第一章函数、极限与连续

物电学院高数习题课 第一章 函数、极限 与连续 11第一章 函数、极限与连续第一章的知识内容就已让我们体会到了了数学的三个基本特征：抽象性、演绎性和应用性. 其基本概念抽象的高度已使我们感到了理解的难度；它论证方法上的演绎性使第一章构成了一个形式体系函数、极限与连续，其中的定义、定理环环相扣，并演绎出许多公式和结论；其中许多概念的抽象背景是我们看到其应用价值. 第一章这三部分知识内容的对掌握好大学数学有着不可低估的作用. 一、内容小结 本章的知识内容可分为三部分：(一) 函数这一部分所含的知识是培养和积累方法的起点，这些知识点在处理问题时常能够成为思路的诱发点，在某些综合型的习题中，也常成为解题成功的关键，所以一定要吃透本部分所包含的概念，例如：函数的定义、函数单调性、有界性、反函数、复合函数、初等函数等概念以及它们的性质，即尽量从背景、代数(数值)、几何、逆否命题、所涉及的典型题型等多角度地去理解它们. 不一一赘述，应根据自己掌握的情况，有针对性地强化. 只强调几个点：1. 函数在某区间有界的概念：(1)定义； (2)几何解释； (3) 既有上界又有下界； (4)无界的概念及其几何解释.2. 反函数的概念：除了对定义和其存在条件的理解，还要理解到反函数有两种记号：(1) 函数 与 互为反函数，它们的图象关于直线 对称；)(xfy)(1xf xy(2) 函数 与 互为反函数，它们的图象相同，且定义域与值域具有对偶性.y两种记号都有使用，遇到时，应注意其场合中采用的是哪种记号.3. 复合函数：除了对定义的理解外，要特别注意其关于分段函数复合运算的题型.4. 初等函数：分段函数未必不是初等函数.(二) 极限极限是研究函数最基本、最主要的方法，极限概念的本质是描述在自变量的某一变化过程中，函数的变化趋势. 在描述这种变化趋势时，常用的“无限” 、 “充分”和“足够”等词都表达了一种动态性质. 这里包含着极其深刻的辩证关系，如变量与常量，无限与有限，近似与精确、过程与结果等对立统一关系. 后面的微分、积分及级数概念的引进，都与极限概念有密切的关系，而且这些概念引进后，就会反过来用这些知识来充实求极限的方法.1. 定义及其等价说法(1) 再强调两点：(2) 共有七种不同极限过程的定义形式，必须理解每种的几何解释.(3) 其等价的说法 (X) 型定义 单侧(边)极限存在且相等 ()()lim0fxA 海涅归并原理(主要用于求数列极限时的转化).(0fxA常用的主要有是前三种.2. 基本性质(1) 唯一性； (2) 局部有界性(对数列就是有界性)； (3) 局部保号性(对数列就是从某项开始).3. 运算性质 注意可运算的条件、以及运算都是有限项才能进行.(1) 四则运算（ 数乘与乘方运算） ； (2) 复合运算.4. 无穷小与无穷大 均可视为特殊类型的极限.(1) 概念 都可以给出七种不同极限过程的定义形式；(2) 三个关系： 无穷小与极限： ；()lim()()lim0fxAfx其 中 无穷小与无穷大：互为倒置. 在极限运算中，无穷大不能直接进行运算，但其倒置为无穷小可 极限不存在与极限不等于 A 是否一回事. 极限是一个局部性的概念，仅与函数在点 附近的取值有关.0xli物电学院高数习题课 第一章 函数、极限 与连续 22以； 无穷大与无界：无穷大是无界函数，但无界函数未必是无穷大.(3) 运算性质其中“有界量无穷小量=无穷小量”可直接用于求极限；(4) 等价无穷小 概念与性质.， 例如，可有 ， 等.)(sinx(三) 连续1. 连续的定义及其等价定义 在 x 0 处连续 f 0)(lim0xffx0)(lim0xfx 两个存在且相等 三个存在且相等 “ ”型定义 函数 y = f (x) 在点 x0 左连续且右连续 ，其中 .f )(0x2. 运算性质 四则； 反函数； 复合函数最重要：连续函数运算于极限运算可交换顺序. 3. 连续函数的闭区间性质 注 闭区间上的连续函数的值域一定是闭区间.4. 间断的概念 二、题型分析(一) 极限题1. 证明题：(1) 求证具体函数以值 A 为极限 使用“ - (X)型定义”为简化证明要注意两点： 根据 的可任意小性对其进行合理限制，如 P13 例 3 就限定据 1，但注意数量指标的选取； 利用极限概念的局部性对自变量的取值范围进行合理的限制，如 P16 例 7；(2) 在极限存在的条件下，证明某结论成立如唯一性、保号性等定理；或证明另一极限存在，如P18 习题 1-2 题 3-5.2. 求具体函数的极限 所见过的方法： 恒等变形(通分、约分、倒置、有理化(用于含根式差的函数)； 连续性； 洛必达法则(第三章第二节)； 两个重要极限； 等价代换 ( : ； ；0x21()cosx()1x:,)注 要注意正确的使用等价无穷小替换，它仅适用于求乘积或商的极限，两个函数相减时不能滥用等价无穷小替换. 