第二章 非线性微分方程动力系统的一般性研究

1第二章 非线性微分动力系统的一般性研究在对一个由非线性微分方程所描述的数学模型设计一个计算格式之前，在对该模型所表示的控制系统进行镇定设计或其他工作之前，人们往往希望对该系统可能呈现的动态特性有一个清楚的了解。特别是当系统模型包含若干个可变参数时，人们又希望知道，这些参数的变化将如何影响整个系统的动态特性。本章主要介绍非线性微分方程的一般理论，它将是进一步研究和讨论以下几章的基础。本章中将研究非线性常微分方程定义的动力系统：* MERGEFORMAT (2.1)()dxft其中 ， 是定义在某个开集 中的一阶连续可微函数。首先，介绍系nxR()fxnGR统(2.1)的流在任何常点邻域的拓扑结构的共同特征。然后，分别介绍非线性微分方程的解的动态特性研究中的三个主要的内容，即方程的平衡点、闭轨以及轨线的渐近性态分析。2.1 常点流、直化定理本节介绍系统(2.1)的流在任何常点邻域的拓扑结构的共同特征，即证明如下的直化定理。定理 2.1 设有定义在开集 上的动力系统(2.1) ， 是它的一个常点，则nGR0xG存在 的邻域 及其上的 微分同胚 ，它将 内的流对应为 内原点邻0x0()UxrC()UnR域的一族平行直线段。证明：由于 是常点， 是 中的非零向量，通过非奇异线性变换 （坐标0x0()fxnR轴的平移、旋转和拉伸），可将 对应为新坐标系的原点，且 化为列向量0()fx（简记为 ），其中 表示向量的转置， 代表 维零向量，而(1,0)T (1,0)T 1n微分系统可化为* MERGEFORMAT (2.2)(),0)(1,Txf与此同时， 的邻域 ，在线性变换 的作用下化为0xV2原点10(),()nVRxO参见图 2.1(b)。根据解的存在唯一性定理及可微性定理可知，存在 的邻域0(,)和包含 的区间 ，使得系统(2.1) 从 中任何一点出发的解10()nIU0J10nIU在 上存在，且关于其变量是 连续可微的。()tJrC进一步，10:()nJIUV即对任意的 ，其中 ，系统(2.1)过 点有解曲线10(,)nsqI121(,nqq (,)sq,):()tsJV满足。(0,)(,Tsq令 ，则得到映射(,)(,0)tqt。1:()nJUV考察导算子 ，因(0,)D。(0,)(0,)|(,0)(,)1,0Tdfftt又由于 ，故有(,q，(0,)(0,)1|TnqE其中 表示 阶单位方阵。于是导算子1nE()3。(0,)nDE由反函数定理知，在 的一个邻域， 为局部微分同胚。取 的邻域(0,) 0x。011()()nUxJ由于 均为微分同胚，因而 也是微分同胚，且它将 中(2.1) 的常点 的,1 nR0x邻域 内的流映射为 中开集 内的一族平行于 轴的直线段（见图 2.1）。0()UxnRnJt证毕。 0x1OV()V1nJUtqsqO()ab()c图 2.1对于离散系统 的常点，有类似结论。只需改为：在常点邻近的离散轨道在微分g同胚 之下，都相应分布在一族平行直线段上。2.2 平衡点及其动态特性2.2.1 基本概念考虑以下非线性常微分方程定义的动力系统：定义 2.1 假设 是系统 (2.1)的一个平衡点，它是“稳定的”是指：如果对 的任x x一个邻域 ，存在个子邻域，使沿系统 (2.1)的任何个满足初始条件： 的V 0()解 对 皆在 存在且位于 之中( 图 2.2)。进而，如果可选得一个 ，使得0(,)xttV1V对任何 都有140lim(,)tx那么 被称为是浙近稳定的平衡点或汇( 图 2.3)。x图 2.2 稳定平衡点 图 2.3 渐近稳定平衡点定义 2.2 假设 是系统 (2.1)的一个平衡点，且 没有零特征值和纯虚数特x()Dfx征值，那么 被称为是双曲型的平衡点或非退化平衡点。显然，对双曲型平衡点而言如果 所有特征值皆有负实部，那么 是渐近稳()fxx定平衡点，而当 的特征值中某些具有负实部，另一些却具有正实部时， 是不()Dfx稳定的，它被称为鞍点(saddle)；进而，如果 所有持征值皆有正实部，那么 是()Dfxx不稳定平衡点，此时被称之为源(source)。