小学数学六年级下册单元教材分析　全册　

全册说明苏教版义务教育课程标准实验教科书数学六年级（下册）教材分析本册教材是依据全日制义务教育数学课程标准（实验稿）（以下简称标准）编写的。六年级第二学期是小学阶段最后一个学期，教材从促进学生的发展，为学生进入第三学段的学习打好基础出发，把六年级（下册）的教学内容分成两部分编排。在前七个单元里教学新知识，全面完成标准规定的第二学段的教学内容和具体目标。在第八单元有重点地系统复习小学阶段教学的主要知识，在深化理解的同时组织更合理的认知结构，通过适当的练习形成必要的技能，应用知识解决实际问题，培养数学素养。新授内容仍然分四个领域安排。“数与代数”领域教学百分数的应用，比例的有关知识，成正比例和成反比例的量，解决问题的策略。百分数的应用是在六年级（上册）认识百分数的基础上编排的，是本册教材的重点内容之一。要联系实际解决一些求一个数比另一个数多（或少）百分之几的问题，解决较简单的有关纳税、利息、折扣的问题，解决已知一个数的百分之几是多少，求这个数的问题。通过这些内容的教学，能让学生进一步理解百分数的意义，学会在日常生活中应用百分数。教学正比例和反比例，着重理解正比例的意义和反比例的意义，让学生在现实的情境中作出相应的判断。根据标准的精神，教材适当加强了正比例关系图像的教学，不再安排解答正比例或反比例的应用题。比例的知识有比例的意义、比例的基本性质和解比例。这些知识有助于理解图形的放大与缩小，能用来解决有关比例尺的问题。在解决问题的策略里，教学转化的思想和方法。转化能使复杂的问题变得简单，能把未知的内容变成已知的内容。所以，转化是重要的认知策略，也是常用的解决问题策略。对于转化思想，学生在前面的学习中已经有较丰富的体验。本册教材继续教学转化，让学生进一步体会和应用，通过具体的转化活动，发展思维的灵活性。“空间与图形”领域教学圆柱和圆锥，图形的放大或缩小，确定位置等内容。圆柱与圆锥是本册教材的又一个重点内容，包括圆柱和圆锥的形状特征，圆柱的表面积及计算方法，圆柱和圆锥的体积及计算方法等知识。图形的放大和缩小是小学数学新增加的教学内容，让学生初步了解图形可以按一定的比例发生大小变换。这个内容安排在第三单元里，结合比例的知识进行教学。确定位置也是新增的教学内容，在初步认识方向的基础上，用“北偏东几度”“南偏西几度”的形式量化描述物体所在的具体方向，还要联系比例尺的知识，用“距离多少”的形式描述物体所在的位置。教材严格遵照标准的要求，精选传统小学数学里有关形体的知识，增加与生活密切联系的空间知识，让学生在获得必需的数学事实的过程中发展空间观念。“统计与概率”领域先在认识圆和能够应用百分数的基础上教学扇形统计图，再教学众数和中位数。众数和中位数是数据分析时经常使用的统计量。有些时候，平均数不能确切地反映一组数据的基本特征，就可以考虑用众数或中位数来反映。本册教材里的统计知识，能进一步增强学生的数据意识，提高分析、表达和利用数据的能力。“实践和综合应用”领域编排了三次实践活动。第一次是利用圆柱的体积知识测量形状不规则物体的体积，以及应用铁块的质量与体积比值一定的规律推算铁块的体积。第二次是结合图形的放大或缩小，研究图形的面积变化与边长变化的关系。第三次是使用工具或应用步测的方法，测量相隔较远的两点之间的距离。这些实践活动使学生经历动手操作、独立思考并与同伴合作交流的过程，研究现象，探索规律，创造性地应用学到的知识和方法解决问题。总复习的内容也按四个领域编排。根据标准里具体目标的设计分类，在“数与代数”领域里把内容分成数的运算、数的认识、式与方程、正比例与反比例四个部分进行复习。把解决实际问题纳入数的运算、式与方程两个部分，突出数学知识的实际应用。“空间与图形”领域里的内容分图形的认识、图形的变换、图形的位置三个部分进行复习。小学阶段的测量主要是线段的长度、图形的面积、物体的体积，教材把测量的内容与图形的认识有机结合起来，能提高复习的效率。“统计与概率”领域的内容分统计、可能性两个部分进行复习。在总复习里还安排了上述三个领域内容的综合应用，分别研究住房面积的变化、旅游费用的预算、调查周围的绿地面积、在生活中如何节约用水。这些问题都具有较强的知识性、实践性、应用性，并富有教育意义。另外，教材充分关注六年级学生的年龄、心理发展特点和他们对学习的需求，在“你知道吗”里介绍数学知识在经济领域和社会生活里的应用。编排的“思考题”满足部分学生多学一些、学深一些的需求，还多次组织学生自我评价学习的过程与效果。第一单元 百分数的应用一、教学内容六年级（上册） “认识百分数”这个单元里，初步教学百分数的意义，用百分数描述部分与整体或两个同类数量间的倍数关系；教学了百分数与分数、小数的相互改写，解决简单的求一个数是另一个数的百分之几的问题。本单元在此基础上编排，通过应用百分数解决实际问题，进一步理解百分数的意义，体会百分数的广泛应用。日常生活和生产劳动经常应用百分数，如用百分数表示一个数量比另一个数量多或少的关系，又如利息与纳税的计算、折扣的设计与计算等。应用百分数解决问题可以列式计算，也可以列方程解答。这些都是本单元的教学内容。全单元的教学内容比较多，编排 6 道例题、四个练习以及全单元的整理与练习，大致分成五段教学。例 1、练习一，求一个数比另一个数多百分之几（或少百分之几） 。