第二章养老保险精算基础第二节

第二章第二章 养老保险精算基础养老保险精算基础学习要点：1.实际利率、名义利率实际利率、名义利率2.实际贴现率、名义贴现率实际贴现率、名义贴现率3.期末付年金、期初付年金以及付款次数多期末付年金、期初付年金以及付款次数多 于计息次数的年金于计息次数的年金4.寿险保费的基本原理以及保费算寿险保费的基本原理以及保费算5.责任准备金的计算责任准备金的计算第一节第一节 利息与年金利息与年金 一、利息的度量一、利息的度量（一）利息的含义（一）利息的含义 定义：定义： 在一定时期内，借用一定数量的资本所在一定时期内，借用一定数量的资本所付出的成本或借出一定数量的资本所得到的报酬付出的成本或借出一定数量的资本所得到的报酬。一般用。一般用 It表示。表示。在某种意义上，利息可以理解为在某种意义上，利息可以理解为 租金租金 的一种形的一种形式，即借方向贷方支付的由于资金转让而在一段式，即借方向贷方支付的由于资金转让而在一段时间内不能使用该笔资金所引起的损失。时间内不能使用该笔资金所引起的损失。一般来说，利息包含对一般来说，利息包含对 机会成本的补偿和对风机会成本的补偿和对风险的补偿。险的补偿。 几个基本概念：几个基本概念： 本金、积累值、第本金、积累值、第 t时刻的利息、初时刻的利息、初始时刻到第始时刻到第 t时刻的利息、积累函数、折（贴）现函时刻的利息、积累函数、折（贴）现函数、现值数、现值本金：本金： 开始时投资的金额或用来生息的初始投资资本开始时投资的金额或用来生息的初始投资资本称为本金。一般用称为本金。一般用 P表示。表示。积累值（终值）：积累值（终值）： 本金在一定时间之后所积累的数额本金在一定时间之后所积累的数额或业务开始一定时间之后回收的总金额称为该时刻或业务开始一定时间之后回收的总金额称为该时刻的积累值（终值）。一般用的积累值（终值）。一般用 At或或 A（ t） 表示。表示。第一节第一节 利息与年金利息与年金第第 t时刻的利息（时刻的利息（ It）：）：0 1 2 t-1 t第 1期 第 2期 第 t期It=At-At-1从初始时刻到第从初始时刻到第 t时刻的利息：时刻的利息：At-P=I1+I2+It 影响利息大小的三要素：影响利息大小的三要素： 本金、利息率、时间本金、利息率、时间积累函数：积累函数： 也称为也称为 t期积累因子，是单位本金在期积累因子，是单位本金在 t期末期末的积累值。的积累值。考虑考虑 1单位本金，定义该投资在第单位本金，定义该投资在第 t时刻的积累值为时刻的积累值为a(t)，我们将，我们将 a(t)定义为该投资的积累函数。其中，定义为该投资的积累函数。其中， a(0)=1。假设初始投资为假设初始投资为 K，那么，那么 A (t)=Ka(t )。a(t)可以看作是积累值可以看作是积累值 A (t)在在 K=1时的特例。时的特例。 t期折现因子或折现函数期折现因子或折现函数 ： 为了使在第为了使在第 t期末的积累期末的积累值为值为 1，而在开始时进行投资的本金金额，一般用，而在开始时进行投资的本金金额，一般用 PV表表示折现值。例如：为了使示折现值。例如：为了使 t期末的积累值期末的积累值 a(t)=1，而在初，而在初期进行投资的本金金额。期进行投资的本金金额。折现因子或折现函数表现为折现因子或折现函数表现为 积累因子的倒数：积累因子的倒数：a-1(t)， 一般定义一般定义 1期折现因子为期折现因子为 v，v= a-1(1)=1/1+i例如：如果例如：如果 a(t)=1+2t, a-1(t)=1/(1+2t)。A (t)=Ka(t )，如果，如果 K= a-1(t)，那么：，那么：A (t)=Ka(t )= a-1(t)a(t)=1现值为了在为了在 t期末得到某个积累值，而在开始期末得到某个积累值，而在开始时投资的本金金额称为该积累值的现值（或时投资的本金金额称为该积累值的现值（或折现值）。折现值）。折现因子：为了使在第折现因子：为了使在第 t期末的积累值为期末的积累值为 1，而，而在开始时进行投资的本金金额在开始时进行投资的本金金额如果如果 t期末支付期末支付 k，那么，那么 t期末期末 k的现值为的现值为k a-1(t)（二）实际（二）实际 利率利率利率是利息的利率是利息的 第一种第一种 度量方式，可以将度量方式，可以将绝对数的利息转变为相对数，去掉量纲、规绝对数的利息转变为相对数，去掉量纲、规模等影响，用以衡量借款成本或投资收益。模等影响，用以衡量借款成本或投资收益。实际利率是指该度量期内得到的利息金实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金之间的比率额与此度量期开始时投资的本金之间的比率，一般用，一般用 it代替，用百分数表示。代替，用百分数表示。实际利率的计算公式实际利率的计算公式实际利率是单位本金在给定时期中产生的利息实际利率是单位本金在给定时期中产生的利息金额，与给定的时期有关。金额，与给定的时期有关。例题： 1. 教材 p8（三）单利和复利（三）单利和复利在投资期为多个或非整数个度量期时，在投资期为多个或非整数个度量期时，根据实际利率计算积累值和利息的两种不同根据实际利率计算积累值和利息的两种不同的方式。