湖北省黄冈市长冲高中2012届高三下学期高考交流试卷数学理试题

第 1 页 共 15 页 湖北省黄冈市长冲高中 2012 届高三下学期高考交流试卷数学（理）试题（全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 ）注意事项：1 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 B 后的方框涂黑。2 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。咎在试题卷、草稿纸上无效。3 填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。4 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共 l0 小题每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1 集合 ，则 =203,9PxZMxZPM(A) 1,2 (B) 0,1,2 (C)1,2,3 (D)0,1,2,32.设 ()fx是定义在 R上的奇函数，当 x时， ()fx，则 ()f（A） (B) （） （）3【答案】A【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属容易题.【解析】2(1)(1)ff. 故选 A.3. “ （ ） ”是“ ”成立的 答（ ）24xkZtanx（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.（C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件.【解析】当 （ ）时， ，反之，当24xkZtan(2)tan14xk时， （ ） ，所以“ （ ） ”是“ ”成tan1Ztx立的充分不必要条件，选 A.【命题意图】本题主要考查三角函数的诱导公式、特殊角的三角函数以及终边相同的角等基础知识，考查简易逻辑中充要条件的判断.记错诱导公式以及特殊角的三角函数，混淆条第 2 页 共 15 页 件的充分性和必要性，是这类问题出错的重要原因4 在等比数列 na中， 1，公比 1q.若 12345ma，则 m=（A）9 （B）10 （C）11 （D）12命题意图：考查等比数列的通项公式和有关性质，幂的运算性质。【答案】C【解析】由 12345ma得 152531()maqaq，又 1，所以 10mq，解得m=11，故选 C。5阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 值等于（ ）iA.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】由程序框图可知，该框图的功能是输出使和 12321iS时的 i的值加 1，因为 120， 231， 所以当 时，计算到 3i，故输出的 i是 4，选 C。【命题意图】本题属新课标新增内容，考查认识程序框图的基本能力。6.若 是方程 的解，则 属于区间 （ ） 0x31)2(x0x（A） （ ）. （B） （ ）. （C） （ ） （D） （ ）,32, 21,331,0【解析】 ，设 ，则 ，133()()2xx()xf()26f，所以 ，选 C.112() 0f 01,3x【命题意图】本题考查了函数的零点与方程根的关系，隐含着对指数函数的性质、分数指数幂、连续函数的性质等知识的考查，把对方程的根的研究转化为对函数零点的考察是解题的关键.7设不等式组x1-2y+30所表示的平面区域是 1,平面区域是 2与 1关于直线第 3 页 共 15 页 3490xy对称,对于 1中的任意一点 A 与 2中的任意一点 B, |AB的最小值等于( )A. 285 B.4 C. 25 D.2【答案】B【解析】由题意知，所求的 |B的最小值，即为区域 1中的点到直线 3490xy的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线 3490xy的距离最小，故 |AB的最小值为|349|25，所以选 B。【命题意图】本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力。8.在ABC 中，内角 A、B 、C 的对边分别是 a、b、c ，若 23bc，sinC=2 3sinB，则 A= （ ）（A）30 （B）60 （C）120 （D）150【答案】A【解析】由 sinC=2 sinB 结合正弦定理得： 23cb，所以由于余弦定理得：22cosbca2()osbAc2(3)32，所以 A=30，选 A。【命题意图】本小题考查三角形中的正弦定理、余弦定理，特殊角的三角函数等基础知识，考查同学们的运算能力。9若点 O 和点 (2,0)F分别是双曲线21(a0)xy的中心和左焦点,点 P 为双曲线右第 4 页 共 15 页 支上的任意一点,则 OPF的取值范围为 ( )A. 3-2,) B. 32,) C. 7-,4 D. 7,)4【答案】B【解析】因为 (,0)是已知双曲线的左焦点，所以 21a，即 23a，所以双曲线方程为213xy，设点 P 0(,)xy，则有200()3xyx，解得20()，因为 0(,)F， 0(,)OP，所以200()OPFxy= 0()x2013x2041x，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 034，因为 0，所以当 03时， PF取得最小值4321，故 OPF的取值范围是 2,)，选 B。【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。