矩阵的广义迹

编号： 本科学生毕业设计（论文）题 目：_ 系部名称：_ 专业名称：_ 年 级：_ 学生姓名：_ 学 号：_ 指导教师：_ 职称/学历：_ 评价方式及比例指导教师评价（60）评阅人评价（20）答辩小组评价（20）最终成绩评定等级成 绩成绩评定折算后成绩评定等级标准：“优” （90 分以上）； “良”（8089）； “中”（7079）；“及格”（6069）； “不及格”（60 以下）。年 月 日数 学 系 制四川民族学院本科学生毕业设计（论文）承 诺 书本人承诺：在即将开始的毕业论文（设计）过程中，严格遵守学术道德规范和学校纪律，在学院和指导教师的安排与指导下，独立完成毕业论文（设计）工作，不弄虚作假，不请人代做毕业论文（设计）或抄袭别人的成果。按照“ 四川民族学院毕业论文（ 设计）规定” 的要求，完成毕业论文（设计）的撰写、答辩、装订整理等工作。学生签名：年 月 日导师签名：年 月 日摘要I摘 要本文首先讨论了 矩阵迹的若干重要性质，包括：可加性、齐次性、转置n不变性、交换不变性等，并且证明了矩阵迹的唯一性。然后，利用分块矩阵的思想及辗转相除法（带余除法） ，引入了一般 矩阵的广义迹的概念，它是方阵nm迹的一个自然推广，研究了这种广义迹的一系列重要性质。最后，给出了具体实例说明了一般矩阵广义迹的概念与计算方法，并对各条性质给予了验证。关键词: 矩阵；广义迹；分块矩阵；带余除法ABSTRACTIIABSTRACTIn this paper, a series of important properties of the usual trace of matrices nare given, including: additivity, homogeneousness, transpose-invariance, commut- ative invariance, and the uniqueness of the usual trace is also proved. Next, by using block-decomposition of an matrix and the division algorithm, the concept of nmgeneralized trace of a matrix is introducedSome important properties of this generalized trace are given. Finally, some examples are given in order to illustrate the concept, computation and properties of the generalized trace.Key words: matrix; generalized trace; block-matrix; division algorithm目录III目 录第 1 章 引言 1第 2 章 预备知识 22.1 矩阵的迹及其性质 .22.2 广义矩阵的分块 62.2.1 矩阵分块的原则 62.2.2 分块矩阵的运算 73.1 矩阵广义迹的定义 93.2 矩阵的广义迹的性质 .103.3 矩阵的广义迹的求解 .14参考文献 17附录 18致 谢 19第 1 章 引言1第 1 章 引言矩阵迹的概念是一个古老而基础的概念，它是 阶矩阵的一个重要的数量特n征。在普通高校的高等代数教科书中，只是给出了一个 行 列的矩阵算子迹（方阵对角线元素之和 ，其中 , 为方阵 对角线上的niaA1)(tr )(FMAniaA元素）的定义及其某些重要的性质，参见文献1-3，文献10,11,13。文献4 得到了关于实矩阵迹不等式的几个充要条件，并把所得结果推广到了复矩阵情形。文献5-7 中，研究了 Hilbert 空间上的算子迹，给出了算子迹的一系列重要性质。特别地，文献5 给出了迹类算子的若干不等式，并证明了 Hilbert 空间中的 Bellman不等式 对 及任二正的迹类算子 与 成立。同时还证明kkAB)(tr)tr(n2AB了当 时,对任一迹类算子 ,不等式 也成立。文献6将n2 kk)(tr)tr(Jan R. Magnus 关于矩阵迹的一个命题推广到 Hilbert 空间上算子迹的相应命题，由此得到一个证明算子迹的 Hlder 不等式的方法，同时得到关于算子迹的 Hlder不等式的几个等价命题，并最后给出了算子迹的 Minkowski 不等式的一个证明。