例题 2.1 (Lienard 方程)考虑 (),xyF的平衡点及其稳定性。易推得，Lienard 方程的等价形式为 ()0,xfgx其中 ，()gx5。0()()xFfud从定义可知，该方程平衡点是 ，同时该系统在平衡点处 Jacobian 矩阵为,(0)1,FD其两个特征值没分别是 21/1(0)4),2F所以，当 时，平衡点 是汇；而 时， 是源。(0)F,(0(,0)F2.2.2 平衡点稳定性分析对于双曲型平衡点而言，其稳定性完全可以由相应的线性化系统来判断。假设是系统(1.1) 的一个平衡点，那么在点 系统的线性化系统定义为x x* MERGEFORMAT (2.3)(),.nDfR其中 是 的 Jacobian 矩阵， 。以下定理给出了/ijDfx()f ,|1x=个十分有用的结论，即双曲型平衡点的稳定性与其相应的线性近似系统在原点的稳定性样。定理 2.2 如果 没有零或纯虚数特征值，那么存在一对一连续可逆变换(称)fx之为同胚)，它定义于 中 的某个邻域之内，将非线性方程的解映射为相应线性方nR程(1.2)的解，并保持解的性态不变。以上定理的证明可以在 Hartman P在 1964 年出版的专著中找到。这里不再引述。然而，当 不是双曲型不动点时，就无法应用上述定理，从线性化系统来判断其x稳定性，下面的 Liapunov 定理给出了条途径。6定理 2.3 假设 是系统 (2.1)的一个平衡点，如果存在一个可微函数 ，它定义x V于 的某个邻域 内，且 ，当 时 。xUW()0Vxx()0V，在 中，其中 是(2.1)的轨线。那么 是稳定的。()0dVtt x进而，如果 在 中，那么 是渐近稳定的。xx上述定理给出了一个并不需要求解而判断不动点稳定性的方法，但是定理中的函数 (被称为 Liapunov 函数)的构造却是一件不容易的事。上述定理的证明可参见常微V分方程有关稳定性理论的部分。2.2.3 平衡点的稳定流形和不稳定流形定义 2.3 系统(2.1)的稳定子空间记作 ，不稳定子空间记作1span,snEv，而中心子空间记作 。其中 是对1span,unuE ccw 1,snv应于具有负实部特征值的广义特征向量， 是对应于正实部特征值的广义特征1,un向量，而 是对应于具有零实部的特征值的广义特征向量。 。1,cnw sucnn它们分别又称为不变稳定、非稳定和中心子空间。例题 2.2 如果 10(),2Dfx那么 span(1,0),span(0,1).ucEEE如图 2.4 所示。7图 2.4 广义特征空间定义 2.4 假设 是(2.1) 的一个平衡点，系统 (2.1)的流是 ，那么 的局部稳x ()tx定流形 和局部非稳定流形 分别是()slocW()ulocWx| ),(,0,()()sloct tuxUtxUtx其中 是 的一个邻域。nURx不难看出 和 给出了线性化系统(2.1)的稳定子空间 和不稳定子空()slocW()ulocx sE间 的非线性的模拟。以下定理给出了更确切的描述。uE定理 2.4 (平衡点稳定流形定理 ) 假设 有一个双曲平衡点 ，那么存在()xfx局部稳定和不稳定流形 和 ，其维数为 和 ，分别与线性化系统(slocx(ulocsnu的子空间 和 的维数相等，且与 和 相切。同时， 和()DfxsEE()slocWx与 具有相同的光滑性。ulocW上述结论如图 2.5 所示，其证明可参阅 Hartman1964和7。8图 2.5 稳定流形进而还有如下的中心流形定理。定理 2.5 假设 是 上定义的一个 向量场， 。让 ，其fnRrC()0fx(0)ADf谱分解为 0,;e,.scu又设 和 的广义特征空间分别是 和 。那么，存在着 稳定的不变流,scu ,scErC形 和不稳定的不变流形 分别在 与 和 相切和 个 中心流形 与WuWxsu1rcW在 相切。其中 和 是唯确定，而 并非唯一(如图 2.6)。cExs s9图 2.6 中心流形、稳定流形和不稳定流形定义 2.5 全局稳定和不稳定流形分别为 0()(),.sstlocuutlWxx根据微分方程(2.1)的解的存在性和唯一性可知，两个不同的平衡点的稳定( 或非稳定)流形不能相交； (或 )也不能自我相交；而不同的平衡点或同一个平衡)sxu点的稳定流形和不稳定流形却可能相交。