(2) 。yyxG51设 ， ，求 和 。1,0,xxf xeggfxf52若 ，证明： 。lgyzzy153根据数列极限的定义证明：(1) ，(2) ，231limnx 0limnn(3) ，(4)90li个n 1li2n54根据函数极限的定义证明(1) ，(2) ，01silm0xx 32limx(3) ，(4)liarctgx 0li2x55求下列极限(1) (2) ( ， 为正整数)，231lim0xx 1limnx12(3) (4) xx1lim7coslimx(5) (6) 109832574lix 31lix(7) (8) xxsincol02coslix(9) (10) xxarilm0 aax2sinilm(11) (12) xx102lixx10li(13) (14) ( 为正整数)xxtgcos0li kxx1li56当 时，求下列无穷小量关于 的阶(1) ，(2) ，(3) ，(4)6332sinxxtgsin57试证方程 ，其中 ， ，至少有一个正根，并且不bax0ab超过 。ba58设 在闭区间 上连续，且 ，则在 上至少存在f2,0af2,0一个 ，使 。xax59设 在 上连续，且 ， ，试证：在 内至少fb,afbfba,有一点 ，使得： 。60设数列 有界，又 ，证明 。nx0limny0linyx61设 ，求 。43434321n nli62设 ，求 及 。21 ,3 ,2xxf xf0lif1lim63求 。xxelim1364求 。302sinlimxx65求下列极限(1) (2) tett1li2 xxcos2inlm4(3) (4) 145lim1xx aaxili(5) (6) xx22li xxtgcos2031li(7) (8) exli01limxx66求 。x1lnim0(C)1若存在 ，对任意 ，适合不等式 的一切 ，有00axx，则( )LxfA 在 不存在极限 B 在 严格单调faxf,C 在 无界 D对任意 ，x, aLxf2若存在 ，对任意 ，适合不等式 的一切 ，有00x，则( )LxfA B 在 上无界 LxfalimxfRC 在 上有界 D 在 上单调R3函数 ( )，则此函数( )nnnxxf 21li0A 没有间断点 B有一个第一类间断点 C有两个以上第一类间断点 D有两个以上间断点，但类型不确定4若函数 的定义域为 ，则 的取值范围是( )3472kxyRk14A B 或 C D430k0k43430k43k5两个无穷小量 与 之积 仍是无穷小量，且与 或 相比( )A是高阶无穷小 B是同阶无穷小 C可能是高阶，也可能是同阶无穷小 D与阶数较高的那阶同阶 6试决定当 时，下列哪一个无穷小是对于 的三阶无穷小( )0x xA B ( 是常数)32 ax30C D 21.xtn7指出下列函数中当 时( )为无穷大0A B C D 12xxsecixexe18 ，如果 在 处连续，那么 ( )0,xkxf f0kA0 B2 C D1 29使函数 为无穷小量的 的变化趋势是( )13xyxA B C D0x 1x10设 ，若 ，则 = 。fzfyf11若 而 ，则 。0,xxxf2xf12若 在 处连续，则 。xefax1,30,21 1a13设 有有限极限值 ，则 ， 4lim31xx LaL。1514 ( ) = 。2limaxax015证明 不存在。sinl16求 ( )。nx11017求 。x93lim18设 在 处连续，且 ，以及 ，试证： 在g0gxgfxf处连续。0x19利用极限存在准则证明：数列 2， ， ，的极2限存在。20设 适合 ( 、 、 均为常数)且 ，试证：xf xcbfaf1abcba。ff21设函数 在 内有定义， ， ，试求,0xfyfxyf。1985f22设 、 、 都为单调增加函数，且对一切实数 均有：xxf x，求证 。fxxf23证明 当 时左右极限不存在。xf2sin024设 ，证明：当 时 的极限存在。222131nxn nnx25若 在 上连续， ，则在 上必有 ，fba, bxxan21 n,1使 。nfxf n2126证明，若 在 内连续，且 存在，则 必在f, xflimxf内有界。,1627 ，求 、 的值。192limnn 28证明方程 ，在 ， 内有唯一的0321xaxa21,3,根，其中 ， ， 均为大于 0 的常数，且 。