文献8,9中，定义了在 C*-代数 上的矩阵迹是一个满足以下条件的正线性)(AMn映射 ：AMn)(:, ,*u)(),(Uunn22)(A)0给出了矩阵算子迹的一些基本性质并证明了：如果 是可交换的 C*-代数，则映射 是 上的矩阵迹当且仅当 中存在一个元素 （ ）使得)(n A20,)(tr)()(Manij其中 。本文的目的是将矩阵算子迹的概念推广到一般地 矩阵niaA1)(tr nm上，给出一般矩阵广义算子迹的概念，并证明矩阵广义迹的一系列重要性质。四川民族学院本科学生毕业设计（论文）2第 2 章 预备知识2.1 矩阵的迹及其性质在本文中，假定 为数域 上全体 矩阵之集（特别的 为)(FMnm nm)(FMn数域 上全体 阶矩阵之集） ，则关于矩阵的运算， 为数域 上向量空F )(F间， 表示所有自然数之集， 表示矩阵 的转置矩阵。N)(Anm A定义2.1.1 设 ，则称 的所有主对角线元素之和为1)Faij的迹，记为 ，即 。AAtrni1t矩阵迹有下列基本性质（其中 , 为 阶矩阵）：ABn定理2.1.1 设 , 则)(,FMBn(1) ,其中 为 的特征值;iniaA11tri(2) ;tr)(3) ， ;kttrN(4) ;A(5) ; )tr()(trB(6) 若 和 为两个相似的方阵，则 ，即相似矩阵有相同的迹。BAtr证明 (1) 设,nnnaa 212112则按照文献2中的定理知：A的特征方程是 。在0AI第 2 章 预备知识3nnnn aaaAI 111101的展开式中，有一项是主对角线上元素的连乘积 。展2开式中其余各项,至多包含 个主对角线上的元素，它对 的次数最多是 。2 2因此，特征多项式中含 的 次与 次的项只能在主对角线上元素的连乘积中n1出现，它们是 。在特征多项式中令 ，即121naaAE 0得常数项： 。因此，如果只写出特征多项式得前两项与常数项,就n)(有。AaaAEnnn 1121 由根与系数的关系可知， 的全体特征值的和 。)tr(11aiii (2) 设，nnnbbB 212112假定 ，则)(),(, ijnmcCFMBACBAaanininiiii tr)tr)(tr 1111 (3) 设，nnnaaA 212112则有 。kkaAniinii tr)(tr11(4) 设四川民族学院本科学生毕业设计（论文）4,nnnaaA 212112则 nnnaaA 212121因此有 。aAniitrtr1(5) 设 ，)(,FMDCBn; ,nnnaaA 212112nnnbbB 212112假定 ，则)(),(, ijijdDCBC,nikini aA11trnikini b11)(t由求和的交换性即可证得： )(tr)(trBA(6) 由于相似矩阵有相同的特征多项式 ，特征多项式相同则特征值相同，2则矩阵的各个多项式的和（重根按重数记）相同。因此根据性质1)，矩阵的迹等于它的各个特征值的和，则这两个矩阵的迹相同（即 ） 。证毕。Btr下面的定理将以上的性质(5)推广到非方阵的情况。定理2.1.2 设 和 分别为 ， 矩阵，则 。ABmn)(tr)(trA证明 令 为 矩阵， 为 矩阵，设mnija)( nmijbB)(第 2 章 预备知识5，nijcABC)(mijdBAD)(其中， .),21,(1jibacmkiij ),21,(1jiabnkiij 所以 nimkinimkini babacAB111)tr( nikinkiikminkii bd1111)tr(从而 。ttBA通过以上的讨论，我们可知若定义数域F上 阶矩阵集合到F 的一个迹映射 ，nf则具有以上的诸多性质。定理2.1.3 那么若定义 是一个映射，而且满足下列条件：Mfn)(:(1) 对任意的 阶矩阵 , , ；nAB)(BfAf(2) 对任意的 阶矩阵 ,和F中数 , ；k)(3) 对任意的 阶矩阵 , , ；ff(4) ；nIf)(则 对一切 上的 阶矩阵 成立。trAnA证明 设 为 阶基础矩阵，因为 ，所以由条件1)和条件4)知：ijEnIf)(。nEfEffIf nn )()() 2121 又由条件3) 知：，)()( jijjii ffff所以 。)(iEf另一方面。若 ， ，则 ，jijiijE1 0)()()( 11fEfff jijiij得 ,与条件4)矛盾。0)(nIf若 。则由上知ijaA四川民族学院本科学生毕业设计（论文）6。)(tr)()() 1, AaEfafAf niiijnjinjiij 2.2 广义矩阵的分块用（矩阵行与行之间的）横线及（列与列之间的）竖线将一个矩阵分成若干块，这样得到的矩阵就称为分块矩阵 。