例题 2.3 考虑二维系统 2,.xy原点 是其唯一的平衡点，其线性化系统为(0,) ,.xy易得 2(,)|0,suExyR1023(0,),)|/,.ussWxyRxE分别如图 2.7 所示。图 2.7 稳定流形和不稳定流形2.3 闭轨及其动态特性2.3.1 基本概念从线性微分方程内容已知，常微分方程除了平衡点是其解外，还有可能出现周期解，即假设 为系统(2.1)的解，且存在一个常数 ， ，使得()xt T0，那么 就是(2.1)的一个周期解，该轨线称之为闭轨（闭环）(),0tT()xt或周期轨线。类同平衡点的情况，有：定义 2.6 让 为系统(2.1)的一个闭轨(closed orbit)， 为 的某一个邻域。那么， U它的稳定流形 和不稳定流形 分别为()slocW()uloc|0),0()()(.sloct tuxUtt定义 2.7 假设 是系统(2.1)的一个闭环， 为系统的流。如果对某一个开集)tx， ，存在一个开子集 ： ，使得 ，那1UW1221U21(),0tUt么 是个稳定的闭环；若对任一个开集 ， 都有上述性质，并且 1112lim(),0,ttdxU其中 为流 与闭轨间的距离，那么， 就称为一个渐近稳定的闭环（如(),tdx()tx图 2.8 所示），或周期吸引子。图 2.8 周期吸引子2.3.2 Poincare 映射在经典的常微分方程理论中，人们比较详细地研究了线性系统及部分类型非线性系统的周期解的存在性和稳定件，以下所述的 Poincare 映射法从几何的观点分析了闭执的存在性和稳定性。假定 是 中由非线性系统 的某个流 的一个闭轨，又设 为一nR()xftnR个 维的超曲面，且 对所有的 皆成立，其中 是 在 处的1()0fnx()x单位法向量（此时，称之为流与 处处横截）。设 与 有唯一的交点 ， 为pU的某个邻域。那么对 上某点 的 Poincare 映射 定义为pq:PU()P其中 是经 点的轨线首次回到 所需的时间(一般说来， 依赖于 ，也()qq不定等于闭轨 的周期 ，然而，当 时将有 )。()TpqpT12图 2.9 Poincare 映射显然， 点是 Poincare 映射 的一个平衡点。同时，由定义知道，Poincare 映射pP可以从微分方程的通解来取得。例题 2.4 考虑一个平面系统： 2(),.xyx取横截超曲面是 。2(,)|0,xyRy利用极坐标，将上述方程改写成 2(1),.r此时超曲面就是 ，于是可解得全局流为(,)|0,rRSr。120 020(,)1,ttretr取 ，那么 Poincare 映射便为213.124020()1Prer易见 时 的一个平衡点，即表示原系统有一个半径为 1 的圆闭轨。01rP2.3.3 映射的动态特性和闭轨的稳定性定义 2.8 假设 映射 ，其中 为开集，如果1C:gWEnR，那么， 称之为映射 的一个平衡点。(),xgx定义 2.9 假设 是映射 的一个平衡点，如果对 的每一个邻域 ，存在gxUW一个于邻域 ，使得 ，且1U1()U1lim(,ngx那么称 是渐近稳定的，或称之为汇。x定理 2.6 假设 是 映射 的一个平衡点，且 ，那么x1C:gWE|()|1Dgx是渐近稳定的。x证 为叙述方便起见，设 ，由条件及线性代数理论，在 中适当选定一0xE个范围后，对某个常数 将有1|(0)|,.DgxxW让 ，根据 Taylor 定理，存在 的一个邻域 ，使得01OV|()0|,.gxx于是 |()|(0)|()|.gxDxx=14对 的任一个邻域 ，选 为以 为中心，半径为充分小的超球，且0xU10x。所以1UV1|()|,.nngxxU即及1()ngx()0),nx故，且1()gUlim()0.ngx由此定理可见，倘若 是 Poincare 映射的一个汇，那么所对应的闭轨是渐近稳定x的。根据此结论由例题 2.4 中 Poincare 映射可算得0 03/244 41 120()1r rdPeDer 所以闭轨 是渐近稳定的。