离合器片设计

用数学建模方法进行离合器片缠绕工艺的设计 吉林大学 方沛辰这是生产中的一个实际问题，生产缠绕式离合器片的缠绕工序简要描述如下：一个在凸轮控制下作水平往复运动的喷头不断喷出涂了生橡胶的玻璃纤维丝，铺放在匀速转动的一个圆环胎盘中。当玻璃纤维丝达到总长度时停止，以后在高温高压下固化成型，即得到一个缠绕式离合器片。 除了电机、减速器等传动机构、进料机构、固化成形机构和机架等可常规设计实现外，这个工艺设计的首要问题是考虑 曲线铺放在胎具中的形状 ，进而形成对凸轮的设计，而这也是工艺设计中的核心问题。从使用角度看，离合器片应是很平的环形片状，显然密度要均匀，即要求丝铺设均匀（一种描述就是单位面积重量相同），又满足一定的力学条件（例如剪应力、疲劳强度等等），这就需要玻璃纤维丝在环内不断交叉，形成网状。从简化凸轮设计的角度看，整条曲线应分为若干形状完全相同的段，即曲线应有周期，并且在每个周期中曲线应与内、外圆至少各相交一次。习惯上，称一个圆周中的周期个数为花瓣数，经验上看花瓣数至少为 2。我们用数学语言来明确描述这个问题：即在一个平面环形（内半径为 1，外半径为 2）区域中自环内某点开始出发作一条曲线，要求曲线满足条件： (1)连续，总长度为 L=600左右； (2)设曲线从内圆上某点开始，波动式地在环形内缠绕，具有周期性，花瓣数至少为 2； (3)曲线间必须是相交的，且多次相交，还不许重复； (4)在每个周期内必须和内圆、外圆至少各相交一次； (5)要求圆环内任何位置，单位面积中所含各条曲线的总长度尽量相同，即分布均匀； (6)尽量简单，便于实现。 这样我们就把设计离合器片加工工艺的问题，转化为一个满足以上六条要求的曲线的设计问题。以上六条可以看做继续开展的模型假设。分析： 以上六条除第五条外，都容易实现，可以看做约束条件。而问题的中心是设计曲线形状使生产出的离合器片实现单位面积重量相同，即密度在各个方向上均匀。这是一个二维问题，由于是在环形区域里，故采用极坐标较方便。两个方向分别为径向和圆周方向，显然只要曲线在这两个方向上都均匀就实现了单位面积重量相同。下面分别从这两个方向上着手来 解决 问题。（一）径向方向的均匀问题 在曲线上任何一点（ r， ）处考察角度 d内的一段曲线，此时径向均匀问题就是单位面积内的曲线长度相同而与 r无关，亦即 d中的曲线长度 ds与面积 1 r之比为常数 c（ c 1）即r d图 1.曲线上任何一点的弧长增量分析下面设计曲线的准确形状 。 （ 1）如果从始至终地采用一条对数螺线，曲线始终不相交，与条件 3矛盾，不符合离合器片的工艺要求。（ 2）只能分段使用对数螺线，相邻两段对数螺线应相交在与记此微分方程的通解为 : 这是对数螺线，其中 a， b为待定常数。 内、外圆交点处，交点处应出现尖角，但是在实际生产中由于玻璃纤维丝有一定的弹性，交点处必然会出现光滑连接，从而引起误差，只能近似地实现径向均匀。我们在曲线设计时采用分段对数螺线，而不用过多考虑尖角，至于剩下的问题通过凸轮形状设计去处理。再讨论分段的方法 . 由条件 1与条件 5，取 构成曲线的一个周期，其中 k为花瓣数， k=1， 2， 。那么曲线的周期为 T/k， 。 考虑到采用分段对数螺线的方法必然有误差的问题，而 k越小周期越长，曲线越平坦，在与内、外圆相交处尖点变化趋势就越小从而误差越小。联系到花瓣数要求至少为 2，我们取 k=2的曲线为设计曲线。再注意到为了避免曲线重复， T/k不能选定为 的整数倍，因此可以取 （ 以后定）作为周期。 （ 3） a、 b的确定。因曲线从（ 1， 0）点出发开始，故得 b=1； a的选择使曲线在半周期 时达到最大值 2，即曲线过（ 2， ）。 那么每个周期曲线形状为 就这样，我们不断地引入参数又不断地确定参数从而实现设计。确定参数是要有一定道理的， a和 b是解方程，而 k和 T是设计的，现在还不确定，尽管我们可以随便给它一个值，但还是保留这个机会，可能用确定它来解决某个矛盾。