时多项式比多项式； x M0； 幂指函数； 主要是三个方法特别地： 若 ， ，则 (同样结论于连续性也成立)；0)(limAxuBxv)(li BvAulim第一类第二类li0fxy)(21cosx)()(0li 最值 Th -有界 Th介值 Th -零点 Th可去 ；000()()(fxffx跳跃 ；无穷 ；lim震荡 震荡发散.f闭区间上的连续函数必取到介于其最大值和最小之间的任意实数.基础方法-四类 特殊函数 用对数法转化为乘积；转化为指数函数和对数函数的复合函数 ；uvlne符合形式 时，利用重要极限 .11()x三个最重要方法tan,rsi,ln,2e()taril,1l,xa:物电学院高数习题课 第一章 函数、极限 与连续 33 若 , ，则 (P40 总习题 3.(12). : ； 讨论左右极限 用于分段函数和 时的指数函数和反正 、余切函数,如 P39 总习题 1.(6),2.(6).x一般地， 时，指数函数的极限 不存在，因为 ， . 特别()x地，不存在. 类似地，反正(余)切函数的极限 和 也不存在. 如 P39 总limxe()limarctn()x()liarcot()xx习题 2.(6),(7). 变量代换(要换极限过程)；用准则 2 (有递推公式的数列)； 1 1迫敛定理( 即准则 1用于含乘方或阶乘形式的函数). 1 23. 已知极限确定原式中的某些常数 常用的方法有： 利用多项式比的极限 存在的条件，如 P39 总习题 1.(8),(9)、4.；()limnxPQ 利用极限 存在的条件，如 P39 总习题 2.(2),(3)； 利用无穷小阶的概念，如，已知某函数是 时关于 x 的 k 阶无穷小，求函数中所含的未知常x数.（二）连续性 1.讨论函数的连续性 分段函数 带绝对值函数的连续性 转化为分段函数. 非初等函数函数的连续性例如，P39 习题 1-6 题 8.2. 间断点的判定 任何结论都必须根据定义给出； 注意结论的完整性.3. 利用函数的连续性求函数中的某些常数例如，P39 总习题 2.(7).(三) 关于无穷小阶的问题 按定义做，即通过它们比的极限值判定.1. 比较两个无穷小阶的高低； 2. 判定某函数是否为 时关于 x 的 k 阶无穷小.x(四) 证明题 应用闭区间上连续函数的四个性质，主要是介值定理和零点定理.1. 确定方程在给定区间上有无实根，或讨论连续函数在给定区间上零点的个数.2. 求证关于某介值的等式成立. 四、举例例 1 判断下列命题的正误：(1) 周期函数必有最小周期；(2) 若 与 互为反函数，则 ；()yfx()yg()fgx(3) 分段函数不是初等函数；(4) 若 ；数列 中仅有有限多项不满足 ，则数列 必以 a 为极限；0n|nanx(5) “若 ；总 ，使得 时，恒有 ，则数列 必以 a 为极限”是数,()1N2列 收敛于 a 的充分必要条件；nx(6) 任意两个同一过程下的无穷小量都可以比较其阶的高低；(7) 不存在最高阶的无穷小，也不存在最低阶的无穷小；(8) 两个无穷大的和仍是无穷大； (9) 函数 在一点 连续是否意味着 在点 的某个邻域中处处连续；()fx0()fx0(10) 设 在点 连续，则 在点 也一定连续.|()f解(1) 错. 例如狄利克雷函数，由于对任意的正有理数 ，都有 ，故它没有最小周T()(xD分段点处的连续性整个函数的连续性两侧表达式一致 讨论 ；)(?lim0xf两侧表达式不一致 讨论左右连续性.讨论除分段点外的各定义区间上的连续性；分段点处的连续性.有些难度的函数()lixcabebacx e)()(li()()li ()()x()()0lim物电学院高数习题课 第一章 函数、极限 与连续 44期；(2) 对. 且经常作为结论直接用于解决问题；(3) 错. 如绝对值函数；(4) 对. 与几何解释一致；(5) 对. 因为 也是可以任意小的正数. 甚至可以用任意的正数 M 替代 ；2(6) 错. 例如 ， 均为 时的无穷小，但 震荡发散，即这两个无x0穷小不能比较； (7) 对. 因为若 是无穷小，则 和 分别是比 高阶和低阶的无穷小；2|(8) 错. 但两个正无穷大或两个负无穷大的和仍是同类无穷大. 一正与一负之和则是不定式；(9) 错. 例如函数 ，就仅在 处连续，其余均为间断点()yxD0x(10) 对. 因为 . 0|()|fff例 2 证明 .2limx证 ，又 ，若要 ，只要 ，即要 ，取 ，则当 时必有 0 |xX， . 2limx例 3 设对任意 总有 ，且 ，则 （ ）.()()xfgxlim()li()0xglim()xf(A) 存在且等于零 (B) 存在但不一定等于零 (C) 一定不存在 (D) 不一定存在解 由迫敛定理知 必存在但无法得知它是否为 0 ，故应选(B). li()xf例 4 已知 与 都存在，且1lim()f2， (*)求函数 .