一个矩阵可以有各种各样的分块方法，3究竟怎样分比较好，要根据具体情况及具体需要而定。2.2.1 矩阵分块的原则 必须使分块后的矩阵的运算可行。 必须使分块后的矩阵的运算较不分块简便。例2.2.1 考虑矩阵10005420100 A根据它自身的特点，我们可以将 如虚线所示的那样分块，若记, , ，11A5423A则。3210A矩阵 除了主对角线上的块外，其余各块都是零矩阵，这种分块成对角形状的矩A阵，称为分块对角阵。设第 2 章 预备知识756543521 44 36534321 221651431 bbbbbbB 为了进行运算 ，我们对 的分块必须与 的分块完全一致，即如图中虚线BAA所示。使 与 的各对应子块都是同型的。设 ，为使 的运算可行， 的分块必须参照 的分块来进行，即46ijcCCA的列分与 的行分一致，而 的列分，则可视 的具体情况来定，不受 的分C法的影响。如下所示：。64632615554432413324232111ccccC 2.2.2 分块矩阵的运算视分块矩阵中的每一子块为一个元素，则分块矩阵的运算法则与普通矩阵的运算法则完全相同。分块矩阵的转置：。 rssrrsrsAA 12211211例2.2.2 设四川民族学院本科学生毕业设计（论文）8, ，34201201 A 530103 B将 ， 适当分块,并求 。B解 根据 , 的特点及乘法运算的要求，可将 , 如虚线所示分块。AAB记, ，32AOI312OIB其中 ， ， ，则12A31AB31232BII，3213OI123BAI0,427143。13BA362所以。024367第 3 章 广义矩阵的迹9第3章 广义矩阵的迹3.1 矩阵广义迹的定义引理3.1.1（辗转相除法，欧几里得Euclid除法 ） 对 ，其中 ，1Nnm,n反复作带余除法，有, (1),1rmqn0, (2)21r, (3),312, (n),12nnrqr10nr (n+1)由于每进行一次带余除法，余数至少减少1，而 是有限的，所以至多进行 次mm带余除法，就可以得到一个余数为零的等式。定义3.1.1 设 ， ， ，则由引理3.1.1知，对Nnm)(,FMAnnijaA)(反复作带余除法可以得到一个余数为零的等式，定义矩阵 的迹等于矩阵nm, A的所有分块方阵的迹的和。A由(1)式可把矩阵 分成 块，1q; nmqmqmqmm nmqqmqm aaaa ,1,1)(,1, ,2,2,2)(,2,2,2 111111 1 记。在矩阵 的分块矩阵 中，最多只有111qAA 111,qA矩阵 不是方阵。若 为方阵，则矩阵 的迹可以求得；若 不是方阵，q A则由2) 式可把矩阵 分成 块，记为1q2；1121 2121 qq四川民族学院本科学生毕业设计（论文）10在矩阵 的分块矩阵1qA 11121 22, qqqq AA中，最多只有矩阵 不是方阵。若 为方阵，则矩阵 的迹可以求得；若不12q12是，则由3) 式可把矩阵 分成 块。如此继续，最终，可把矩阵 分成123 1nqA块。根据引理3.1.1可知广义矩阵 一定可以被分成 个方阵(1nqAk)，其中若方阵只包含一个数字它的迹即为那个数。,12nqk ,0因此 (3.1) 1211 trtrtrt nnqiiqiiqi AA3.2 矩阵的广义迹的性质对广义矩阵先研究比较特殊的，即矩阵的行数与列数满足 的情形，Nlmn,在此条件下根据(3.1) 式有 。)(trtr11(,1 mi iliiili aaA定理3.2.1 , 。)(,FMBAnmBtr)t证明 设， ，mnmnaaA 212112 mnmnbbB 212112则有矩阵 。)(FMCnnijijnijbc)( mnmmnbaba 21 22 1121为矩阵 和矩阵 的和。因此可得 ，又由于 ，则ABCBAtr)tr(Nl,第 3 章 广义矩阵的迹11Ctr mi imliii cc1 )1(,( i imliiliiiii baba1 )1(,)1(, mi iliiimi iliii 1 )1(,1 )1(,( 。BAtr由此我们得出了与方阵算子迹的基本性质(2)相同，即 。BAtr)tr(定理3.2.2 , , 。)(FMnmkAk)tr(证明 依据矩阵 与数 的数量乘积的定义 ：用数 乘矩阵就是把ijaA2k矩阵的每个元素都乘上 。因此可得 .tr )()tr( 1(,1, )(,Akaakkk imliimii iliimii 得证。定理3.2.3 , 。)