这样一来，我们证明了例题 2.4 中的系统存在一个渐近稳定的闭轨 。2:xy利用 Poincare 映射研究闭轨的存在性和稳定有其几何直观上的优点，而从形式上的研究，平均化方法不失也是一个有效的手段。2.3.4 平均化定理和扰动系统闲轨在振荡器研究中人们常常会遇到如下形式的微分方程动力系统：(2.4)(,),01,nxftxUR=其中 是 （ ）函数，它在有界集 上有界，且关于 是周:nnfRrC2t期为 的函数。于是，可以根据下述定理来判断闭轨的存在性和稳定性。T定理 2.7 系统(2.4)的平均化方程为15(2.5) 01(,)().Tyfytdfy=（1） 如果 是系统(2.5)的一个双曲型平衡点，那么存在 ，使得对所有的0p 0，系统(2.4)有唯一的双曲型周期轨线 ，并且具有:()()tpO与 相同的稳定性。0（2） 如果 是系统(2.4)的位于双曲周期轨线 的稳定流形上的解，而()sxtW是系统(2.5) 的位于双曲平衡点 的稳定流形上的解，并且0syp0p，那么|()|()xO。|()|,0,)xtyt（类似结论对不稳定流形上的解也成立，只是 ）(,t证 如下一章定理 3.7 所述，存在一个 坐标变换rC(,)xywt它可使式(2.4)变为(2.6)21()(,)yffyt其中 是时间 的周期函数，周期为 。1ftT这里将式(2.5)和(2.6)改写成：(2.7)(),1yf和(2.8)21()(,)1,yffy 16其中 是长度为 的圆周。(,),/nyRST很清楚，如果能证明式(2.7) 双曲型闭轨的存在性意味着式 (2.8)具有相同类型的周期轨线，那么本定理之(1)就能得证。于是考虑它们的 Poincare 映射。定义一个截面 ，并设 和 分别是由式(2.7)(,)|0y0:PU:和(2.8)所定义的 Poincare 映射，其中 是某个开集。因为式(2.8)的解 是式(2.7)的解 的 -接近（ ），所以 也是 -接y0y0,1/)tP近 。0P如果 是式(2.5)的双曲平衡点，那么它也是 的双曲不动点，因此，0p0P可逆，这意味着 有唯一解 且是 -接近 。()IdD()xp0p进而，由于 的特征值连续地依赖于 ，所以两个平衡点具有相同的稳定()Pp性。于是式(2.8)有周期轨线 且 -接近于 。0P综上所述，式(2.5)有双曲型平衡点 表示式(2.6)有同类型的闭轨。而上面论述指0p出，此时式(2.8)也有具有相同类型的闭轨。从式 (2.7)的由来知道式 (2.6)有相同稳定性的双曲型周期轨线，当然作为对逆变换后的系统(2.4) 也具有相同稳定性的双曲型周期轨线且 -接近于 ，即第(1)点得证。0p(2)的证明可参见文献2。该结论同时也是Hirsch，1977一书中定理 4.1 的直接推论。故而这里不再复述了。利用平均化定理，对周期轨线的研究有时就变得十分简单。例题 2.5 考虑 。2sinxt因为其平均方程是 201(sin),yyytd17是其一个稳定的双曲型平衡点，所以原系统在 附近有一个稳定的双曲型闭0y 0x轨。例题 2.6 考虑 Van der Pol 振荡器系统： 31122,(01),.x=令 ，那么，原系统变为12cos,inxrxr(2.9)33cos(/)cso,1insrr消去 可得dt(2.10)332/cos(/)cso(),drrrO从而可应用平均化定理。不难算得，在让 后的平均方程为()R21(),4df显然它的平衡点是 ，而由于 的无意义及 的平凡性，平均方程只有不2,0R0稳定的双曲型平衡点 ，从而式(2.10)有个位于 邻域的不稳定的周期轨线。2r由于 增加时 随之减少，所以对应的式(2.9)的周期轨线存在且稳定。t例题 2.7 考虑受迫的 Van der Po1 系统： 3(/),cos.xyxt在坐标变换181cossinicttuxvy之下， 系统变为以下的 系统，如果 定义XOYUOV21,=21/,/,那么 系统的平均方程将为UV2(),24.uuvv 其平衡点分布如图 2.10.