这一段是接着六年级（上册）求简单的百分率编排的。例 2、例 3、练习二，根据国家规定的税率和利率，计算应纳税金额和可得利息金额。这一段应用百分数的乘法解决实际问题。例 4、练习三，解决有关折扣的问题，包括设计折扣和根据折扣求现价或原价的问题。这一段里有列方程解题，也有列算式解题，列方程求原价是重点。例 5、例 6 练习四，列方程解决稍复杂的百分数问题或分数问题。在六年级（上册） “分数四则混合运算”里只教学稍复杂的求一个数的百分之几是多少的问题，已知一个数的百分之几是多少，求这个数的问题安排在本单元，由百分数问题带出。“整理与练习”综合全单元的知识内容，进一步应用百分数解决实际问题。二、教材编写特点和教学建议1应用概念、联系经验进行推理，求一个数比另一个数多（少）百分之几。例 1 是一个数比另一个数多百分之几的问题， “试一试”是一个数比另一个数少百分之几的问题。学生有求一个数比另一个数多（少）几的经验，已能求一个数是另一个数的百分之几。教材充分利用这些资源，引导学生通过推理，探索例题与“试一试”的算法，鼓励解决问题方法多样化。线段图直观。例 1 画出表示东山村原计划造林面积和实际造林面积的线段图，还在图上标出了表示实际比原计划多的那一段，帮助理解“实际造林比原计划多百分之几”的含义。让学生体会这是把原计划造林面积作为单位“1” ，实际多造林的公顷数与原计划造林面积相比。求实际造林比原计划多的公顷数占原计划的百分之几，需要分两步解答。思路与解法多样。例题用两种方法求得实际造林比原计划多 25% ， “兔”的思路是：实际比原计划多造林的 4 公顷占原计划造林面积的 25%，他先算了4 公顷；“鸟”的思路是：实际造林面积是原计划的 125%，比原计划多 25%，他先算了 125%。教材希望这些解法都是学生在线段图的帮助下想到的，在交流时鼓励思路与方法多样化，允许学生选择解法。类推并比较。 “试一试”解决的问题与例 1 貌似相同、实质不同。所谓貌似相同，因为两个问题都是实际造林面积和原计划造林面积的关系，学生往往会从实际比原计划多 25%得出原计划比实际少 25%这个错误结论。其实，这两个问题有质的区别，首先是数量关系不同，作为单位“1”的数量不同，列出的算式不同；其次是两个问题的结果不同：实际比原计划多 25%、原计划比实际少 20%。为此教材里有比较两题的结果，分析结果不同原因的安排。设计题组，加强概念。解答求百分率的实际问题是应用百分数意义进行推理的过程，每一个求百分率的问题都计算一个数是另一个数的百分之几，各个百分率都有特定的具体含义。练习一里编排一些题组，旨在进一步加强百分数的概念。如第 4 题分别把会游泳人数或不会游泳人数与全班人相比，得到的两个百分数是不同的。第 5 题里既有相同条件求不同的百分率，也有不同条件求相同的百分率，从中体会数量关系和解题过程的不同。第 7 题里虽然三个百分率的计算思路一致，由于利用的条件不同，因而结果也不同。2促进经验迁移，求一个数的百分之几是多少。纳税和收入利息都是生活中常见的求一个数的百分之几是多少的问题。例2 教学纳税的问题，例 3 教学利息的问题，它们的解题思路与数量关系有相似的地方，适宜编排在一起教学。收获利息要缴纳利息税，在教学利息的问题前先教学纳税问题，是合理的安排。另外，税率和利率都是国家的有关部门规定的，普通公民不需要计算税率和利率，只要根据规定的税率和利率计算应缴纳多少税、能收入多少息。所以，这两道例题和练习二里只涉及求一个数的百分之几是多少的问题。创造迁移的氛围，让学生主动解决纳税问题。例 2 求 60 万元的 5%是多少万元，从 5%的概念出发，利用 5%与 10意义上的共同点，让学生在 60 万元的 10基础上，通过推理懂得求一个数的百分之几是多少也用乘法计算。计算605%转化成 6010，再次体会两者的数量关系是一致的，用乘法求一个数的百分之几是多少是合理的。把 605%转化成 600.05 是计算百分数乘法的常用策略，当一个数乘分数的计算比较麻烦时，把百分数化成小数计算的优越就显现了。例 2 计算应缴纳的营业税， “试一试”和练习中还要计算应缴纳的车辆购置税、增值税、个人所得税等，都是我国现行的主要税种。税率虽然不同，计算应纳税额的原理与方法是致的。学生独立解决一些关于纳税的问题，实现例题到练习题的迁移。接受和理解利息的算法。利息有规定的算法，把算法告诉学生，理解算法的数量关系，是比较适宜的教学方法。例 3 在亮亮存款的情境里出现“利息本金利率时间” ，在底注解释本金、利息、利率的意思，让学生理解年利息是按年利率计算的，是求本金的百分之几；如果存期超过 1 年，还要把年利息乘时间。按照利息的计算公式列式求得利息，能对利息的算法有进一步的体验。我国的税法规定，获得利息要缴纳利息税， “试一试”计算应缴纳的利息税以及纳税后的实得利息。例 3 与“试一试”有序地结合，为“练一练”和解答练习二第 5、6 题作了充分的准备。根据本金、利率、时间、税率计算税后实得利息的步骤较多，因此，教科书里的实际问题一般设计成连续的两问，先算应得利息，再算实得利息，适当降低解决问题的思路坡度，减少错误。3解答“打折扣”的实际问题，沟通各类百分数问题的联系。学生已能解答求一个数是另一个数的百分之几的问题，以及求一个数的百分之几是多少的问题，例教学已知一个数的百分之几是多少，求这个数的问题，并沟通三类百分数问题的联系。