第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

第 3章 矩阵的初等变换与线性方程组w31 矩阵的初等变换w32 初等矩阵w33 矩阵的秩w34 线性方程组的解天津师范大学计算机与信息工程学院郑陶然31 矩阵的初等变换 上页 下页返回首页 结束矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算 它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用 上页 下页 结束返回首页 v方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上 显然 交换 B的第 1行与第 2行即得 B1 增广矩阵的比较 例如下页 2 2 显然 把 B的第 3行乘以 (1/2)即得 B2 v方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上 例如增广矩阵的比较 下页上页 下页 结束返回首页 2 2 显然 把 B的第 2行乘以 (2)加到第 1行即得 B3 v方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上 例如增广矩阵的比较 下页上页 下页 结束返回首页线性方程组与其增广矩阵相互对应 对方程组的变换完全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换 把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上 就得到矩阵的三种初等变换 v方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上 下页上页 下页 结束返回首页下面三种变换称为矩阵的初等行 (列 )变换 (i)对调两行 (列 ) (ii)以非零数 k乘某一行 (列 )中的所有元素 (3)把某一行 (列 )的 k倍加到另一行 (列 )上去 v矩阵的初等变换 这三种变换都是可逆的 且其逆变换是同一类型的初等变换 例如 变换 ri+krj的逆变换为 ri+(k)rj(或记作 rikrj) rirj(cicj)对调 i j两行 (列 )rik(cik)表示第 i行 (列 )乘非零数 k ri+krj(ci+kcj)表示第 j行 (列 )的 k倍加到第 i行 (列 )上 v初等变换的符号 下页上页 下页 结束返回首页v矩阵的等价关系 如果矩阵 A经有限次初等变换变成矩阵 B 就称矩阵 A与 B等价 记作 A B 如果矩阵 A经有限次初等行变换变成矩阵 B 就称矩阵 A与 B行等价 记作 A Br如果矩阵 A经有限次初等列变换变成矩阵 B 就称矩阵 A与 B列等价 记作 A Bcv等价关系的性质(i)反身性 AA (ii)对称性 若 AB 则 BA (iii)传递性 若 AB BC 则 AC 下页上页 下页 结束返回首页r3r4 1 1 2 1 40 1 1 1 00 0 0 2 61 1 2 1 40 2 2 2 00 5 5 3 60 3 3 4 31 1 2 1 42 1 1 1 22 3 1 1 23 6 9 7 9r42r3v矩阵初等变换举例 r1r2r2r3r32r1r43r11 1 2 1 40 1 1 1 00 0 0 2 60 0 0 1 3r22r35r2r43r2r32r1r2r2r3行阶梯形矩阵 行最简形矩阵 1 0 1 0 40 1 1 0 30 0 0 1 30 0 0 0 00 0 00 0 0 1 3下页上页 下页 结束返回首页可以证明 对于任何矩阵 A 总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵 下页r3r4 1 1 2 1 40 1 1 1 00 0 0 2 61 1 2 1 40 2 2 2 00 5 5 3 60 3 3 4 31 1 2 1 42 1 1 1 22 3 1 1 23 6 9 7 9r42r3v矩阵初等变换举例 r1r2r2r3r32r1r43r11 1 2 1 