123 321第一章 函数、极限与连续(A)1区间 表示不等式( B ),aA B C Dxxaxaxa2若 ，则 ( D )13t3tA B C D269 2369tt3设函数 的定义域是( C )xxf arcsin53lnA B C D25,12,11,31,4下列函数 与 相等的是( A )xfgA ， B ， 24xxf2xgC ， D ，1xf1g12f15下列函数中为奇函数的是( A )A B C D2sinxyxey2xxsin2xico26若函数 ， ，则 的值域为( B )xf21xfA B C D2,03,03,7设函数 ( )，那么 为( B )xef21xf17A B C D 21xff21xf21xf21xf8已知 在区间 上单调递减，则 的单调递减区间是( f, 4fC )A B C D不存在 ,0,9函数 与其反函数 的图形对称于直线( C )xfyxfy1A B C D0 xy10函数 的反函数是( D )21xyA B C Dlg2logxyxy1log2l1xy11设函数 ，则( B )是 无 理 数是 有 理 数xaf,010aA当 时， 是无穷大 B当 时， 是无穷小xf xxfC当 时， 是无穷大 D当 时， 是无穷小x12设 在 上有定义，函数 在点 左、右极限都存在且相等是函xfRxf0数 在点 连续的( C )f0A充分条件 B充分且必要条件 C必要条件 D非充分也非必要条件 13若函数 在 上连续，则 的值为( D )1,cos2xaxfRaA0 B1 C-1 D-2 14若函数 在某点 极限存在，则( C )xf0A 在 的函数值必存在且等于极限值0B 在 函数值必存在，但不一定等于极限值xfC 在 的函数值可以不存在018D如果 存在的话，必等于极限值0xf15数列 ， ， ， ， ，是( B )314256A以 0 为极限 B以 1 为极限 C以 为极限 D不存在在极限n16 ( C )xx1silmA B不存在 C1 D017 ( A )xx21liA B C0 D2e 2118无穷小量是( C )A比零稍大一点的一个数 B一个很小很小的数C以零为极限的一个变量 D数零19设 则 的定义域为 ， = 2 ，31,02,xxfx xf3,10f= 0 。1f20已知函数 的定义域是 ，则 的定义域是 。xfy1,02xf1,21若 ，则 ， 。f1fx22函数 的反函数为 。xeylny23函数 的最小正周期 2 。sin5T24设 ，则 。21xxff21x25 。3limnx 326 。nn319124li 41927 0 。xxlnim028 。50321lix 503229函数 的不连续点为 1 。2,3,xf30 。nnsilm31函数 的连续区间是 、 、 。12xf 1,132设 ， 处处连续的充要条件0,2xbaf baxf是 0 。b33若 ， ，复合函数 的连续区间是 0,1xfxgsinxgf， 。1,k234若 ， ， 均为常数，则 1 ， 2 0limbaxx abab。35下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪既非奇函数又非偶函数？(1) 偶函数21xy(2) 非奇函数又非偶函数3(3) 偶函数21xy(4) 奇函数(5) 非奇函数又非偶函数1cosinxy(6) 偶函数2xa2036若 ，证明 。tttf52tf1证： tttf12tf37求下列函数的反函数(1) 12xy解： ln(2) 1si2xy2arcsin38写出图 1-1 和图 1-2 所示函数的解析表达式解：(1) (2)0,12xy 0,1xy39设 ，求 。xf,sin2 fx0lim解： 1silmli00xfi2xxx故 。li0f40设 ，3212nxn 求 。nxliyy2 1 1 xx-1图 1-1 图 1-221解： 3612lim321lim2 nnnn216li621li nnn41若 ，求 。21xfxffx0lim解： x20lixx220lim3220lix42利用极限存在准则证明： 。121li 22 nnn 证： 222221n且 ， ，由夹逼定理知lim2nli2n11li 222 n 43求下列函数的间断点，并判别间断点的类型(1) ，(2) ，(3) ，(4)21xy21xyxyxy22解：(1)当 为第二类间断点；(2) 均为第二类间断点；1x 2x(3) ，为第一类断点；(4) ，均为第一类间断点。0,1044设 ，问：21,xxf(1) 存在吗？fxlim解： 存在，事实上 ， ，故 。1 1lim1xf1li1xfx 1lim1xf(2) 在 处连续吗？若不连续，说明是哪类间断？若可去，则xf补充定义，使其在该点连续。解：不连续， 为可去间断点，定义： ，则1x21,0,*xxf在 处连续。xf*45设 ，1,302xf(1)求出 的定义域并作出图形。