以百分数乘法为相等关系，列方程解决实际问题。例 4 已知趣味数学打八折是 12 元，求书的原价是多少。教材先告诉学生八折是 80%，还在底注里介绍什么是打折扣，以及折扣的含义，指出几折就是十分之几，也就是百分之几十。然后让学生思考原价和实际售价的关系，联系打折扣的含义，得到数量关系“原价80%实际售价” 。在这个关系式里，已知实际售价、求原价，如果设原价为 x 元，就能列方程解决问题。用不同方法检验，沟通百分数问题的联系。检验实际问题的答案，一般不采用代入原方程的方法，因为把 x 的值代入原方程只能检验解方程，不能检验列方程。教材鼓励学生联系折扣的含义，用多种方法检验。 “兔”检验实际售价 12 元是不是原价 15 元的 80%， “鸟”检验原价 15 元的书打八折后的实际售价是不是 12 元。例题及两种检验，都在原价、现价、折扣三个数量里已知两个，求另一个，它们是有关折扣的三类实际问题。例题的解答及其检验，体现了各类百分数问题的内在联系。进行解决各类问题的练习，灵活应用数量关系。练习三里编排了关于折扣的各种问题，第 1 题已知原价和折扣，求打折后的售价；第 2 题已知打的折扣以及打折后的实际售价，求打折前的原价；第 4 题根据原价和现在售价，求打的折扣。学生解决这些问题，能进一步理解折扣的含义和实际应用，灵活掌握数量关系。解答这些题都从折扣的具体含义分析数量关系，首先是“原价折扣现价” 。在这个关系式里，如果已知原价求现价，可以列乘法算式计算；如果已知现价求原价，列方程是常用的方法。然后是“现价原价折扣” ，即现在售价是原来价钱的百分之几十，就是打了几折。练习三的第 3 题，把已知的百分数改说成打的折扣，启示学生求打的折扣就是求现价占原价的百分之几十，为第 4 题作了铺垫。4列方程解答较复杂的百分数问题。例 5 把男生人数作为单位“1” ，例 6 把九月份用水量作单位“1” ，两道题都求单位“1”是多少，在例 4 的基础上列方程解答。利用线段图显示相等关系，分散列方程的难点。求单位“1”是多少的百分数问题一般列方程解答，找到相等关系既是关键，又经常是难点。例 5 用两条线段分别表示美术组的男生人数和女生人数，先画表示男生人数的线段是因为男生人数看作单位“1” 。让学生在图右边的括号里填写总人数，体会总人数是男生人数与女生人数的和，从而找到相等关系。例 6 用两条线段分别表示九月份和十月份的用水量，先画表示九月份用水量的线段是因为把它看成单位“1”的量。十月份用的水比九月份少，也就是“九月份用水量十月份比九月份节约的用水量十月份用水量” ，这正是实际问题的相等关系。教材利用线段图直观反映例 5 里的两个数量的相并关系，例 6 里两个数量的相差关系，有助于学生理解相等关系。两道例题列出的方程都形如“xaxb” ，不仅设单位“1”的量数为 x，还要用含有 x 的式子表示女生人数或十月份节约用水的立方米数，这是列方程的难点。教材让学生在例 5 的线段图上用 0.8x 表示女生人数，看着例 6 的线段图思考十月份比九月份节约的立方米数怎样表示，能有效化解难点。加强数量关系的练习，提高寻找相等关系的能力。第 11 页“练一练”第 1 题和例 5 相似，第 2 题是例 5 的变式。这些题的特征比较明显，有些题已知两个数量的和是多少，求两个数量各多少；有些题已知两个数量相差多少，求两个数量各多少。已知的和或相差数经常是分析数量关系的切入口，两个数量相加得到它们的总数、两个数量相减得到它们的相差数，往往是实际问题里的主要数量关系，也是列方程的相等关系。第 12 页“练一练”消化例 6 的思路，在说数量关系前先让学生试着画出线段图，在线段图直观启示下容易说出数量关系。学生看着线段图，联系已有的经验，可能说出不同的数量关系式。如美术组人数舞蹈组人数美术组比舞蹈组多的人数；美术组人数美术组比舞蹈组多的人数舞蹈组人数；舞蹈组人数美术组比舞蹈组多的人数美术组人数。要指导学生从中选择用于列方程的相等关系，从他们现有的解方程能力出发，选用的数量关系式必须保证未知数都在等号的左边。带出稍复杂的分数问题。六年级（上册）只教学较复杂的分数乘法问题，把稍复杂的求单位“1”是多少的问题安排在本单元，由百分数问题带出来，如练习四第 1416 题。这些题的解题思路与方法，和求单位“1”的百分数问题很接近，学生解答百分数问题的经验能够迁移到解答分数问题上。教材不编排分数问题的例题，把解答分数问题安排在练习四的最后中，意图是十分明显的，让学生在独立解答这些题的过程中实现认知同化。第二单元 圆柱和圆锥一、教学内容学生已经掌握了长方体和正方体的特征、表面积与体积的计算方法，还直观认识了圆柱。在这些知识的基础上，本单元教学圆柱和圆锥，主要内容有：圆柱和圆锥的特征，圆柱的侧面积与表面积，圆柱和圆锥的体积计算。全单元编排了 5 道例题、四个练习以及整理与练习，大致分成五段教学。例 1、 练习五，圆柱和圆锥的形状特征；例 2、 例 3、练习六，圆柱的侧面积和表面积；例 4、 练习七，圆柱的体积；例 5、练习八，圆锥的体积；“整理与练习”综合应用全单元的知识， “实践活动”扩展知识、开拓视眼。二、教材编写特点和教学建议1按“整体部分整体”的线索，分别教学圆柱和圆锥的结构特点。