图 2.10 Van der Po1 系统平衡点分布I： 唯一稳定平衡点； II：两个平衡点，其一为汇，另一为鞍点；III：唯一不稳定平衡点；IV b：三个平衡点：汇、源和鞍点。 系统平衡点对应于 系统的周期UOVUOV轨线，也对应于 系统的周期轨线。XOY2.4 轨线的渐近性态对动态系统进行定性分析中，除了判定平衡点、闭轨的存在性与稳定性之外，轨线的渐近性态分析也是一项主要的内容。192.4.1 基本概念定义 2.10 (非游荡集和游荡集 ) 一个点 对于系统流 非游荡是指：如果对pt的任一个邻域 ，都存在任意大的 使得pUt。()tU由所有这样的非游荡点 组成集合 就称之为非游荡集。否则，被称之为游荡点和游p荡集。显然稳定的平衡点和周期轨道是非游荡集。又如阻尼调和振荡器系统方程是 ，或可写成0x,y是其唯一的非游荡点。而对无阻尼振荡器 而言， 平面上(,)(0,x 0x2R所有的点谐是非游荡点。定义 2.12 (吸引集) 一个闭的不变集 被称之为吸引集是指：存在 的某nARA个邻域 ，使得 和 对所有的 皆成立。U)(0)txt()txtxU继而，定义 是 的吸引域( 即是 的不变流形) 。0t同样，排斥集是指 和 对所有的 皆成立)0)txUt()txAtx的集合 。A根据定义可知，分离的吸引集的吸引域必然不相交，它们是由非吸引集的稳定流形所分隔(如图 2.11)。20图 2.11 吸引域2.4.2 非线性系统的轨线非线性常微分方程动力系统(1.1) 的轨线会呈现出许多的动态特性和渐近特性，但是从轨线的形式而言，以下定理指出其轨线只能是属三类：平衡点、闭轨和不封闭轨线之一。定理 2.8 系统(1.1)的执线 必为以下三类型之一：()tx(1) 平衡点 ： 对所有 皆成立；0x0()ttR(2) 闭轨：存在一个常数 ，使得 ，但对任何的 ，T()tTtx:0T(即 为此闭轨的周期 )；()ttx(3) 非闭轨线：即 时 。12t12(ttx证 若流不是类型(3)，那么有 ，使得21t2100()()ttx所以 21121211000000()()()()()ttt t txxxxx 令 ，显然 ，且21t2100()xx令 是一切使上式成立的正数 的集合，因为集合又有下界 ，所以必有下确界 ，K 00即在 内存在个数列 ，使得 。0n0()n若 ，那么 意味着000()ntxx，00()即轨线为闭轨。若 ，由于00()nt（其中方括号表示取整数部分)对任意固定的 皆成立，即有t，000()()(),)nttxxn即 ，轨线为平衡点。0()tx2.5 结构稳定性一个系统中小所涉及到的函数在受到小扰动后，系统能否仍然保持其定性性态的问题已引起科方而研究的关注，例如自动控制理论中的鲁棒性(Robustness)的研究。本节作一简介，说明系统结构稳定性问题所关系到的概念和某些结论。2.5.1 基本概念定义 2.13 假设 ， ， ，那么 被()rnFCR,kZ,0rG称为 的一个 的 -摄动是指：存在 个紧集 ，使得 (在集合FknURF上)并且对所有的 皆有nRU11(,),nniiik 22。1|()/,|niiiFGx定义 2.14 两个 映射 和 是 等价( 或 共扼 )( )是指：存在个 的rCkCkrkC一对一可逆连续映射 (即 微分同胚) ，使得khFG若 和 是 等价，那么称它们为拓扑等价。FG0C定义 2.15 两个 向量场 和 说是 等价是指：存在个 的一对一可逆连rfgkCkC续映射 (即 微分同胚) ，使得 的轨线 与 的轨线 对应且保持性态不kh()ftxg()gtx变(即对任何的 和 ，存在 使得 )。x1t2t12(ftt定义 2.16 (结构稳定) 映射 (或一个 向量场 )称为结构稳定是指：rnFCRrf存在小参数 ，使得 (或 )所有 的所有 -摄动都与 (或 )拓扑等价。0fF2.5.2 结构稳定性定理定理 2.9 假设 是开集 上的一个 向量场，其中:nfWRnDC|1,nnxx且满足以下条件：(1) 在 中 只有一个平衡点，且它是一个汇；nDf(2) 沿着 的边界 ， 向量场 指向内部，即 。nnf(),0,nfxD(3) ， 是 的流，那么 在 上结构稳定。