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第三节 二阶常系数线性微分方程的解法一、二阶常系数线性微分方程解的性质与通解的结构二 阶 常系数 线 性微分方程 的标准形式其中 a,b是常数 .(1)(2)称 为 二阶常系数 齐次 线性微分方程。 1二阶常系数 齐次 线性方程解的性质回顾一阶齐次线性 方程1、方程 (1)的任意两个解 的 和仍是 (1)的解；2、方程 (1)的任意一个解的常数倍仍是 (1)的解；2二阶常系数 齐次 线性方程解的性质1、方程 (2)的任意两个解 的 和仍是 (2)的解；2、方程 (2)的任意一个解的常数倍仍是 (2)的解；也是 (2)的解 .(称 线性无关 ),则上式为 (2)的 通解 .定理 1(2)3二、二阶常系数 齐次 线性方程的 解法代数方程 (3)称 为 微分方程 (2)的 特征方程 ,它的根称 为 特征根 (或 特征值 ). (3)(2)4故它 们线 性无关 , 因此 (2)的通解 为 (3)情形 1 5情形 2 需要求另一个特解6情形 3 可以证明 ,是 (2)的解， 且线性无关， 所以方程 (2)的通解 为 7小结特征根的情况 通解的表达式 实根实根复根8解 特征方程为故所求通解为例 1例 2解 特征方程为解得故所求通解为特征根为9解 特征方程为故通解为例 3特征根为10对应齐次方程三、二阶常系数 非齐次 线性方程解的性质及求解法(1)(2)1、 方程 (1)的任意一个解加上方程 (2)的任意一个解是 (1)的解；2、 方程 (1)的任意两个解之差是 (2)的解 .定理 2那么方程 (1)的通解为11问题归结为求方程 (1)的一个特解 .只讨论 f (x) 的两种类型 .用 待定系数法 求解 .对应齐次方程三、二阶常系数 非齐次 线性方程解的性质及求解法(1)(2)那么方程 (1)的通解为定理 212则13情形 1 若 r 不是特征根 , 即情形 2 若 r 是特征方程的 单 根 , 即14情形 3 若 r 是特征方程的 二重 根 , 即15综上讨论设特解为其中16解对应齐次方程通解特征方程特征根例 4代入原方程 ,得 17解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程，原方程通解为例 5得18解对应齐次方程通解特征方程 特征根例 6代入方程 , 得19解对应齐次方程通解特征方程 特征根例 6注意：现即 即得这样比代入原方程要简便得多。20解例 7对应齐次方程通解特征方程 特征根21此 时 原方程的通解 为 22可以证明 ,方程 (1)具有如下形式的特解 :23解例 8所求 通解 为 对应齐次方程通解特征方程 特征根代入原方程 ,得 24解例 9所求 通解 为 对应齐次方程通解特征方程 特征根代入原方程 ,得 25定理 3 (非齐次线性方程的叠加原理) 和的特解 ,的一个特解 ,26例 10解代入得27解代入得原方程通解为例 1028解例
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