学生认识几何体一般先整体感知形状，再仔细研究结构与特征，在此基础上归纳描述，建立形体概念。例 1 先教学圆柱的特征，再教学圆锥的特征。这是因为学生对圆柱已有直观感受，对圆锥比较陌生。圆柱和圆锥的形状虽然有明显的区别，但它们都有圆形底面、弯曲的侧面。先认识圆柱，有利于认识圆锥。在现实的情境中初步认识圆柱和圆锥。例题在图画里呈现许多圆柱、圆锥形状的物体，让学生从中找出圆柱形状物体，告诉他们有些物体的形状是圆锥，还要回忆生活中的其他例子，体会这两种形状的物体是比较常见的，为认识圆柱和圆锥的特征搜集了丰富的材料。观察交流，分别描述圆柱和圆锥的结构特点。教材要求学生仔细观察圆柱和圆锥，发现它们的特征。圆柱的特征突出三点：从上到下始终一样粗；两个底面是相同的圆形；侧面是一个曲面。圆锥的特征也突出三点；有一个顶点；一个底面是圆形；侧面是一个曲面。在学生交流的基础上，出现圆柱和圆锥的几何图形，图文结合指出圆柱和圆锥的“底面” “侧面”和“高” 。这些都是与形状特征有关的概念，还是继续教学侧面积、表面积、体积必需的基础知识。圆柱与圆锥的高都是特定的概念，圆柱的高是它两个底面之间的距离，圆锥的高是它顶点到底面圆心的距离。教材在圆柱和圆锥的几何图形里用虚线画出了圆柱两个底面圆心间的线段，圆锥顶点到底面圆心的线段，还在图形外面标注“高” ，让学生理解圆柱和圆锥的高分别是这两条线段的长，还暗示了测量圆柱、圆锥的高的方法。通过识别加强形体概念。第 19 页“练一练”找出圆柱形或圆锥形的物体，进一步突出圆柱和圆锥的特征，加强形体概念。有些物体的底面是多边形，不是圆形；有些物体的两个底面都是圆形，但大小不同；有些物体的两个底面虽然是相同的圆，但两底之间不一样粗，它们都不是圆柱形的物体。在练习里发展空间观念。练习五第 1 题巩固有关圆柱、圆锥特征的基础知识。第 2 题指出圆柱、圆锥的三视图，体会从正面、侧面看到的形状要用平面图形来表示。第 3、4 题体会“形”旋转成“体” ， “形”的尺寸决定“体”的底面大小和高的长短。第 5 题利用教科书提供的材料制作圆柱、圆锥，体会侧面是平面图形卷成的曲面，学会测量底面直径和高的方法，计算底面周长和面积，复习圆的知识。学生的空间观念在观察、操作、制作的过程中得到发展。2展开圆柱的侧面、表面、研究侧面积和表面积的计算方法。例 2 教学圆柱的侧面积，例 3 教学圆柱的表面积。这样安排，符合知识间的关系，突出侧面积是认知的重点。指导展开圆柱侧面的方法，理解侧面展开后的形状。例 2 计算圆柱形罐头侧面的商标纸的面积，在问题情境里，学生知道商标纸是围到圆柱侧面上的，于是产生把商标纸展开的愿望。教材指导“沿着接缝剪开” ，接缝的长是圆柱的高，沿着接缝剪就是沿着高剪，展开是一张长方形纸。学生在“围剪展围”的活动中，体会了圆柱侧面展开是一个长方形。指点方向，探索侧面积的算法。计算长方形面积的方法是“长宽” ，怎样利用圆柱的底面直径和高计算侧面积？需要解决的问题是长方形的长和宽与圆柱有什么关系。教材让学生研究这些关系，发现长方形的长等于圆柱的底面周长、长方形的宽等于圆柱的高。这样，圆柱的侧面积就可以通过“底面周长高”计算。得出侧面积算法是推理的结果，在推理过程中，形象思维和抽象思维都得到锻炼，空间观念得到培养。画出表面展开图，研究表面积的算法。学生有计算长方体、正方体的表面积的经验，知道表面积是物体各个面的面积总和。例 3 教学圆柱的表面积，创造已有知识、经验迁移的氛围，要求学生在方格纸上画出一个圆柱的展开图。为了能顺利地画图，例题的第一个问题是沿高展开侧面，得到的长方形长和宽各是几厘米？指导学生应用圆柱侧面积知识，先画出侧面的展开图。第二个问题是两个底面分别是多大的圆？指导学生根据圆柱立体图形里的底面直径，画出两个底面圆。通过画图，看到圆柱的展开图是一个侧面（长方形）和两个底面（圆形）组成的，由此得出“圆柱的侧面积与两个底面积的和，叫做圆柱的表面积。 ”在小组里讨论“怎样计算圆柱的表面积” ，一要理出解决问题的思路和步骤，二要根据已知的圆柱的有关条件，说说侧面积与底面积的算法。由于圆柱表面积计算比较复杂，一般分步解答。灵活应用侧面积、表面积知识，解决实际问题。练习六是圆柱侧面积、表面积的实际应用，解答问题要重视“数学化” ，把实际问题抽象成计算侧面积、底面积或表面积的数学问题。如第 1 题求铝皮面积是计算圆柱形队鼓的侧面积，计算羊皮面积是求圆柱形队鼓的两个底面积。再如通风管是没有底面的，彩纸糊的灯笼只有下底和侧面。另外，计算圆柱的侧面积和表面积，经常要进行繁琐的乘法运算。为此，本单元提倡学生使用计算器，把精力用于“数学化”上，用于规划解决问题的步骤上。3应用转化策略，教学圆柱的体积计算公式。把未知转化成已知是解决新颖问题的常用策略，也是创新精神、实践能力的表现。教学圆柱的体积公式，运用了转化策略，分三步进行。建立“等底” “等高”概念，形成“等积”猜想。例 4 教学圆柱体积的计算方法，首先出示一个长方体、一个正方体、一个圆锥，图文结合指出它们的底面积相等、高也相等。因为圆柱的体积计算公式是转化成等底、等高的长方体后推导的，学生需要形成“等底” “等高”概念。然后从长方体、正方体的体积都可以“底面积高”计算，得到等底、等高的长方体与正方体的体积相等。由此猜想，圆柱的体积也与等底、等高的长方体相等，形成了研究圆柱体积算法的思路。