的方式。 单利单利只有本金产生利息，而已产生的利息在只有本金产生利息，而已产生的利息在后面的时期不再生息。后面的时期不再生息。 考虑考虑 1单位本金，如果在单位本金，如果在 t时刻的积累值时刻的积累值为：为： a (t)=1+i t ，那么可以说该笔投资以每期，那么可以说该笔投资以每期单利单利 i计息，并将这样产生的利息称为单利。计息，并将这样产生的利息称为单利。单利计息的特征单利计息的特征 :1. 利息恒定利息恒定It=A(t)-A(t-1)=ka(t)-a(t-1)=k1+it-1-i(t-1)=k i2. 实际利率递减实际利率递减d it /d t1） :(1+i)t1+it 复利产生更大积累值复利产生更大积累值较短时期（较短时期（ t1时单利、复利时单利、复利下积累值的比较。下积累值的比较。(2) 单利、复利条件下，单利、复利条件下， It的的变化趋势。变化趋势。(3) 单利、复利条件下，单利、复利条件下， it的的变化趋势。变化趋势。tAt It it(%)单利 复利 单 利 复利 单 利 复利初始 100 100 0 0 0 01 105 105 5 5 5 52 110 110.25 5 5.25 4.76 53 115 115.76 5 5.51 4.55 54 120 121.55 5 5.79 4.35 55 125 127.63 5 6.08 4.17 5习题：习题： 1. 已知：已知： A(t)=2t+ +5 ，求，求 :（ 1）对应的）对应的 a(t)，（，（ 2） I3, （ 3） i4解： （ 1） a(t)=A(t)/k=1+0.4t+（ 2） I3=A(3)-A(2)=2+（ 3） i4=I4/A(3)=0.1782.若若 A(3)=100， in=0.01n，求：，求： I5=?解：解： I5/A(4)=i5=0.05I5=0.05A(4)A(4)-A(3)/A(3)=i4=0.04， A(3)=100A(4)=104因此，因此， I5=0.05A(4)=5.23. 如果如果 3000元在元在 5年半内积累到年半内积累到 5000元，求元，求：单利利率、复利利率。：单利利率、复利利率。解：单利利率：解：单利利率： 3000（ 1+5.5i） =5000i=0.121复利利率：复利利率： 3000（ 1+i） 5.5=5000i=0.09734. 300元投资复利计息经过元投资复利计息经过 3年增长至年增长至 400元，求：分别在第元，求：分别在第 2年末、第年末、第 4年末、第年末、第 6年末年末各付款各付款 500元的现值之和。元的现值之和。解：复利条件下：解：复利条件下： a(t)=(1+i)tA(3)=ka(3)=300(1+i)3=400i=0.10064现值：现值： 500a-1(2)+a-1 (4)+a-1 (6)=1034.7 (四四 )实际贴现率实际贴现率年初向银行借款年初向银行借款 100元，利息为元，利息为 6元，期元，期限为一年，银行要求在年初把利息还清？限为一年，银行要求在年初把利息还清？100 10694 100定义：定义： 一个度量期内的实际贴现率为该度量期内取一个度量期内的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，一般用得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，一般用d表示。表示。即：即： dt=It/A(t)=A(t)-A(t-1)/A(t)A(t)=A(t-1)(1-d)-1 A(t-1)=A(t)(1-d) it=It/A(t-1)例题： 6. 教材 p10，例 2-3。it=A(t)-A(t-1)/At-1=100-94/94=6.38%dt= It/A(t)=100-94/100=6%实际贴现率实际贴现率 是对期初支付的利息的度量，而是对期初支付的利息的度量，而 实际利率实际利率是对期末支付的利息的度量。是对期末支付的利息的度量。复利假设下实际贴现率为常数复利假设下实际贴现率为常数复利条件下，对任意正整数复利条件下，对任意正整数 t，有：，有：dn=a(t)-a(t-1)/a(t)=(1+i)n-(1+i)n-1/(1+i)n=i/(1+i)这种情况下的贴现称为这种情况下的贴现称为 “ 复贴现复贴现 ” ，类，类似于似于 “ 复利复利 ” 。 例题：例题： 7. 某人到银行存入某人到银行存入 1000元，第一年末元，第一年末存折上余额为存折上余额为 1050元，第二年余额为元，第二年余额为 1100元，求：第一、二年的实际利率和实际贴现元，求：第一、二年的实际利率和实际贴现率。率。实际利率：实际利率： i1=A(1)-A(0)/A(0)=(1050-1000)/1000=5%i2=A(2)-A(1)/A(1)=(1100-1050)/1050=4.762% 实际贴现率实际贴现率 :d1=A(1)-A(0)/A(1)=(1050-1000)/1050=4.762%d2=A(2)-A(1)/A(2)=(1100-1050)/1100=4.545% “等价等价 ”的概念的概念实际利率和实际贴现率都是度量利息的方实际利率和