初中数学八年级上册勾股定理中考考点

1勾股定理 中考考点掌握勾股定理的内容，能利用勾股定理进行计算与证明。考点讲解勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即：c 2=a +b 2(c 为斜边) 。它反映了直角三角形三边之间的数量关系，是解决直角三角形中计算问题以及解直角三角形的主要依据之一。一、问题的提出：小明放学回家要经过一块长方形的麦地。如图：1、 小明本来应走大路从 A 经 B 到 C 可是他却直接从 A 到 C，为什么？2、 为什么近、近多少？3、用数学知识如何解答？二、量一量，算一算：1、直角三角形的两条直角边的长度分别为 3，4和 5，12请你量出斜边的长度。2、进行有关的计算。3、得出结论：三、证明结论：利用拼合三角形的方法，如下：（1）由（1）由（2）AB CD3cm4cm6cm8cm2（2）如图：练习：1、判断：（1）已知 a、b、c 是三角形的三边，则 （ ）（2）在直角三角形中两边的平方和等于第三 边的平方。 （ ）（3）在 90B （ ）2、填空：在中，（1）如果 a=3，b=4，则 c=（2）如果 a=6，b=8，则 c=（3）如果 a=5，b=12，则 c=(4) 如果 a=15，b=20 ，则 c=3、 解决新课开始提出的问题中考考点1把握勾股定理的逆定理；2，用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。考点讲解1勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a、b、c 有下面关系：a 2+b = c 2，那么这个三角形是直角三角形。注意：勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。1用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的步骤：（1）首先求出最大边（如 c） ；（2）验证 a 2+b 与 c 2是否具有相等关系；若 c2=a2+b ，则ABC 是以C=90的直角三角形。若 c2 a2+b ， 则ABC 不是直角三角形。2直角三角形的判定方法小结：（1）三角形中有两个角互余；（2）勾股定理的逆定理；3紧记一些常用的勾股数，将为我们应用勾股定理逆定理带来方便，如c a b a c b b c b a a c 33、4、5；5、12、13；6、8、10；12、16、20 等。四、典型例题例 1. 在中， ，于 D，求证：（1）（2）分析：在图中有与三个直角三角形，利用勾股定理可以求证。证明：（1）（2）又即例 2、 已知中， ，求 AC 边上的高线的长。分析：首先通过所给的三角形的三边长，判断出所求高线长的三角形为直角三角形，并且要求的为斜边上的高线，通过勾股定理可解，未知量可用方程的思想求得。解： 为，且作于 D设，则答：AC 边上的高线长为。例 3.已知：如图，ABC 中，AB= AC，D 为 BC 上任一点，求证：AB 2AD 2=BDDC思路分析：通常遇到等腰三角形问题，都是作底边上的高转化为直角三角形，再按解直角三角形的思路探索。本例首先作 AEBC 于 E，便出现两个全等的直角三角形。由 AB=ACBE=EC结论又以平方差“面目”出现，也就告知我们应用勾股定理是打开思路的好方法，那么在 RtABE，RtADE 中，由勾股定理，得AB2=AE2+BE2AD2=AE2+DE2 AB2AD 2=BE2DE 2C A D B B 12 5 C 13 D A 4由于 BE、DE 均在一条直线 BC 上，通常是平方差公式进行因式分解，转化为求同一条线段的和差问题，使结论明朗化，于是AB2AD 2=(BE+DE)(BEDE)结合图形知：BE+DE=BDBEDE= CEDE =CD例 4.如图，已知四边形 ABCD 的四边 AB、BC、CD 和 DA 的长分别为3、4、13、12，CBA=90,求 S 四边形 ABCD思路分析：遇到四边形，通常是连对角线转化为三角形问题，对本例连对角线 AC 为佳，因CBA=90，便出现了直角三角形 ABC，由勾股定理可求AC2=AB2+BC2=32+42=25在CAD 中，我们又可发现：AC2+AD2=25+122=169DC2=132=169AC 2+AD2=CD2，由勾股定理逆定理知ACD 为 Rt，且DAC=90此时，已清晰可知，这个四边形由两个直角三角形构成，求其面积便容易了。S 四边形 ABCD=SABC +SACD例 5、在正方形 ABCD 中, F 为 DC 的中点, E 为 BC 上一点, 且 EC = , 求证: EFA = 90分析: 通过图形结构和求证本题思路十分明显, 就是要找 Rt, 那就是要通过勾股定理逆定理来完成。证明: 设正方形 ABCD 的边长为 4a则 EC = a, BE = 3a, CF = DF = 2a在 RtABE 中 在 RtADF 中 在 RtECF 中 由上述结果可得由勾股定理逆定理可知 AEF 为 Rt, 且 AE 是最大边, 即AFE = 90例 6、 已知：如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别 AB，AD 上的点，又AB=12，EF=10，AEF 的面积等于五边形 EBCDF 面积的，求 AE，AF 的长。AB2AD 2=BDCD5思路分析：依题意知AEF 为 Rt用勾股定理，立马而定，于是有EF2=AE2+AF2设 AE=x,AF=y,又 EF2=100,则 x2+y2=100 本例未告知 AF,AE 谁大,所以应取两解.五、专题检测：1、如图在 ABC 中, BAC = 90, ADBC 于 D, 则图中互 余的角有A2 对 B3 对C4 对 D5 对2、如果直角三角形的两边的长分别为 3、4，则斜边长为3、 已知：四边形 ABCD 中，BD、AC 相交于 O，且 BD 垂直AC，求证：。4. 已知：钝角，CD 垂直 BA 延长线于 D，求证：。5. 已知：，且，D 在 BC 上，求证：。6. 已知：，求证：。7 已知：中，AD 为 BC 中线，求证：。D C O A B D A B C A B D C A B C D A B D C 68、如果 ABC的三边分别为 a、b、c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断 ABC的形状。9.如图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边 AD，点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知： AB=8cm，BC=10cm ，求 EC 的长。10：已知：如图， ABC 中，AB=AC=10，BC =16，点 D 在 BC 上，DACA 于 A。求：BD 的长。分析：因为ABC 中，AB=AC ，可作 AEBC 于 E，构造直角三角形，由已知条件，AE，CE，可求。根据勾股定理可