割、拼圆柱，转化成长方体。圆柱的体积是否与等底、等高的长方体相等，要看它能不能转化成相应的长方体。学生有圆转化成长方形的经验，以此为基础，把圆柱的底面平均分成 16 份，切开后拼成了一个近似的长方体。这里讲“近似” ，是因为拼成的物体的“长”是 8 段弧组成的曲线。由此想像，如果把圆柱的底面平均分成 32 份、64 份切开后拼成的物体的“长”越来越接近线段，拼成的物体越来越接近长方体。在切、拼操作以及想像中，实现了圆柱转化成长方体。通过推理，得到圆柱体积计算公式。切、拼把圆柱转化成长方体，圆柱的体积公式还要通过推理得到。教材先指导学生研究拼成的长方体与原来的圆柱的关系，看到两个物体的体积相等、底面积相等、高也相等。再体会“底面积高”既是计算长方体的体积，也算得了圆柱的体积。由此得出圆柱的体积公式，并用字母表示，便于记忆和应用。4 “估计验证”探索圆锥的体积公式。就小学生现有的知识，把圆锥转化成体积相等的其他物体有些困难。因此，教学圆锥体积公式采用的方法与圆柱不同认识等底、等高的圆锥与圆柱，估计圆锥体积是圆柱的几分之几。例 5图示了一个圆柱和一个圆锥，指出它们的底面积相等，高也相等。从图画直观，学生能确定圆锥的体积比圆柱小，教材让学生估计这个圆锥的体积是圆柱的几分之几。这里的估计不要求准确，也不要求全体学生有相同的答案，说成 21、31或其他分数都允许。估计要经过验证才能确认或修正， “估计验证”是解决问题的一种策略。通过实验，发现等底等高的圆柱与圆锥的体积关系。首先准备器材，找等底等高的圆柱、圆锥容器各一个，教材图示了比较底面积和比较高的方法。然后在圆锥容器里装满沙子，倒入空的圆柱容器里，看看几次正好倒满。从倒沙子实验得出圆锥体积是等底等高圆柱体积的 31，确认或者修正原来的估计。利用圆柱体积算圆锥体积，推导圆锥的体积公式。上面实验的结论可以用数学式子表示：圆锥的体积等底等高圆柱的体积 。圆柱的体积通过“底面积高”计算，所以圆锥的体积底面积高 31。编排等底等高圆柱与圆锥的体积关系的专项练习。掌握圆锥体积计算方法的关键在理解和应用等底等高圆锥、圆柱的体积关系，即圆柱的体积是等底等高圆锥的 3 倍，圆锥的体积是等底等高圆柱的 31。练习八里有这方面的专项训练，如第 2 题、第 4 题、第 5 题等。第 2 题在圆锥容器里注满水倒入等底等高的空圆柱容器，水只占圆柱容器空间的 。因此，水面的高只是圆柱高的 31。第 5 题里的圆锥只与底面直径 9 厘米、高 4 厘米的圆柱的体积相等。圆锥与底面直径 3 厘米、高 9 厘米的圆柱的体积不相等，因为圆锥的底面积不是圆柱底面积的 3 倍。5测量形状不规则的物体的体积。生活中有大量形状不规则的物体，它们的体积如何测量？实践活动测量物体的体积解决这个问题。转化成圆柱算体积。把土豆放入存水的圆柱容器，能测量体积。教材安排小组合作学习，先测量圆柱容器的底面积，以及放入土豆前的水面高度；再把土豆放进去，测量放土豆后的水面高度。学生能够从水面上升，体会那段圆柱的体积就是土豆的体积。进行这项活动要注意两点，一是在圆柱容器的里面测量它的底面直径和水面高度，并算出底面积。二是帮助学生理解水面高度变化与土豆体积的关系。利用质量与体积的比值算体积。同一种材料，物体的质量与体积的比值（即比重）是一定的，物体的质量除以比重的商是物体的体积。如铁的比重是每立方厘米 7.8 克，一块质量为 780 克的铁块的体积是 7807.8100（立方厘米） 。这次实践活动的第二个内容就是应用这种关系算体积，分三步进行。第一步用测量土豆体积的方法分别测量两块铁块的体积，用天平称出这两块铁块的质量。第二步把两块铁块的体积和质量填入教材设计的表格，分别算出质量与体积的比值，发现比值是相同的。第三步用天平称出另一块铁块的质量，通过质量除以比重求出体积。开展这项活动也要注意两点，一是先测量的两块铁块的体积要尽量准确，否则，得不到“质量与体积的比值一定” 。二是帮助学生理解质量除以比重的商是体积。第三单元 比例一、教学内容本单元教学“数与代数”领域里的比例的意义、比例的性质、解比例；还教学“空间与图形”领域里的图形放大与缩小、比例尺的意义、解决与比例尺有关的实际问题。把两个领域的知识结合起来教学，既能赋予比例丰富的现实意义，又能理解图形放大、缩小的数学含义，还能使解决比例尺的实际问题有更多的思路与方法。全单元编排 7 道例题、三个练习，分成四段教学。例 1例 3、练习九，图形的放大与缩小、比例的意义；例 4例 5、练习十，比例的性质、解比例；例 6、例 7、练习十一，比例尺的意义和解决实际问题；“实践活动”进一步体验图形的放大与缩小。二、教材编写特点和教学建议1在现实情境和画图活动中，教学图形放大与缩小的含义。图形放大与缩小是图形的一种变化方式，研究的对象与内容十分具体，教学应在现实的情境中进行。联系“倍”和“比”的知识，揭示图形放大的含义。例 1 先教学图形的放大，在长方形画放大的情境中，要求学生说说“两幅画长的关系、宽的关系” 。有些学生用“倍”描述，有些学生用“比”表示，都利用了已有的知识、经验。这里要注意的是，应该把放大后的画（第二幅画）与放大前的画（第一幅画）比。教材归纳学生的思考，指出长方形的每条边放大到原来的 2 倍，放大后的长方形与原来长方形对应边长的比是 21，就是把原来的图形按 21 的比放大。