()fx解 设 ， ，对(*)式分别令 和 ，取极限，得关于 A, B 的方程组1lifA2li()xfB1x2，3426AB解之，得 ，所以 ， . 注 这里利用了极限值就是一个常数的概念.例 5(1999 年全国 MBA 入学考试题)已知 ，求 .5)(4lim)(3lixfxfx li()xf由于题设意味着极限 与 都存在，又 ，所以 存在，(3limfx54li4mx且有，)(li)(ffxx又由 ，可推知 (否则乘积的极限不可能存在 )43(lix0li . 例 6 时， 是关于 x 的几阶无穷小？032(),x分析 即问：若要 ，则应有 因为分子能整理为 ，而230lim0kC?k6()1x时， ，故只需取得 能使得 能与分母的零因子 约去.x61xkx22|41|4| xxx231limli()()fxffx,2B 01sinlmx1sinx|x|1a,4X2 222 1)| |(| +x1li()xfli()xf354li1ff物电学院高数习题课 第一章 函数、极限 与连续 55解 因为 ， 63200()1limli0xx所以 时， 是 x 的 阶无穷小. 2例 7 求下列极限： (1) ； (2) ； (3)(200 数 4) !limn0sinco1lim()xx；(4) ； (5) ； (6) ； 231limxcot0li(cosi)xab013li()xxabc(7) ； (8) ； (9) ； 0()(costanilx 21ln()tx2os(10) ； (11) (13 大赛一、1) .3lx im)si14n解(1) ， ；121!0nn!l0n(2) 原式 0()2 20sicosilimi(s)(cos)x xxxx，0liin11或 原式 sscoxxx；000i sinlil lim()1is2x (3) 设 ， 则， ， 所以 原式 ；()1f 1(4) 原式 ，不存在；231|limxx注 遇到开方运算时要注意正负号.(5) 原式 cotcot0sin()li(s)()11xxxbaa；) sincosi0lico abxx 0be(6) 原式为 ， ，设 11133()()xxac， 则 ， 且 113()()xxabcu0lim()xu，00 3limli (lnx abc 原式 ；00() () 3()11li(lnl)31li()xux abcux a e(7) 原式为 ， 时，0x， ，21coscoscos1()()24:32l:， ，tani)ixx 2)(coslnl1s1xxx 原式 ；1402sinlim()|xe142sn()|xfe02imn()0i(li|)f物电学院高数习题课 第一章 函数、极限 与连续 66(8) 原式 ；()1201lim()xxe(9) 原式 ；21limcos)xxe(10) 原式 ；0()3 30321li ()1( )x x(11) 22()snsinsin4441n 原式 2li l()siexp1.2214mim()siexpn ne或 解法二 原式 1li l44()n. 222 14)11)n例 8 设 存在，且 ，求 .0li()xf03(sinlimxxfe0li()xf解 原式 ， . 0()s()s1lm223)3112f f 0li6()xf例 9 求下列极限中参数 的值： (1) ； (2) ,ab13lixab.32lim()06xaxb解(1) 分式极限存在，分母为无穷小，故分子必为无穷小，故， 即 . 代入极限式：1li11a， 即 ，从而 .21()lim3xx1lim()2xa2a1b(2) ， .(60ab36xb从而 .323lim)li()xx b ， ， 即必有 ， li31li(x 33610li()xa ；1a 232 323261(li)lim6()xxbax . 3336li1x例 10 若 时， 与 是等价无穷小，则 .0x2()xk()arcsinosxk解 201arcsinoarci1oslimli lm()ncx xkx，20 31)4xkx . 例 11 设 时 ，且 . 求证若 (或 )，则,lixklimxA(或 ). 并用上述结论求下列极限：(1) ； (2) .limxA0tansi2m20sn34k物电学院高数习题课 第一章 函数、极限 与连续 77证 只需证明 . 因为 ， 所以 ， 于是lim1x 1limxk1limxk. li求极限：(1) 原式 ； (2) .02li1x200lili()1xx例 12 求下列函数的间断点，并分类：(1) ；(2) ；(3)fe2()|)1xf.2()1)limnfx解(1) 由于 在 和