第一讲：函数、极限、连续(58)（24题）

第一讲 函数、极限、连续1 函 数1 函数的定义因变量 自变量数集 D 叫作这个函数的定义域 , 函数值全体组成的数集称为函数的 值域 ,记作定的数值和它对应，则称 y是 x的 函数 , 设 x 和 y是两个变量 ,D 是一个给定的数集，如果对于每个数 ,变量 y 按照一定法则总有确 记作 例 1 已知 ，求 的定义域解 由 ，则由 ，得 x 满足解得定义域：2 函数的一些几何特性(1) 有界函数 : 如果存在 M 0 使得则称函数 f(x) 在 D上 有界 , 否则称函数 f(x) 在 D上 无界 (2) 单调函数 : 若对任意的 只要 ,有(或 ) 则称 f (x) 在 D 上 单调增加 (单调减少 )若对任意的 只要 ,有(或 ) 则称 f (x) 在 D 上 严格单调增加 (严格单调减少 )(3) 函数的奇偶性 :若对任一 总有设函数 f (x) 在区间 上有定义 ,则称 f (x) 在 上是 偶函数 (奇函数 )(4) 周期函数 : 设函数 f (x) 定义域为 D ,如果存在 则称 f (x) 为以 T为周期的 周期函数 , T 称为 f (x) 的 任意的 总有 ,并且常数 T 0 , 使对周期 ( 这里是指最小正周期 )例 2 下列函数是不是周期函数解 两个周期函数的和或乘积是不是周期函数，取决这两个周期函数的周期是否有公倍数（即两周期之比是否为有理数（ 1） 的周期 的周期是 为周期的周期函数的周期 ， 的周期（ 2）所以 g (x) 不是周期函数（ 3） 周期函数的定义域 D 应具有以下特性：若 , 所以 D 必定既无上界又无下界的定义域 0 , +) , 有下界所以 h(x) 不是周期函数 例 3 设 f (x) 与 g(x) 为奇函数或偶函数，试讨论复合函数 f (g(x) 的奇偶性 解 （ 1）如果 g(x) 为偶函数，即 （ 2）如果 g(x) 为奇函数，即 f (g(x) 恒为偶函数1）若 f (x) 为偶函数 f (g(x) 为偶函数 f (g(x) 为奇函数2）若 f (x) 为奇函数3反 函数、复合函数、初等函数、分段函数隐函数、变上限积分函数（ 1）反函数设函数 y=f (x) 的定义域为 D，值域为 W. 如果对于W 中任意的 y 值，都可以通过 y=f(x) 确定 D 中唯一的x 值与其对应 , 即把 y 看作自变量 , x 看作因变量而得到一个新的函数，我们把这个新的函数称为 y=f(x)的 反函数 ， 记作 习惯上常将 y=f(x) 的反函数记为 ( y = f(x) 与 的图象关于直线 y = x 对称 )定理 (反函数存在定理 ) 若 y=f (x) 在 D上严格单调 ,则在 f (D) 上 y=f(x) 存在严格单调 (具有相同单调性 )的反函数 （ 2）复合函数设函数 y=f (x) , uU ; u=g(x) , x X ,若 g(X)U , 则 称函数 是由函数 y = f (u) 和 u=g(x) 复合而成的 复合函数 ,变量 u 称为 中间变量 （ 3）初等函数1) 基本初等函数 : 常数、幂函数、对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数2） 初等函数： 基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算所得到的函数 .（ 4）分段函数在定义域的不同区域上用不同表达式表出的函数称为 分段函数 符号函数：（ 5）隐函数如果在区间 I 上存在函数 y = y(x) 满足方程则称 y=y(x) 为 在区间 I 上确定的 隐函数 例如：（ 6）变上限积分函数说明： 用极限、导数、无穷级数也可表示函数 例 4 设 ，求 f (g (x) , g( f (x) 解所以例 5 求函数 的反函数 解当 x 0 时， 反函数当 x N 时 , 有(1)(2) 当 x M 时 , 有当 x 0 , 满 足 的只有有限 项 (B) 对于任给的 0 , 总 有相 应 的 项 ,(C) 存在某个正数 , 除有限项外 , 都有(D) 存在某个正数 , 有无限多项满足解 选 ( D )2重要的关系与结论(1) 极限存在与有界性的关系函数极限 : 若 , 则存在 使 f(x) 在 上有界 ( 局部有界性 )数列极限 : 若 , 则 是有界数列( 整体有界性 )(2) 极限的几个等价关系(证明题、计算极限）1)（常被用来讨论分段函数在分段点处的极限）(3) 局部保号性(a) 若 当 时 , 有 （或 f(x) 0 , 当 时 , 有 f (x) g(x)说明 : 结论 (a) 、 (b) 反过来不成立 (4) 极限的四则运算法则如果 ， 则有1）2）3）例 7 已知 求 a , b .解 原式 解得 此时例 8 若 计算 解(5) 极限存在的判定准则数列极限：(a) 收敛准则：若 单调增有上界 存在 若 单调减有下界 存在 (b) 夹逼定理：如果 且 ，则函数极限：夹逼定理：如果 且则例 9 设 证明 :数列 有极限 , 并求解 从定义式可知 ，且设 ，则对 k = n+1由由归纳法可知数列 单调增有上界，所以收敛设 , 在递推