在这一段话里，揭示了图形放大的具体含义，示范了图形放大的规范表述。促进认知迁移，体会图形缩小的含义。在初步理解长方形按 21 的比放大以后，教材提问：如果把第一幅画按 12 的比缩小，长和宽应是原来的几分之几？各是多少厘米？引导学生感受图形的缩小，初步形成图形缩小的概念。教学时，可以把图形按 21 的比放大与图形按 12 的比缩小进行比较。突出比的前项指变化后的图形，后项指原来的图形。21 的前项大于后项，表示图形放大；12 的前项小于后项，表示图形缩小。在方格纸上画图形，进一步体会图形放大与缩小。例 2 在方格纸上按照规定的比画出长方形放大后与缩小后的图形，先思考放大或缩小后的长、宽各是几格，进一步理解 31 与 12 在图形放大、缩小情境里的含义，加强对图形放大、缩小的体验。2以图形放大为素材，教学比例的意义。在图形放大的情境中能够写出许多组对应边长度的比，这些比的比值是相同的。利用这些比教学比例，一方面使组成的比例有具体的含义，有利于理解比例的意义。另方面通过对应边长度的比组成比例，能进一步理解图形的放大。分别写出各张照片长和宽的比，分析两个比的关系。例 3 要求分别写出放大前照片的长与宽的比，放大后照片的长与宽的比。这两个比也是相对应的，都是同一图形里两条边的长度比，而且都把长作前项，宽作后项。学生思考两个比有什么关系，有人从比值的角度发现它们的比值都是 1.6，有人从化简比的角度发现它们化简后都是 85。上面的活动有两个作用，一是为教学比例积累素材。二是发展对图形放大的体会：长方形放大，不仅放大后与放大前长的比与宽的比相同，而且放大前长与宽的比和放大后长与宽的比也相同。根据比值相等写出等式，揭示比例的意义。两个比的比值都是 1.6，两个比都能化简成 85，这些都表明两个比相等，因此可以写成等式。等式的左、右各是一个比，表示两个比相等，教材指出“表示两个比相等的式子叫做比例” ，让学生在现实的情境里首次感知比例的意义。写出照片放大后与放大前对应边的长度比，判断能不能组成比例。根据图形放大，学生还能写出放大后与放大前两个图形的长的比和宽的比，判断这两个比能否组成比例，只要看它们的比值是否相等。经过写出比、求比值，比较比值的大小、写成比例等一系列活动，能进一步体会比例的意义，学会判断两个比能不能组成比例的方法。在常见数量关系中体验比例的意义。图形放大与缩小为教学比例提供了生动的素材，认识比例不能局限于图形的变化。因此，练习九第 3 题、第 7 题扩展素材的范围，在常见数量关系里写比、求比值、组成比例，进一步加强概念，也为教学正比例作些铺垫。3在图形缩小的情境中教学比例的性质。比例的性质可用来解比例，也是解决实际问题需要的知识。利用三角形缩小的数据写比例，认识比例的内项与外项。例 4 呈现三角形缩小的情境，缩小前、后的图形里标有底、高的数据。学生根据图形缩小的含义，利用图中的数据，能够写出许多比例。每个比例都由 6、4、3、2 四个数组成，四个数在比例中的位置有规律，这些都为教学比例的性质创造有利条件。教材举一反三，先在 6342 里讲述比例的内项与外顶，再让学生指出其他比例的内项、外项，及时巩固知识。在写出的比例中发现基本性质。比例的性质希望学生主动发现，因为性质比较明显。自己发现性质，认识深刻、记忆牢固、便于应用。发现性质是由表及里、由具体到抽象、由个案到全体的过程。 “兔”看到了 6、4、3、2 四个数在比例中的位置规律， “猴”发现了性质的具体表现。教材要求再写出一些比例，体会规律存在于每个比例中。在此基础上，用字母表示、用语言讲述，理解比例的基本性质。4结合解决实际问题教学解比例。例 5 用比例知识解决实际问题，包括三点内容：根据图形放大的意义写出比例，应用比例性质求未知项，指出什么是解比例。根据图形放大，写出比例。例题要求写两张照片长的比与宽的比组成的比例，在这个比例里有三项是已知的，一项是未知的。因此，像列方程解决问题那样，设放大后照片的宽是 x 厘米，列出的比例是含有未知数的等式。解比例是例题的主要教学内容。教材里写出了两个内项的积等于两个外项的积这一步，让学生思考根据是什么，体会应用比例的性质能够求出比例中的未知项，并通过“试一试” “练一练”学会解比例。5写图上距离和实际距离的比，理解比例尺的含义。例 6 教学比例尺的意义，计算平面图的比例尺。认识图上距离和实际距离。例题给出了草坪长 50 米、宽 30 米，草坪平面图长 5 厘米、宽 3 厘米。要求学生分别写出长、宽的图上距离和实际距离的比。教材没有对图上距离、实际距离作解释，让学生在问题情境中体会、识别。指导统一单位。教材指出：图上距离和实际距离的单位不同，先要统一成相同单位，写出比后再化简。统一单位，可以把高级单位化成低级单位，也可以把低级单位聚成高级单位，由学生自主选择。在交流中体会，实际距离改写成厘米为单位较方便些。如果把图上距离改写成米为单位，在化简比的时候较麻烦。 “猴”写了长的图上距离与实际距离的比， “鸟”写了宽的图上距离和实际距离的比，两个比化简成相同的比。因此，求平面图的比例尺，只要利用一组对应的图上距离和实际距离就够了。揭示比例尺的意义。通过写图上距离与实际距离的比，学生初步感受了比例尺的内涵。在此基础上，教材指出“图上距离和实际距离的比，叫做比例尺。 ”两个数学式子，既精炼地表示了比例尺的意义，又表达了求比例尺的方法。认识线段比例尺。线段比例尺是比例尺的另一种表示形式。教学线段比例尺有两点作用，一是进一步体会比例尺的意义，二是能方便地解决求图上距离或实际距离的问题。教材通过解释比例尺 11000 的具体含义引出线段比例尺，突出线段比例尺的特点，能直观地表示图上 1 厘米相当于实际若干米（千米） 。线段比例尺与数字比例尺的意义是一致的，可以互相转化。如 P49“练一练”第 1 题，左图的比例尺是 12200000 表示图上 1 厘米相当于实际距离2200000 厘米（即 22 千米） ，相应的线段比例尺也是图上 1 厘米表示实际 22 千米。右图的线段比例尺是图上 1 厘米相当于实际 22 米（即 2200 厘米） ，相应的数字比例尺就是 12200。6利用比例尺，求实际距离或图上距离。利用已知的比例尺，可以求实际距离或者求图上距离。例 7 是求实际距离的问题，求图上距离的问题安排在练习里。例 7 鼓励解决问题的方法多样化，“猴”联系数字比例尺的意义解题， “兔”利用线段比例尺解题。另外，还教学列比例解决问题。7安排实践活动，进一步理解图形放大、缩小的概念。实践活动面积的变化探索图形放大，面积变化与边长变化的联系。第一项活动是测量长方形放大后与放大前的长、宽，按图形放大的概念分别写出长的比和宽的比，估计放大后长方形面积与放大前的比是几比几，通过计算检验估计，初步体验图形放大时边长变化的比与面积变化的比是不同的。第二项活动测量正方形、三角形、圆的有关长度并计算面积，把数据填入表格，发现面积变化与长度变化的关系。第三项活动应用发现的变化关系在校园平面图里提出问题、解决问题。各项活动的内容多、容量大，要仔细看书，明白每项活动的任务与要求。发现规律需要过程，三项活动体现出“初步感知研究发现理解应用”的过程，学生不仅获得知识，也发展了数学思维。通过实践活动，对图形按一定的比放大或缩小能有更清楚的认识，进一步明白这里的比是相应边的长度比，不是图形的面积比。第四单元 确定位置一、教学内容学生认识了生活中的八个方向，能够用量角器量角与画角，还掌握了比例尺的知识。本单元综合应用已有的经验，用方向和距离比较准确地表示物体所在的位置。编排 3 道例题和一个练习，把教学内容分成四段。例 1，理解新的方向词，用方向和距离讲述物体的位置；例 2，根据物体所在的方向和距离，在平面图上指出它的位置；例 3，用方向和距离描述行走的路线；实践活动实际测量二、教材编写特点和教学建议1知道了物体所在的方向和距离，就能确定位置。生活中用方向表示物体的位置不大精确，因为东北、东南、西北、西南的范围比较宽，而且仅有方向，没有距离。用方向和距离比较准确地表示物体的位置，涉及了方位、角度、实际距离三个具体内容。引出新的方向词。本单元先后教学四个方向词，它们是北偏东、北偏西、南偏东、南偏西，这些词是人们约定的，不能随意创造或变化。例 1 联系原有经验，航海情境图上灯塔 1 在轮船的东北方向，灯塔 2 在轮船的西北方向。教材指出，东北方向叫做北偏东，西北方向叫做北偏西，引出了两个新方向词。在原有方向知识基础上认识新方向词，有助于理解词的具体含义。北偏东即正北往东偏些，北偏西即正北往西偏些。理解了北偏东、北偏西，再认识南偏东、南偏西就容易了。用角度准确表示方向。北偏东仍然是较宽的范围，用来表示方向还不够精确。教材指出“从航海图上可以看到，灯塔 1 在轮船的北偏东 30方向。 ”这里的北偏东 30方向表示了轮船为端点的一条射线，灯塔 1 是这条射线上的一个点。因此，方向词的后面添上角的度数，才能准确描述物体所在的方向。教学这个知识，不仅让学生学会如何表示方向，还要体会这样表示的好处。用距离准确表示位置。北偏东 30讲了方向，在这个方向上，哪里是灯塔 1？于是，量出灯塔 1 到轮船的图上距离，根据比例尺，算出实际距离。“轮船北偏东 30方向 6 千米处”准确地描述了灯塔 1 的位置。例 1 有序地安排三个知识点的教学，让学生逐步体会方向和距离能够确定位置。2在平面图上指出物体的位置。例 2 根据物体所在的方向与距离，在平面图上标出它的位置。这道例题里没有新的知识，只是理解“北偏东 40方向 2 千米处”的基础上画图。画图通常分两步，先画出北偏东 40方向，再在这个方向上画出相应的点。教材让学生先画图，再交流画的方法与体会。用量角器画射线。 “北偏东 40”是以灯塔为端点的一条射线的方向，在图上表示清凉岛的位置，应该画出这条射线。画射线可以使用量角器，把表示灯塔的点作顶点，正北方向为角的一条边，偏东 40角的另一条边就是北偏东 40方向。算出图上距离，在射线上描点。2 千米是清凉岛到灯塔的实际距离，在平面图上表示清凉岛的位置，需要这两点间的图上距离。平面图绘出的是线段比例尺， “鸟”选用了比较方便的算法求图上距离。算出图上距离 4 厘米，就能用直尺在射线上找到相应的点表示清凉岛。3用方向和距离描述行走的路线。例 3 说说李伟从家到学校的路线，在现实的情境里应用方向距离确定位置的知识。李伟家到学校的路线是三条线段组成的折线，描述行走路线要依次逐段地说，每一段都应说出行走的方向与路程。 “兔”和“鸟”描述的共同点是都清楚讲述了方向与路程，不同点在用的方向词上。