初中数学九年级上册《特殊平行四边形》教案

1课时课题：第三章 第二节 特殊平行四边形第三课时 课 型：新授课教学目标：1.通过正方形、矩形、菱形等特殊四边形的中点四边形的探求过程，引导学生体会证明过程中所运用的由一般到特殊再到一般的归纳思想方法、类比的思想方法、转化的思想方法等.（重点）2.经历“探索发现猜想证明”的过程，进一步发展学生推理论证的能力,体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用.（难点）教法与学法指导：这节课主要采用“ 自主探究 -合作竞学”型教学模式，配以导练循环教学案 .引导学生经历画图-探索 发现猜想证明的过程，在自主探究的基础上合作交流，从而形成对知识的建构.另外利用几何画板多媒体辅助教学，一方面生动直观，另一方面突出重点，分散难点.课前准备：制作课件，编写导学案，学生预习课本相关内容.教学过程：一、 感悟导入师通过前几节内容的学习，我们进一步理解了三角形中位线性质定理、平行四边形及特殊平行四边形的性质定理和判定定理，下面我们来进行简单的训练1.如图 1，在 ABC 中，EF 为 ABC 的中位线, 若 A =30,则BEF = ; 若EF = 8cm,则 AC= .2.如图 2,添加一个条件使得 ABCD 成为（1）矩形？ （2）菱形？ 生各抒 己见,从定义和对角线方面积极回答平行四边形变为矩形、菱形的条件.图2图1EF DABCCBA2设计意图本环节出示 2 个小题的目的是为了强化学生对三角形中位线性质定理、平行四边形及特殊平行四边形的性质定理和判定定理的掌握情况,针对出现的问题及时纠正弥补,为本节课的学习作好铺垫.二、自主探究 师下面大家来猜一猜，想一想(出示课件)依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形那么，依次连接正方形各边的中点(如图)能得到个怎样的图形呢?先猜一猜，再证明生 1依次连结正方形各边的中点得到的四边形是正方形师这位同学回答的很准确，同学们，你能证明这个结论吗？生积极独立思考，并进一步在小组内交流讨论.师下面我请一位同学到黑板上板书他的证明过程,其余同学将你的思路书写在练习本上.生 2 板书证明：四边形 ABCD 是正方形A B=C=D 90AB BC CD DA又A 1、 B1、 C1、 D1 分别是边 AB、 BC、 CD、 DA 的中点AA1 BA BB1 B1C CC1 C1D DD1 D1AAD1A1BA1B1CB1C1DC1D1A1B1 B1C1 C1D1 D1A1A B 90，AA1 AD1， A1B=BB1，AA1D1=BA1B1=45D1A1B1 90四边形 A1B1C1D1 是正方形 师很好，哪位勇敢的同学能帮助我们大家梳理一下这位同学的思路呢?生 3这个题同学们是先证明了四边形 A1B1C1D1 的四条边相等，即是菱形，然后又证明了这个四边形的一个角是直角，即有一个角为直角的菱形是正方形，从而得证四边形A1B1C1D1 是正方形师还有其他的方法吗?3生 4因为 A1、 B1 是边 AB、 DC 的中点，所以，若连结对角线 AC，则 A1B1 是ABC 的中位线，同理可知 C1D1 是ADC 的中位线，同样，连结对角线 BD，也可知 A1D1 是ABD 的中位线 ， B1C1 是BDC 的中位线，这样由中位线的性质定理和正方形的对角线相等可得知A1B1、 B1C1、 C1D1、 D1A1，是相等的，然后再证，有一个角是 90，这样也可以证明四边形A1B1C1D1 是正方形老师，我这种思路方法可以吗?师同学们的意见呢?生齐声 可以设计意图:让学生亲身经历独立思考、合作交流获得问题解决方法的过程，既巩固加深了学生对矩形、菱形、正方形这些特殊平行四边形的性质及判别的理解，同时使学生获得了把新知识转化为旧知识的这种解决数学问题的转化方法，提高了解决问题的能力,学生在探究的过程中，享受到成功的喜悦，增强了学习的信心，为下面的学习打下基础.三、合作竞学师证明四边形 A1B1C1D1 的四条边相等时，可以用三角形全等，也可以用三角形中位线定理和正方形的性质来证明大家要灵活应用这些性质，接下来期待同学们有更好的表现,请看下面的问题.教师(出示课件)(1)依次连结菱形或矩形四边的中点能得到一个什么图形?先猜一猜，再证明(2)依次连接平行四边形四边的中点呢?(3)依次连结四边形各边中点所得到的新四边形的形状与哪些线段有关?有怎样的关系操作方式:本环节采取分组探究的形式展开,全班分为 3 个小组,每一小组选择一个不同的任务，对矩形、菱形、平行四边形三种情况的中点四边形进行合作探究验证.生在获取小组任务后,在各小组组长的带领下,积极进行合作探究.师观察每个小组的学习情况，对有困难的给予引导，然后用投影分组展示各组的如下探究结果.