这就是设计的思想。（二）圆周方向均匀的问题。 考虑圆周方向均匀的问题，等价为在 1与 2之间任取一 r为半径的圆与所有曲线的交点是否均布在圆周上。由对称性，可只考虑所有的曲线的上升段。进而只要设计好曲线的总长度结束时，曲线正好回到出发点即可。设总长度对应着 2n个周期，开始曲线从（ 1， 0）点出发， 1个周期后，曲线从（ 1， -2 ）开始， 2个周期后曲线从（ 1， 2-4 ）开始， ， 2n个周期后，曲线再回到（ 1， 0）点，按前面的规律即是（ 1， 2n -4n ）。只要曲线的周期固定在 -2 上，那么每两条相邻的同向曲线间隔相同，这样就满足了圆周方向的均匀性。下面我们来求 n与 。记曲线每个周期长度为 2l，即上升段长度为 l，从而有（ 1） （ 2）（ 3） 利用这三式可以联立解出整数解 n与 。 由于 值很小且它的变化对 l影响很小，因此方法可以是先令 =0利用（ 3） 求出 l，再用（ 1）求出整数 n， 再用（ 2）求 ，然后迭代几次最终确定 n与 ， 实际迭代只需两次。一种简单求解的办法就是迭代法。再迭代下去 n=61已不变，说明这已是最后解，此时总长为 596.1。 满意度函数的处理近几年的全国大学生数学建模竞赛中，不断遇到有满意度函数的问题。这是因为优化问题需要目标函数，许多问题是服务性质，追求高质量的服务就要建立一个恰当的满意度函数，然后对这个函数求最大值。满意度应该规范化成 0到 1之间的一个数。没有接受服务取 0，接受到最好的服务取 1，函数应该单调，这些是最起码的要求。找一个方案把问题问题解决 -雪中送炭；在各种方案中选最好的 -锦上添花。可能的几种类型方案（另外还可能有跳跃）1.高考被录取的志愿位置 -录取是重要的，第一与第二差不多；2.体育比赛的名次 -两块银牌能不能相当一金一铜？3.乘公交车的位置2001年 B题 公交车调度公共交通是城市交通的重要组成部分，作好公交车的调度对于完善城市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益，都具有重要意义。下面考虑一条公交线路上公交车的调度问题，其数据来自我国一座特大城市某条公交线路的客流调查和运营资料。该条公交线路上行方向共 14站，下行方向共 13站，第 3-4页给出的是典型的一个工作日两个运行方向各站上下车的乘客数量统计。公交公司配给该线路同一型号的大客车，每辆标准载客 100 人，据统计客车在该线路上运行的平均速度为 20公里 /小时。运营调度要求，乘客候车时间一般不要超过 10分钟，早高峰时一般不要超过 5分钟，车辆满载率不应超过 120%，一般也不要低于 50%。试根据这些资料和要求，为该线路设计一个便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少辆车；这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益；等等。如何将这个调度问题抽象成一个明确、完整的数学模型，指出求解模型的方法；根据实际问题的要求，如果要设计更好的调度方案，应如何采集运营数据。某路公交汽车各时组每站上下车人数统计表 上行 方向： A13开往 A0站名A13 A12 A11 A10 A9 A8 A7 A6 A5 A4 A3 A2 A1 A0站间距 (公里) 1.6 0.5 1 0.73 2.04 1.26 2.29 1 1.2 0.4 1 1.03 0.535:00-6:00 上 371 60 52 43 76 90 48 83 85 26 45 45 11 0下 0 8 9 13 20 48 45 81 32 18 24 25 85 576:00-7:00 上 1990 376 333 256 589 594 315 622 510 176 308 307 68 0下 0 99 10