两种讲述都正确，要提倡像“鸟”那样说，通过具体应用巩固确定位置的知识。示意图上有两个 60角，其中一个用于描述上学路线，另一个描述放学路线。4测定地面上相隔较远的两点间的距离。受测量工具的限制，地面上相隔较远的两点间的距离，往往不能一次就直接量得。这就需要先通过两点测定一条直线，把两点间的距离分成几段，逐段测量并相加。实践活动实际测量教学这种方法。认识工具。测量较短的长度，有各种尺供选用。平整土地、兴修水利、架桥铺路都需要测量较长的距离，仅用尺不能直接度量，还需其他工具，如标杆、测绳等。测定直线。使用标杆在两点之间测定直线，是这次实践活动的主要内容。教材通过图画表达在 A、B 两点间测定直线的方法，先在 A 点和 B 点各竖一根标杆，然后在两点间的 C 点和 D 点竖标杆。要使所有标杆都在同一条直线上，一名男孩观察，女孩在调整。这样就把 A、B 两点间的距离分成三段测量，各段长度的总和就是 A、B 两点间的距离。看懂图示的方法以后，在操场上选择相距较远的两点，实践这种方法。步测。没有测量工具或者测量要求不高的时候，可以步测。步测需要知道一步的长度，教材指导获得步长的方法，设计了求步长的活动。学生按教材的设计，就能算出平均步长。目测。如果对测量结果的要求不高，还可以目测。教材讲了什么是目测，介绍了练习目测的方法。目测技术要经过大量练习才会逐渐掌握，小学生只能知道目测，进行的目测是很不精确的。第五单元 正比例和反比例一、教学内容本单元在常见数量关系的基础上编排，教学正比例关系和反比例关系。与过去的大纲教材相比，本单元加强对正比例和反比例的理解，重视对正比例关系图像的认识与简单应用，不利用正比例、反比例解答应用题。全单元编排 3 道例题、一个练习，教学内容分成两段。例 1、例 2，正比例的意义、正比例的图像；例 3，反比例的意义。二、教材编写特点和教学建议1细致安排学生的首次感知。正比例概念和反比例概念都要在充分的感知活动中形成，例 1 和例 3 分别是学生首次感知正比例关系与反比例关系，教材作了很细致的安排。例 1 把感知过程设计成四步。写比、求比值、解释比值。例 1 呈现的表格里是一辆汽车行驶的时间和路程的数据，让学生从中选择几组相对应的路程和时间，分别写出比并求出比值，发现所有比的比值都是 80，体会这个比值是汽车行驶的速度，这辆汽车的行驶速度始终不变。用数量关系式表示比值一定。写出的各个比的数量关系相同，可以用式路程时间子“ 速度（一定） ”表示它们的共同特征。学生对“路程比时间等于速度”很熟悉，而“速度（一定） ”是例 1 数量关系的特点，首次感知正比例关系的要点就在这里。体会相关联的量。正比例是两个相关联量的关系，教材指出路程和时间是两种相关联的量。说它们“相关联” ，是因为时间变化，路程也随着变化。揭示正比例意义。在前三步感知活动的基础上，告诉学生：当路程和相应的时间的比值总是一定时，就说行驶的路程和时间成正比例，行驶的路程和时间叫做成正比例的量。例 3 首次感知反比例关系，也分四步进行。依次是：观察表格里的数据，笔记本的单价变化，购买的数量也变化，但总价始终不变；用数量关系式表示积一定；理解相关联的量；揭示反比例意义。2变换情境，让学生反复感知。仅有例题的首次感知还不能形成正比例、反比例的概念，需要反复感知，积累充分的感性认识。P62“试一试” 、练习十三第 1 题再次感知正比例关系，P65“试一试” 、练习十三第 6 题再次感知反比例关系。选择与例题不同的数量。P62“试一试”里购买铅笔的数量与总价是相关联的量，它们的比值（单价）保持不变。练习十三第 1 题里碾米机的工作时间与碾米数量是相关联的量，它们的比值（工作效率）保持不变。学生在感知正比例关系的同时，体会这种关系是生活中常见的。提出问题，引导有序地思考。 “试一试”和练习题分别设计四个和三个连续的问题，引导学生有条理地思考，独立、主动经历感知过程。重温发现正比例关系的方法。几个连续问题里的学习活动依次是：找到相关联的两种量写出几组对应数量的比并求比值比较比值的大小，解释比值的意义用数量关系式表达比值一定作出成正比例的结论。这些活动与例题保持一致，重温了认识正比例关系的过程，为判断两种量成不成正比例打下了基础。3建立正比例、反比例的概念。本单元教学要形成正比例和反比例的概念。概念是一类现象共同的本质特征的反映，形成概念要对感性认识进行抽象与概括。提取共同特征。各个成正比例的实例中都有两个相关联的量，两种量相对应的数的比值总是一定的。各个成反比例的实例里也有两种相关联的量，它们相对应的数的积是一定的。这些分别是正比例、反比例的本质特征，建立概念，要把这些共同特征提取出来。用字母表示关系与特征。用字母 x 和 y 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值或者表示它们的积，用字母组成的式子表示正比例和反比例关系，是认识的一次抽象，概念在抽象中形成。4应用概念，判断比例关系。形成概念是为了更好地认识和把握客观世界，在现实生活中应用概念识别、判断和推理。正比例和反比例是常见的数量关系，判断比例关系还能初步体验函数思想，发展数学思考。判断具体问题里的正比例、反比例。第 63 页“练一练” 、第 65 页“练一练”分别判断两种量成不成正比例或反比例，并说出理由。要根据正、反比例的意义，利用表