第三节++数学模型

第三节 数学模型 一、概述 数学模型是所研究系统的动态特性的数学表达式，或者说，是系统输入作用与输出作用之间的数学关系。 控制系统中需要建立数学模型的，不局限于被控对象，系统中的每一个部分都需要建立数学模型。但相对来说，被控对象之外部分的数学模型很多是控制仪表及装置的模型，其特性已经研究得比较多，而且变化很少。被控对象则比较复杂，不同的控制系统，被控对象的差异极大。因此，建模的重点是对象的建模。 被控对象千差万别，建立模型特别是机理建模，需要对被控对象有比较透彻的了解。 1过程对象的特点 过程对象系统相对较大、较为复杂，时间常数大、滞后大，具有非线性、分布参数和时变特性，因此建模比较困难，需要在模型的简化上做工作，更多地需要从实验中建立模型。 2简化模型 实际的物理系统是非常复杂的，过程对象也是如此，必须对系统进行适当的简化处理，才能有效地建模。通常的做法是： （1）从分布参数到集中参数 所有系统的模型本质上都是分布参数的，但分布参数模型太复杂，难建立也难以处理。因此，通常都是将它简化为集中参数系统来建立模型。当然，这仅仅在一定的范围内是有效的。 （2）从非线性到线性 实际的物理系统存在许多非线性，只要系统中任何一个环节是非线性的，系统就是非线性的。线性系统的重要特征是可以运用叠加原理，这将使系统建模分析大大简化。因此，在很多情况下，应该尽量将系统简化为线性系统来建模和分析。 3建模方法 系统的建模方法分为两大类：机理建模与实验建模。开始人们倾向于机理建模，认为这样的模型有理论依据，物理意义明确。但对于较复杂的系统，做了许多简化与理想化后，才能建立起机理模型。实验室建模似乎是迫不得已的办法，但在数据处理能力大大提高的今天，它也有较强的生命力。机理建模就像是“开环控制”，理论上可以做到很精确，但实际上很难；试验建模就像是“闭环控制”，不管对象有多复杂，都可用这种综合方法来对付它。 对于一个新的建模问题，可以先建立一个比较简化的机理模型，对之进行一些初步的了解和研究。然后再试图建立一个比较完善的数学模型，进行比较全面和精确的研究。最好是机理建模与实验建模相互印证、相互补充和完善。 二、机理建模 机理建模就是根据被研究对象的物理化学性质和运动规律来建立系统的数学模型。因此，需要掌握对象的能量平衡关系、物料平衡关系、动量平衡关系、化学反应规律、电路电子原理等知识，难度相当大。因此，必须作出合理的假设，建模才是可行的。通常总是假设系统是集中参数的和线性的，当然，在这样的假设条件下，建立的模型只能在一定的工作范围内适用。 但是，各种假设的合理程度如何？简化的方法是否正确？模型的适用工作范围如何？这一系列问题，最终还是要通过实验来验证和修正。 控制系统中，需要建模的对象包括了各种类型的元器件、仪表与装置（有电子的、机械的、气动的、液动的），简单的如杠杆系统，复杂的如反应器等等。另外测量仪表及变送器、调节器和执行器，将在后面介绍。这里我们着重介绍化工等过程设备装置的数学模型。 1、一阶系统 当一个对象可以用一阶微分方程描述其特性时，它就是一个一阶对象或一阶系统。设其微分方程表示为 （2-29） 式中，X 为对象的输入变量，y 为对象的输出变量，对上式取拉普拉斯变换（设初始值为零），得 TsY（s）Y（s）=KX（s） 整理得 （2-30） 用方块图表示为（图 2-14） 很多实际的物理对象，其数学模型是一阶系统或可以近似地用一阶系统来描述。RC 电路和水槽等是最常见的一阶系统。 （1）RC 电路 在图 215 所示的电路中，设 ei为输入电压，是该系统的输入变量；电容两端的电压为输出电压，是该系统的输出变量；i 是流过电阻 R 的电流。根据电路原理中的科希霍夫定律，有： eiiRe 0 消去中间变量 i，得到 ei与 e0之间的关系式： （2-31） 上式是一阶微分方程，说明 R-C 电路是一阶系统。