10已知函数 F(x)=|lgx|,若 0f(1)=1+ 1=3,即 a+2b 的取值范围是(3,+).答案选 C。二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11 （2010 年高考山东卷理科 14）若对任意 0x ， 231xa恒成立，则 的取值范围是 【答案】 1a5【解析】因为 x0，所以 1+2x（当且仅当 x=1时取等号） ，所以有第 5 页 共 15 页 2x11=+32+35，即 2x3+1的最大值为 5，故 1a。【命题意图】本题考查了分式不等式恒成立问题以及参数问题的求解，考查了同学们的转化能力。属中档题。12 261(1)(x的展开式中的常数项为_.【答案】-513、如图所示，直线 与双曲线 ： 的渐近线交2x142yx于 ， 两点，记 ， .任取双曲线 上的1E21OEe2点 ，若 （ 、 ） ，则 、 满足的一P2abRab个等式是 ；【解析】设 ，易知 ， ，由 ，得0(,)xy1(2,)e(,1)12OPaeb，即 ，0(,)21xyab02xyab ， ，代入 整理得 ，故答案为： .00y1424141ab【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，向量的坐标运算，平面向量基本定理等知识，把向量与解几结合命题，是全国各地高考题中的主流趋势.14、以集合 的子集中选出 4 个不同的子集，需同时满足以下两个条件：dcbaU,（1） ， 都要选出；（2）对选出的任意两个子集 A 和 B，必有 或 .那么共有_种不同AB的选法.【解析】由于 ， 都要选出，又 或 ，则对选出的子集 A 中的元素个数分U第 6 页 共 15 页 类：A 是元子集，则满足条件的子集 A 和 B 共有 种；A 是二元子集，则满4(3)2足条件的子集 A 和 B 共有 种；故共有 36 种不同的选法。621【命题意图】本题考查子集的有关概念，两个计数原理的灵活应用.注意到条件“对选出的任意两个子集 A 和 B，必有 或 ”，所以分类时 A 中元素个数最多 2 个，这是AB解题的突破口.15.(考生注意:请在下列二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)（1） ，(几何证明选做题)如图,已知 CRt的两条直角边 BC,的长分别为 cm4,3,以AC为直径的圆与 AB交于点 D,则 _A. 【解析】 （方法一）易知 5432AB，又由切割线定理得 ABDC2，51642DB.于是， 59.故所求 9165DAB.（方法二）连 C，易知 是 CRt斜边上的高，由射影定理得AB2，D2.故所求 916342AB.【试题评析】本题主要考查平面几何中的直线与圆的综合，要注意有关定理的灵活运用.（2）(坐标系与参数方程选做题) .已知圆 C 的圆心是直线 1t（ 为参数）与 轴的交点，且圆 C 与直线 30相切。则圆 C 的方程为 。AB CDO第 7 页 共 15 页 【答案】 2(1)xy【解析】令 y=0 得 t=-1，所以直线 1t（ 为参数）与 轴的交点为（-1，0） ，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 |13|2r，故圆 C 的方程为 2(1)xy。【命题意图】本题考查直线的参数方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识。三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16 （本小题满分 12 分）设 是不等式 的解集，整数 .S20x,mnS（）记使得“ 成立的有序数组 ”为事件 A，试列举 A 包含的基本事件；mn()（）设 ，求 的分布列及其数学期望 .2E命题意图本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想，满分 12 分解：（）由 得 ，即 260x23x|23Sx由于 且 ，所以 A 包含的基本事件为：,mnZSmn(2)(1),(,)17 （本小题满分 12 分）第 8 页 共 15 页 . ，O某 港 口 要 将 一 件 重 要 物 品 用 小 艇 送 到 一 艘 正 在 航 行 的 轮 船 上 在 小 艇 出 发 时轮船位于港口 O 北偏西 且与该港口相距 20 海里的 A 处，并以 30 海里/ 小时的航行速度30沿正东方向匀速行驶.假设该小船沿直线方向以 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小v时与轮船相遇.（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小） ，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.命题意图：本小题主要考察解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、树形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分 13 分.解法一：即，小艇以 30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.（）设小艇与轮船在 B处相遇，则224930cos(930)vtttA故2260t 3v 24990t即 23,3tt解 得又t时， 0v第 9 页 共 15 页 此时，轮船航行时间103,013tv即，小艇以 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.