第一小组学生依次连接菱形四边的中点得到的四边形是矩形，如图已知:在菱形 ABCD 中，点 A1、 B1、 C1、 D1 分别是菱形四条边的中点，求证：四边形 A1B1C1D1 是矩形证明：连接 AC、 BD点 A1、 B1、 C1、 D1 分别是菱形 ABCD 的各边的中点，4A1B1 /2AC， C1D1 / 2AC.A1B1 C1D1四边形 A1B1C1D1 是平行四边形AC、 BD 是菱形 ABCD 的对角线 ，ACBDA1B1C1 90四边形 A1B1C1D1 是矩形 第一小组同组同学这个题还可以证明： A1B1C1 B1C1D1 C1D1A1 90因为 A1B1 /2AC， C1D1 /2AC，A1D BD， B1C1 BD而菱形 ABCD 的对角线 AC、 BD 互相垂直所以，即可得证四边形 A1B1C1D1 是矩形第二小组学生依次连结矩形四边的中点能得到菱形如图，点 A1、 B1、 C1、 D1 分别是矩形 ABCD 各边的中点，所以连结 AC、 BD则 A1B1 /2AC， C1D1 /2AC， A1D1 /2BD， B1C1 /2BD四边形 A1B1C1D1 是平行四边形 AC BDA1B1 B1C1.平行四边形 A1B1C1D1 是菱形(学生也提出不同的证明方法，也应鼓励)第三小组同学依次连结平行四边形四边的中点得到的四边形是平行四边形如图，连接 AC 或 BD因为点 A1、 B1、 C1、 D1 分别是平行四边形 ABCD 各边的中点，所以 A1B1 /2AC， C1D1 /2AC所以 A1B1 C1D1因此，四边形 A1B1C1D1 是平行四边形5师很好，同学们能用类比的方法，证明了连结平行四边形及特殊平行四边形各边中点得到的图形，那么大家能否得出一个一般性的结沦，即依次连结四边形各边小点所得的新四边形的形状与哪些线段有关?有怎样的关系?请同学们在小组内展开讨论.学生:全班同学展开热烈的讨论,气氛很好,学生的探究欲望教强烈.第一小组代表由前面的讨论可知：所得的四边形的形状与原四边形两条对角线的位置关系和数量关系有关第二小组代表我们完全赞同第一小组的说法.第三小组代表我们也完全赞同第一小组的说法.师很好，那大家来想一想：到底有怎样的关系呢?第一小组代表只要四边形的对角线相等，那么依次连接这个四边形各边中点所得到的四边形就是菱形第二小组代表只要四边形的对角线互相垂直，那么依次连接这个四边形各边中点所得到的四边形就是矩形师还有补充吗?第三小组代表只要四边形的对角线既相等又互相垂直，那么依次连接这个四边形各边中点所得到的四边形就是正方形.师对角线既不相等也不垂直呢?生齐声回答 平行四边形.师同学们回答的都很好! 我们把结果展示出来,并用几何画板演示验证结论的正确性(出示课件)原四边形对角线关系相等 垂直 相等且垂直 既不相等又不垂直中点四边形形状菱形 矩形 正方形 平行四边形mEFG =90H BOCFG =4值EF =4值GH HEBD 8AC 8值值值值值值OHGFEB CDA6设计意图: 使学生经历“探索发现猜想证明”的过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用，使学生意识到证明是探索活动的自然延续和必要发展分小组对问题展开探究，既培养了学生的集体荣誉感，提高了学生的竞争意识，同时也提高了学习效率，几何画板的使用更充分发挥其直观、形象和快捷的作用，最大限度的使学生掌握和理解知识.四、拓展应用（本环节是对教材“做一做”的再创造）1.下图中， ABCDXA 是我市的一条环形公路， X 表示一座水库，B,C 表示两个村庄 .已知 ABCD 是一个正方形,XAD 是一个等边三角形.现在枣庄市政府要铺设输水管XB 和 XC, 从水库向 B,C 两个村庄供水, 请你告诉工人师傅两条水管的夹角BXC 的度数为 .变式训练:如图，四边形 ABCD 是正方形，ADX 是等边三角形，则BXC 的度数为 .学生:认真读题，先独立思考，然后在小组内交流教师：点拨指导，引导学生分析思路，方法，归纳一般的思路.设计意图 :通过练习和变式训练及时引导学生加深对所学知识的理解,并能做到触类旁通, 不仅提高了解决问题的能力而且发展了学生的发散思维的能力，让学生体会到数学在生活中的广泛应用，进一步感受生活的数学化.五、课堂小结师同学生掌握的很好,那么这节课你有哪些收获呢?还有那些困惑?生 各抒己见,认真总结反思本节课自己的收获 设计意图:培养学生语言表达归纳总结的能力和反思意识，总结研究数学问题的一般方法,形成完整的知识体系，六、达标测试1.如图 1,矩形 ABCD 的长为 3，宽为 1，取各边中点后得到的四边形是 ,它的的面积为 . 72.如图 2,在 1 题中第二次取各边中点后得到的四边形是 ,它的面积为 . 3.如图 3,这样继续下去第 n 次取各边中点后得到的四边形的面积为 4.已知:四边形 ABCD 的面积为 s，第一次取各边中点后得到的四边形的面积为 ;第二次取各边中点后得到的四边形的面积为 ;这样继续下去第 n 次取各边中点后四边形的面积为 .设计意图: 通过达标检测及时反馈学生对本节课知识点的掌握程度, 以便有的放矢进行后续教学. 七、作业布置A.课本 P104 知识技能 1B. 在证明 1,2,3 这三章中，我们从若干条公理及有关定义出发，证明了关于平行线、三角形及四边形等图形的一些命题，请你用一副图表示这一过程.板书设计第三章 平行四边形3.2 特殊平行四边形(3)一、依次连结正方形各边的中点 二、中点四边形形状 教学反思:本节紧紧围绕中点四边形的形状这个问题，引导学生利用已有的知识、经验在自