(FMnmtr证明 依据矩阵 的转置的定义 ：ija2设,mnmnaaA 212112所谓矩阵 的转置就是指矩阵A。 mnnaaA 212121四川民族学院本科学生毕业设计（论文）12根据我们对矩阵分块的方法，也可以把矩阵 分成 个方阵，同时可以得到AlAaaAmi imliii tr)(tr1 1(, 得证。定理3.2.4 , 。)(,FMBnm)tr(trB证明 令 ， 为 矩阵，则 为 矩阵，ijaA)(mnijb nmjib)(设， ,nijcC)( mijdAD)(其中, 。)2,1(1jibacmkjkiij ),21,(1jiabnkij 所以，nimkiknimkikni babacBA111)tr(，nikikkiiikimid1t从而 。)(r)(r定理3.2.5 , 。)(,FMBAnmBAtr)tr证明 给定矩阵 和矩阵 ，由矩阵加法的定义 可以得知，ijamnijb2nijijmnijcC)()( mnmmnbaba 21 22 1121为矩阵 和矩阵 的和。对矩阵 作与定义3.1.1相同的分块。又由于矩阵 和矩ABCA阵 有相同的分块，则矩阵 ，矩阵 和矩阵 也有相同的分块，且对应分块方AB阵上的对角线元素的位置没有改变，因此可得 。又有CBAtr)tr(第 3 章 广义矩阵的迹13)trtr( )trt()tt ttrtrtr11 212111 1211 nnnnnnqiiqii qiiiiiii qiiqiiqi BAACC )trtrtr( ttt 1211 1211 nnnnqiiqiiqi iiiii 。BA 由此得证 。Btr)tr(定理3.2.6 , , 。)(FMnmkAktr)tr(证明 由定义知 .tr trtr)tttr)tr( 1211 1211 1AkAkkknnnnqiiqiiqi iqiiii定理3.2.7 , 。)(FMnmtr证明 依据矩阵 的转置的定义 ：ija2设,mnmnaaA 212112则四川民族学院本科学生毕业设计（论文）14。 mnnmaaA 212121根据对矩阵分块的方法，可以把矩阵 分成 个( , )k121nqq ,0方阵，同时可以得到 AAnnnnqiiqiiqi iqiiiitr trtrtttrtr 1211 1211 定理3.2.8 ， 。)(,FMBnmtr)tr()B证明 令 ， 为 矩阵，则 为 矩阵，ija)(mnijb nmjibB)(设， ，nijcAC)( mijdAD)(其中， 。),21,(1jibacmkjkiij ),21,(1jiabnkij 所以 ，nimkiknimkiknicBA111)tr(，nikikkiiikimi bababd1t从而 。)(r)(r3.3 矩阵的广义迹的求解例3.3.1 考虑例2.2.2所给的矩阵 ,AB第 3 章 广义矩阵的迹15, ；34201A34012B(1) 求矩阵 , 的广义迹； (2) 验证各个定理。B解 (1) 根据 , 的特点及矩阵广义迹的求法，可得： 32-tr0tr5 t31tr A60tr0tr6 t1tr B(2) 验证定理 3.2.52034tr 0132012trtrBABAtr 920tr34tr 验证定理3.2.6 ,有Fk四川民族学院本科学生毕业设计（论文）16AkkkkkAtr3 2tr05ttr 203tr同理可证对矩阵 有 。Btr验证定理3.2.7 Atr3 2tr0520tr31t12tr同理可证对矩阵 有 。Bt验证定理3.2.8, 1024367tr 012301trtr A, 1523tr 03123trtr AB则有 。trt参考文献17参考文献1 姚幕生高等代数M上海: 复旦大学出版社,19802 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组高等代数M北京: 高等教育出版社,19883 凌明娟,方能文等高等数学( 二)学习辅导M 北京 : 高等教育出版社,19984 王仙桃,旷良友关于矩阵迹不等式的几个充要条件J株洲工学院学报(自然科学版), 2005, 19(1): 8-10.5 曹怀信Hilbert空间中的 Bellman问题J 陕西师大学报 (自然科学版), 1993, 21(1): 6-9 6 周其生关于算子迹的Hlder不等式的等价命题J安庆师范学院学报(自然科学版), 2004, 10(4): 68-70.7 CHANG D W. A matrix trace inequality for product