（）猜想 30v时，小艇能以最短时间与轮船在 D处相遇，此时 30ADOt又 6OAD，所以20,3AOt解 得据此可设计航行方案如下航行方向为北偏东 30，航行速度的大小为 30 海里/小时，这样，小艇能以最短时间与轮船相遇.证明如下：如图，由（）得 OC=1,AC,故 OCA,且对于线段 上任意点 P,有 .P而小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时，故小艇与轮船不可能在 A，C 之间（包含 C）的任意位置相遇.设 (09)COD,则在 RtOD中，103103tan,.cosOD由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为 13tan13,0costtv和所以，t0,第 10 页 共 15 页 于是，当 30时，103tant取得最小值，且最小值为2.3解法三：（）同解法一或解法二（）设小艇与轮船在 B 处相遇，依据题意得：2240903cos(930),vtttA()64.（1） 若 v，则由2301(90)= 675,得 5.v从而，230675,13,0)9vt， 当2tv时，来源: /令 2675x，则 0,15)x， 230204513xt，当且仅当 0x即13v时等号成立. 当206759vt时，同理可得243t.由、得，当 13,0)v时，.t第 11 页 共 15 页 （2） 若 30,v则2;t综合（1） 、 （2）可知，当 30,v时，t 取最小值，且最小值等于2;3此时，在 OAB中， 2AB,故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东 30，航行速度为 30 海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.18.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA 平面ABCD,AP=AB=2,BC= ，E，F 分别是 AD，PC 的中点 . 2（）证明：PC 平面 BEF；（）求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小.命题意图本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想满分 12 分解法一: （）如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系.AP=AB=2,BC=AD= ,四边形 ABCD 是矩形.2A，B，C ，D，P 的坐标为 A(0,0,0)，B(2,0,0) ，C(2, ,0)，D(0 ， ，0)，P(0,0,2) ，22又 E，F 分别是 AD，PC 的中点，E(0， ，0) ，F(1， ，1).22 PC=（2， ，-2） BF=（-1， ，1） EF=（1,0, 1） ， BF=-2+4-2=0， PC E=2+0-2=0， ， ，PC BF，PCEF，BF EF=F,PC 平面 BEF，（II）由（I）知平面 BEF 的法向量 ,1(2,)nPC平面 BAP 的法向量 ,2(0,)nAD . 设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 ，128nA第 12 页 共 15 页 则 ,121282cos(,)4nA =45， 平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45.解法二 （I）连接 PE，EC 在 和 中. RtPEtCDPA=AB=CD, AE=DE, PE= CE, 即 PEC 是等腰三角形，又 F 是 PC 的中点，EFPC,又 ，F 是 PC 的中点，2BPAB BFPC.又 , .EEC平 面（II） ,D,平 面 PA又 ABCD 是矩形，AB BCBC 平面 BAP,BC PB,又由（）知 PC 平面 BEF, 直线 PC 与 BC 的夹角即为平面 BEF 与平面 BAP 的夹角，在 中， PBC,90,PBC45.B所以平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45。19.已知等差数列 na满足： 37， 5726a， na的前 n 项和为 nS（）求 n及 S；（）令 bn= 21a(nN*)，求数列 nb的前 n 项和 T （本题 12 分）【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。【解析】 （）设等差数列 na的公差为 d，因为 37a， 5726，所以有12706ad，解得 13,2，所以 3)=n+n（ ； nS= (-1)= 2n+。（）由（）知 21a，所以bn= 21a= 2+)（ 4n(+)= 1(-)n，第 13 页 共 15 页 所以 nT= 11(-+-)423n+1 = (-)4n4(+1)，即数列 nb的前 n 项和 T= 4()。20 （本小题满分 13 分）已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A（2，3） ，且点 F（2，0）为其右焦点.（）求椭圆 C 的方程；（）是否存在平行于 OA 的直线 ，使得直线 与椭圆 C 有公共点，且直线 OA 与 的距ll l离等于 4？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.命题意图：本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想满分 13 分解法一：（）依题意，可设椭圆 C 的方程为 ，21(0)xyab且可