求拉普拉斯变换，并假设初始条件为零，得 RcsE0（s）+ E 0（s）E i（s） 整理得 R-C 电路系统的传递函数为 （2-32） RC 电路很直观，很简单，电阻和电容的概念比较清晰。许多物理系统如液位系统、热力学系统和气动系统有类似的概念。 （2）水槽 如图 2-16 所示，水槽的液面高度为 h，我们希望这个液位能比较稳定，这里将它定为该系统的输出变量或被控变量。输入流量 Qi由阀门 l 加以调节，从而保持液位 h 的稳定， Q i是系统的输入变量。 对水槽的流出量 Q0，阀门 2 不加以控制，是系统的中间变量。 阀门 2 相当于一个负载，或者是类似于 RC 电路中的电阻 R，可称为液阻 R： （2-33） 当流过阀门 2 中的流体状态为层流时，有 Q0Kh （2-34） 由以上两式，可求得此时的液阻 R： 由于 K 是一个常数，故 R 也是一个常数，这与电阻很相似。 对于水槽系统，还可以定义类似于电容的液容 C： （2-35） 很显然，对于横截面积保持不变的容器，液容等于横截面积 A。 当系统中的液体流动为层流时，系统是线性的；当液体流动状态为紊流时，系统是非线性的，但在变量很小的变化范围内，可以线性化。因此，在很小的时间 dt 之内，水槽的液体体积变化量为 Cdh=（q iq。）dt （236） qi和 q。是相对于稳定值 Q i和 Q0的微小变化量。将中间变量 q0消去，得 对上式进行拉普拉斯变换，并设初始条件为零，得 RCsH（s）H（s）RQ i（s） 整理得 （2-37） 从上面两例，可以看到它们的微分方程和传递函数都很相似，与方程（2-29）和（2-30）对照，定义 K 为一阶系统的放大系数： K=1 R C 电路 K=R 水槽系统 定义 T 为时间常数，在 RC 电路和水槽系统中，时间常数 T 均等于RC。（K 和 T 的物理意义将在后续章节中介绍）。 2、非自衡系统 前面分析的水槽系统，当液位升高时，出口流量 q0会自动增加，使液位稳定在一定的工作范围内，系统能自动达到一个平衡状态，这样的系统称为自衡系统，在控制系统中是最常见的，也是比较易于控制的系统。 如图 217 所示的系统，是没有自衡能力的。其输出流量由一个正位移泵抽出，保持恒定，与液位无关。因此，当 Qi发生变化，使液位 h 偏离平衡值后，系统不会自动到达平衡状态。如果 Qi有一个增量且保持不变，则液位将持续上升，直至溢出。这样的系统称为非自衡或无自衡系统。这样的系统相对于自衡系统比较难于控制。 由方程（2-36），且此时 q 0=0，得 （2-38） 所以该系统也常称为积分对象。 该系统的传递函数为 （2-39） 3二阶系统 当一个对象可以用二阶微分方程描述其特性时，它就是一个二阶系统或二阶对象。设其微分方程表示为 （2-40） 对上式两边进行拉普拉斯变换，并设各阶初始值均为零，得 a0s2Y（s）+a 1SY（s）+a 2Y（s）=KX（s） 整理得 （2-41） 很多物理系统的数学模型可用二阶系统来描述，如 RC 串联电路和串联水槽等。 （1）RC 串联电路 设 ei为系统的输入变量，e 0为系统的输出变量，由科希霍夫定律，得 （244） 由上述方程解得 RC 串联电路的微分方程表达式为 （2-45） 对方程（245）两边进行拉普拉斯变换，并设初始值均为零，得 整理得，该二阶系统的传递函数为 （2-46） （2）串联水槽 对于串联水槽，设 Qi为系统的输入变量，Q 是中间变量，h 1和 Q。也是中间变量，h 2是输出变量。另外，还假设两只水槽具有同样的横截面积 A，液位与流出量具有线性关系，则 液阻 ； 液阻 分别列写两个水槽的物料平衡方程为 Adh1=（q iq）dt Adh2=（q-q。）dt 式中，q i、q、q。均为相应的 Qi、Q 和 Q0的微小变化量。 由上述四个方程，消去中间变量 h1、q 和 q。