40 1 1 1 00 0 0 2 60 0 0 1 3r22r35r2r43r2r32r1r2r2r3 1 0 1 0 40 1 1 0 30 0 0 1 30 0 0 0 00 0 00 0 0 1 3上页 下页 结束返回首页v矩阵初等变换举例 对行最简形矩阵再施以初等列变换 可变成一种形状更简单的矩阵 称为标准形 其特点是 左上角是一个单位矩阵 其余元素全为 0 v矩阵 的 标准形c比如上述行最简形矩阵经初等列变换得 下页r rc上页 下页 结束返回首页因为有上述等价关系 所以有同解线性方程组 v行最简形矩阵与线性方程组的解 v矩阵初等变换举例 完整解题过程 下页r r上页 下页 结束返回首页v矩阵初等变换举例 所有行等价的矩阵组成的一个集合 集合中矩阵所对应的线性方程组都是同解的 其中行最简形矩阵所对应的线性方程组是最简单的 而且是最容易求解的 v行最简形矩阵与线性方程组的解 结束r r32 初等矩阵矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算 这有着广泛的应用 上页 下页 结束返回首页上页 下页 结束返回首页由单位矩阵 E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 v初等矩阵 E(i(k)表示用非零数 k乘单位矩阵 E的第 i行 (列 )得到初等矩阵 E(ij(k)表示把单位矩阵 E的第 j行的 k倍加到第 i行上 或把单位矩阵E的第 i列的 k倍加到第 j列上得到初等矩阵 E(i j)表示对调单位矩阵 E的第i j两行 (列 )得到的初等矩阵 例如下页上页 下页 结束返回首页由单位矩阵 E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 v初等矩阵 E(i(k)表示用非零数 k乘单位矩阵 E的第 i行 (列 )得到初等矩阵 E(ij(k)表示把单位矩阵 E的第 j行的 k倍加到第 i行上 或把单位矩阵E的第 i列的 k倍加到第 j列上得到初等矩阵 E(i j)表示对调单位矩阵 E的第i j两行 (列 )得到的初等矩阵 初等矩阵都是可逆的 并且 v初等矩阵的可逆性 E(i j)1E(i j) E(ij(k)1E(ij(k) 下页上页 下页 结束返回首页v定理 1(初等矩阵在矩阵乘法中的作用 ) 设 A是一个 mn矩阵 对 A施行一次初等行变换 相当于在A的左边乘以相应的 m阶初等矩阵 对 A施行一次初等列变换 相当于在 A的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵 例如 设 则有 下页r1r2上页 下页 结束返回首页例如 设 则有 v定理 1(初等矩阵在矩阵乘法中的作用 ) 设 A是一个 mn矩阵 对 A施行一次初等行变换 相当于在A的左边乘以相应的 m阶初等矩阵 对 A施行一次初等列变换 相当于在 A的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵 下页c12c3上页 下页 结束返回首页v定理 2(矩阵可逆的充要条件 ) 方阵 A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 P1 P2 Pl 使 AP1P2 Pl v推论 2mn矩阵 A与 B等价的充分必要条件是存在 m阶可逆矩阵P及 n阶可逆矩阵 Q 使 PAQB v定理 1(初等矩阵在矩阵乘法中的作用 ) 设 A是一个 mn矩阵 对 A施行一次初等行变换 相当于在A的左边乘以相应的 m阶初等矩阵 对 A施行一次初等列变换 相当于在 A的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵 v推论 1 方阵 A可逆的充分必要条件是 A E r下页 上页 下页 结束返回首页设 A为 n阶可逆矩阵 B为 ns矩阵 显然 A1也可逆 所以存在初等矩阵 P1 P2 Pl 使A1P1P2 Pl 于是有A1AP1P2 Pl A 即 E P1P2 Pl A及 A1BP1P2 Pl B 这表明 如果对 A进行若干次初等行变换化为 E 则对 