lim(),nttx()txffn23该定理的证明在文献1中可以查到，此基本思路是证明对一对非常接近 的向量f场 而言，存在唯一的平衡点 ，它位于之邻近；其次 的所有在 内的轨线gnxDgnD都趋于 。一旦上述结论得证，就可以定义一个一对一的可逆连续映射( 同胚映射)x，且 对应于 -轨线和 -轨线。从而 和 是拓扑等价，即 为:nhD()hfgf f结构稳定。综上所述，很清楚地可看到具有非双曲型平衡点的向量场不可能是结构稳定的，同样，该向量场所有的闭轨必须是双曲型的。2.5.3 平衡点和闭轨的保留性结构稳定系统具有许多“优秀”的品质，任何允分靠近的系统具有相同的定性性态。其一是平衡点的保留性：。定理 2.10 假设 是一个 向量场， 是 的一个双曲平衡点，:nfWRCx()f那么，对任何 ，总存在 的一个邻域 以及 的一个邻域 ，使得对任何 ，0xUfVgV有唯一平衡点 ，它也是双曲型平衡点，且 。对于闭环也有()ygy|yx类似的结论。定理 2.11 让 是一个 向量场，其流是 。我们又假设存在闭轨:nfWRCt，周期为 (为方便起见，没 在 上) 。让 为局部截割 在 处0n01:uS0的一个 Poincare 映射， 为闭轨 的一个邻域，并设 不是映射 的特征值。U()Du那么存在 的一个邻域 ，使得对每个 ，都有一个闭轨 。 不一定是唯fVgVU的闭轨，然而当 是周期吸引子且 g 充分接近 时， 也是周期吸引子且唯一。f2.6 二维流在本节中，考虑以下的二维常微分方程定义的动力系统：(2.11)(,)xfyg24其中 和 充分光滑。多年来，人们对二维系统作了许多探索，揭示了其复杂和丰富fg的动态特性。本节既是一个基本小结又是如何进行动态分析的演示，使读者能更直观地理解前面的论述。2.6.1 二维线性系统的动态特性二维线性系统的形式为(2.12)12,xayy其中 是常数；记(,12)ija12aA称之为系统(2.12) 的系数矩阵。对系统(2.12)的分析已经全部完成，其结论如下。假定矩阵 的秩等于 (对于 的秩小于 的情况，读者易得所有结论)。那么A2A2为系统(2.12)的唯一平衡点，并且根据矩阵 的特征值，该平衡点的稳(,)0,xy A定性和轨线性态有以下类型：(1) 具有两个异号的实特征值：，那么 被称为鞍点其轨线图如图 2.12 所示。0(,)0,xy图 2.12 鞍点25(2) 具有两个带有负实部的特征值时， 有以下 4 种情况出现，此时 点被称A (0,)为汇（sink ）。 有两个负的实特征值，且互不相等，那么 称为结点，其执线图如图(0,)2.13 所示。 有两个相等的负的实特征值，且 可对角化， 被称为临界结点，共轨AA(,)线图如图 2.14 所示。 有重的负特征值，但不能对角化，此时 称为非正常结点，其轨线图如(0,)图 2.15 所示。 有两个带有负实部复特征值，那么 被称为焦点，其轨线如图 2.16 所示。A(,)(3) 具有两个带正实部的特征值时，也有与上相应的 4 种情况出现。此时为源(source)。(0,) 有两个正的实特征值，且互不相等，那么 称为结点，其执线图如图A(0,)2.17 所示。 有两个相等的正的实特征值，且 可对角化， 被称为临界结点，共轨A(,)线图如图 2.18 所示。26图 2.13 稳定结点 图 2.14 稳定临界结点图 2.15 稳定非正常结点 图 2.16 稳定焦点 有重的正特征值，但不能对角化，此时 称为非正常结点，其轨线图如A(0,)图 2.19 所示。 有两个带有正实部复特征值，那么 被称为焦点，其轨线如图 2.20 所示。(,)(4) 的特征值是两个相互共扼的纯虚数。那么 为中心，其轨线图如图 2.21A(0,)所示。综上所述1情况(1)和(3)中的原点是不稳定平衡点，情况 (2)中的原点是渐近稳定平衡点，而情况(4)中的原点是稳定而非渐近稳定的平衡点。图 2.17 不稳定结点 图 2.18 不稳定临界结点27图 2.19 不稳定非正常退化结点 图 2.20 不稳定焦点图 2.21 中心2线性二维流的轨线如各图所示，在远离平衡点 处没有其它动态出现，即(0,)轨线图是全局性