，解得输入变量 qi与输出变量 h2之间的微分方程为 （2-47） 对上式两边进行拉普拉斯变换，并设初始条件均为零，得到 Qi到 h2之间的传递函数为 （2-48） 设 AR 1=T1，AR 2T 2， R 2=K，则有 （2-49） 高于二阶的对象，研究起来比较复杂，甚至无法进行研究，通常都是将它们近似为一阶和二阶系统。 三、实验建模 实验建模原则上是把被研究对象看作为一个黑箱，通过施加不同的输入信号，研究对象的输出响应信号与输入激励信号之间的关系，估计出系统的数学模型。这种方法也可称为系统辨识方法或黑箱方法。 显然，任何一个对象都可能有多个输入变量和输出变量，当我们要研究的是 x1与 y1之间的关系时，就应该将施加的输入信号加在 x1输入端上，并记录相应的 y1的变化。 这种方法对于复杂对象更为有效。对于已知的一阶或二阶系统，通过实验方法测取其特性参数也很方便、实用。常用的方法有： l、阶跃扰动法 当对象处于稳定状态时，施加一个阶跃信号到输入端，记录输出端的变化曲线即可。 阶跃扰动法的优点是阶跃信号容易获得。当对象的输入量是流量时，只要将阀门开度突然变化一定幅度并保持不变即可，不需要另外的信号发生器。 对于水槽对象，阶跃扰动和相应的反应曲线如图 221 所示。由反应曲线可推得对象的数学模型及相关的参数。 前已求得，如图水槽系统是一阶系统，Q i到 h 的传递函数为 由方程（224）可得 由方程（25）得 则 （2-50） 因此，由输入输出曲线测得 a 和 Ra 的数值，代入前已推得的的微分方程或传递函数，就得到了完整的数学模型。 上面介绍的这种在已知系统的数学模型结构的基础上，再通过实验来确定数学模型中的参数的方法，又称为系统的参数估计。 2矩形脉冲法 这时所施加的输入信号如图 222 所示，相当于在 t1时刻施加了一个阶跃扰动之后，在 t2时刻再施加一个幅度相同但方向相反的阶跃扰动。 与阶跃扰动方法相比，干扰仅施加较短的时间。因此，幅度可以相对大一些，以提高试验精度。 3周期扰动法 所谓周期扰动法就是施加周期信号作为扰动。常用的周期信号有短形脉冲波和正弦波。周期信号围绕平均值上下波动，对系统的影响很小。当输入为一系列不同频率的正弦波时，可直接获得系统的频率特性。这是周期扰动法的主要优点之一。 除了上面介绍的几种方法之外，还可以直接从正常生产过程的记录数据中分析过程特性，建立数学模型。这种方法称为在线辨识。但它需要大量的数据、较长时间、较多的数据处理技术水平，而且精确度也不够高。为了提高所得模型的可信度和精度，有时采用多种方法相互验证，相互补充。 四、过程特性参数 前面讨论的数学模型中已经看到参数 K 和 T，实际的过程特性参数中常见的还有 。 下面讨论这三个参数的物理意义以及在系统中所起的作用。 1、放大系数 K 仍以水槽系统为例，在输入流量 Qi等于输出流量 Q。，液位 h 处于某个稳定状态时，使 Qi突然有一个阶跃变化，阶跃幅度为 a，并保持不变。由阶跃扰动法知道，此时，水槽的液位也有一个相应的变化，经过一段时间后，逐步趋于一个新的稳态值，如图 223 所示。 图中，a 是输入流量的变化量，即阶跃扰动的幅值；b 是液面最终稳态值与原稳态值之差。定义 K 为该系统的放大系数： K=b/a=h/Q i=输出增量/输入增量 可见，放大系数 K 的物理意义就是把系统的输入变化量放大 K 倍，称为系统的稳态输出量。注意，由于 b 是系统经过很长时间进入稳态后的数值，因此，放大系数 K 是系统的静态特性参数。 放大系数 K 是非常重要的特性参数。K 越大，表明输入信号对输出的控制作用越强。如截面积很小的水槽，较小的输入流量变化可能产生较大的输出量液位的变化。而截面积很大的水槽，输入流量的变化对输出量的影响很小。 对于一个被控变量，可能同时有几个输入变量对之产生影响，这时，应该尽量选择放大系数 K 较大的作为调节变量，其他输入变量作为系统的干扰量。