f解：定义域为 ,0(2)当 ，1，2 时， 连续吗？xxf解： ， 时， 连续，而 时， 不连续。1xxf(3)写出 的连续区间。xf解： 的连续区间 、 。1,0,46设 ，求出 的间断点，并指出是哪2 ,4 ,2 xxf xf一类间断点，若可去，则补充定义，使其在该点连续。yx0 1 23解：(1)由 ， ，故 为可去间断点，改变 在4lim0xf20f0xxf的定义为 ，即可使 在 连续。0x (2)由 ， ，故 为第一类间断点。li2xfli2xf(3)类似地易得 为第一类间断点。47根据连续函数的性质，验证方程 至少有一个根介于 1 和 2 之135x间。验证：设 ，易知 在 上连续，且 ，135xf f2,03f，故 ，使 。021625f ,048验证方程 至少有一个小于 1 的根。x验证：设 ，易知 在 上连续，且 ，f xf,01f，故 ，使 。01f 2,10(B)1在函数 的可去间断点 处，下面结论正确的是( C )xf0xA函数 在 左、右极限至少有一个不存在0B函数 在 左、右极限存在，但不相等xfC函数 在 左、右极限存在相等0D函数 在 左、右极限都不存在xf2设函数 ，则点 0 是函数 的( D ),0sin31xf xfA第一类不连续点 B第二类不连续点 C可去不连续点 D连续点3若 ，则( C )0lim0xfA当 为任意函数时，有 成立g0lim0xgfx24B仅当 时，才有 成立0lim0xg0lim0xgfxC当 为有界时，能使 成立0D仅当 为常数时，才能使 成立xli0fx4设 及 都不存在，则( D )fx0ligx0liA 及 一定不存在0mgfx0liB 及 一定都存在fx0li0C 及 中恰有一个存在，而另一个不存在g0 fx0liD 及 有可能存在fx0li g05 的值为( D )xsin1lm20A1 B C不存在 D06 ( A )2il1xxA B C0 D331327按给定的 的变化趋势，下列函数为无穷小量的是( C )xA ( ) B ( )1421xC ( ) D ( )x0xsin08当 时，下列与 同阶(不等价)的无穷小量是( B )xA B C D xsin1lni21xe9设函数 ， ，则 为( B )g22xgf1fA30 B15 C3 D1 10设函数 ( )的值域为 ， 的值42xf0E12xg域为 ，则有( D )F25A B C DFEFEEFE11在下列函数中， 与 表示同一函数的是( D )xfgA ， B ， 1xf 0xfxg2C ， D ， 2fxg3f12与函数 的图象完全相同的函数是( A )xA B C D e2lnx2arcsinxe2lnx2sinarc13若 ，下列各式正确的是( C )1xA B C D 12131x14若数列 有极限 ，则在 的 领域之外，数列中的点( B )nxaA必不存在 B至多只有限多个 C必定有无穷多个 D可以有有限个，也可以有无限多个15任意给定 ，总存在 ，当 时， ，则( A )0M0XXxMxfA B xfxlimfxlimC D 16如果 与 存在，则( C )fx0lifx0liA 存在且 000xfB 存在，但不一定有fx0lim00limxfxC 不一定存在0D 一定不存在fx0li17无穷多个无穷小量之和，则( D )A必是无穷小量 B必是无穷大量C必是有界量 D是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量18 ，则它的连续区间为( C )1lnarcos2xy26A B1x 2xC D1,2,ee1,1ee19设 ，则它的连续区间是( B )nxxf13limA B ( 为正整数) 处, nxC D 及 处,00120设 要使 在 处连续，则 ( B ),xaexfxxfaA2 B1 C 0 D-1 21设 ，若 在 上是连续函数，则,3sinxaxf xf,( C )aA0 B1 C D3122点 是函数 的( C )x1,3,xxfA连续点 B第一类非可去间断点 C可去间断点 D第二类间断点23方程 至少有一根的区间是( D )014xA B C D2,0,23,22,124下列各式中的极限存在的是( C )A B C Dxxsinlmxe10li1352limx12lim0x25 ( D )xsil0A1 B0 C -1 D不存在2726 。221limnn 127若 ，则 。32xxf xf1228函数 的单调下降区间为 。1ln2y 0,29已知 ，则 0 ， 6 。35limban ab30 ，则 2 。21liexa31函数 的不连续点是 ，是第 二 类不连续点。xf0