B进行同样的初等行变换将化为 A1B 两式合起来为P1P2 Pl (A B)(E A1B)矩阵 A可 逆 AP1P2 Pl 其中 P1 P2 Pl都是初等矩阵 求逆矩阵的初等行变换法 下页上页 下页 结束返回首页设 A为 n阶可逆矩阵 B为 ns矩阵 则存在初等矩阵 P1 P2 Pl 使P1P2 Pl (A B)(E A1B)上式的意义 (i)取 BE时 上式成为P1P2 Pl (A E)(E A1)(ii)当 A为可逆矩阵时 方程 AXB的解为 XA1B 求 AXB的解可以对 (A B)进行初等行变换 使之成为 (E A1B) 此时即得 XA1B矩阵 A可 逆 AP1P2 Pl 其中 P1 P2 Pl都是初等矩阵 求逆矩阵的初等行变换法 下页上页 下页 结束返回首页若矩阵 A可 逆 则矩阵 (A E)经初等行变换可化为 (E A1)例 1 设 求 A1 解0 2 1 1 0 03 0 2 0 1 02 3 0 0 0 1(A E) 1 1 1 1 1 13 0 2 0 1 02 3 0 0 0 1r1r2r1r31 1 1 1 1 10 3 1 3 2 30 5 2 2 2 3r23r1r32r11 1 1 1 1 10 1 0 4 2 30 5 2 2 2 3r22r2r31 1 1 1 1 10 1 0 4 2 30 0 2 18 8 12r35r2 1 1 1 1 1 10 1 0 4 2 30 0 1 9 4 6r2(1)r3(2)因为下页上页 下页 结束返回首页若矩阵 A可 逆 则矩阵 (A E)经初等行变换可化为 (E A1)例 1 设 求 A1 1 1 1 1 1 10 1 0 4 2 30 0 1 9 4 6r0 2 1 1 0 03 0 2 0 1 02 3 0 0 0 1(A E) r1r2r1r3 1 0 0 6 3 40 1 0 4 2 30 0 1 9 4 6 所以解 因为下页上页 下页 结束返回首页若矩阵 A可 逆 则矩阵 (A B)经初等行变换可化为 (E A1B)例 2 设求线性方程组 Ax1b1和 Ax2b2的解 记 X(x1 x2) B(b1 b2) 则两个线性方程组可合成一个矩阵方程 AXB解 因为 r下页 上页 下页 结束返回首页若矩阵 A可 逆 则矩阵 (A B)经初等行变换可化为 (E A1B)例 3 求解矩阵方程 AXAX 其中 把所给方程变形为 (AE)XA 解 因为r所以讨论 如何求解矩阵方程 XAB? 其中 A可逆 结束 提示 33 矩阵的秩 我们已经知道 给定一个 mn矩阵 A 它的标准形 由数 r完全确定 这个数也就是 A的行阶梯形中非零行的行数 这个数便是矩阵 A的秩 上页 下页 结束返回首页上页 下页 结束返回首页1 1 2 1 42 1 1 1 22 3 1 1 23 6 9 7 9A vk阶子式在 mn矩阵 A中 任取 k行与 k列 (km kn) 位于这些行列交叉处的 k2个元素 不改变它们在 A中所处的位置次序而得的k阶行列式 称为矩阵 A的 k阶子式 例如 1 13 1D 是 A的一个二阶子式 1 1 2 1 43 1 2下页上页 下页 结束返回首页说明 v矩阵的秩设在矩阵 A中有一个不等于 0的 r阶子式 D 且所有 r1阶子式 (如果存在的话 )全等于 0 那么 D称为矩阵 A的最高阶非零子式 数 r称为矩阵 A的秩 记作 R(A) 并规定零矩阵的秩等于 0 矩阵 A的秩 R(A)就是 A中不等于 0的子式的最高阶数 (1)若矩阵 A中有某个 s阶子式不为 0 则 R(A)s 若 A中所有t阶子式全为 0 则 R(A)t (2)若 A为 mn矩阵 则 0R(A)minm n (3)R(AT)R(A) v几个简单结论 下页上页 下页 结束返回首页v矩阵的秩设在矩阵 A中有一个不等于 0的 r阶子式 D 且所有 r1阶子式 (如果存在的话 )全等于 0 那么 D称为矩阵 A的最高阶非零子式 数 r称为矩阵 A的秩 记作 R(A) 并规定零矩阵的秩等于 0 (1)若矩阵 A中有某个 s阶子式不为 0 则 R(A)s 若 A中所有t阶子式全为 0 则 R(A)t (2)若 A为 mn矩阵 则 0R(A)minm n (3)R(AT)R(A) v几个简单