如图 224 所示，该系统共有 3 个输入变量，选择 x3作为调节变量后，x 1和 x2就被认为是该系统的干扰变量。从调节变量 x3到输出变量 y 之间的关系叫做调节通道，x l到 y 之间的关系叫做干扰通道 1，x 2到 y 之间的关系叫做干扰通道2。每个通道都有相应的数学模型及相应的放大倍数 K。K 越大，表明该通道的调节能力越强；对于干扰通道，K 越大，表明该扰动对输出变量的影响越大。 2时间常数 T RC 电路的数学模型为 从电路图中，可以直观地知道，当电容充电结束后，电流 i 等于 0，e 0e i，即该电路 ei到 e0的调节通道放大系数 K 等于 1。但 e0是逐步达到最终值 e i的，它的快慢取决于 T=RC 的数值。T 越大，表明电容 C 充满电需要的时间越长。这就是时间常数的物理意义。 同样，在水槽系统中，对于相同的输入流量变化量，截面积大的水槽要花更多的时间才能达到稳态液位值。如图 226 所示，一个水槽的截面积为 A1，另一个的截面积为 A2，A 2A 1，故在相同的输入流量变化量 a 的作用下，表现了不同的反应曲线。 时间常数 T 可以用实验方法测得。一阶系统的微分方程，当输入为单位阶跃信号时，求得 （2-52） 由该方程，当 t=T 时， y（T）=1-e -1=0.632 （253） 依次还可求得 t=2T、3T、4T、5T 等特殊点处的 y 值。 对 y（t）求导数得 可求得反应曲线起始点的切线的斜率为 将以上计算结果绘于图 2-27 中。 由公式（2-53）和图 2-27 可见，当反应曲线上升到最终值的 632时，所用的时间正好为时间常数 T。因此，从实测的反应曲线上，相应于最终值的632处的时间值就是时间常数 T 的数值。 从图中还看到，当时间 t=3T 时，曲线已经很接近最终值，此时计算值为最终值的 95；当时间 t=5T 时，曲线已几乎与最终值重合，此时的计算值为最终值的 993。可见，时间常数 T 也是标志系统动态过程何时基本结束的重要参数。因此，时间常数 T 是系统的动态参数。 另外，对于调节通道，时间常数 T 大，表明系统响应较平稳，系统较稳定，通常比较容易控制，但调节时间较长。时间常数 T 小些，系统相对比较难于控制。实际应用中有一个适中的时间常数较好。 对于干扰通道，时间常数越大，对调节越有利。 3滞后时间 有些物理对象，当输入信号发生变化后，输出信号不会立即出现响应，出现了滞后现象。滞后时间 就是用来描述系统滞后现象的特性参数。滞后现象有两类：纯滞后和容量滞后。 图 228 溶解槽系统及其反应曲线（l）纯滞后 0 纯滞后又叫做传递滞后，用 0表示。产生纯滞后的原因通常是由于物料的传输需要一定的时间，如图 228 所示的溶解槽浓度系统。 当浓度需要增加一定幅值时，操作进料量操纵板，使料体进料量增加。但是，由于粉体进料量的增加量 a 要经过输送皮带的传送，滞后一定的时间 0才能进入溶解槽，系统的输出量浓度 y 才会响应。也就是说，从输入信号料体进料量有了变化，到输出信号浓度开始变化的这段时间里，溶解槽无法感受到进料的变化。这段时间的长短取决于粉体传送距离 L 和皮带机的输送速度 U，故 （2-55） 上述分析，是以粉体加料斗下方的进料量操纵板处的进料量作为系统的输入变量的；如果从溶解槽液面处的进料量作为系统的输入变量来分析并画图，则相当于在图中 0时刻才有增量 a，输出变量 y 几乎是立即产生响应的。这说明可以把原来的带有纯滞后的一阶系统分解为一个独立的纯滞后环节和一个独立的无纯滞后的一阶环节。在反应曲线图形上，带有纯滞后的一阶系统的响应曲线与无纯滞后的一阶系统的响应曲线比较，形状完全一致，只是右移了滞后时间 0而已。 （2）容量滞后 c 所谓容量滞后，是系统的输入变量变化后，输出变量的变化相当缓慢，在一段时间内几乎观察不到，然后，才逐渐显著地开始变化。这是由