线性回归案例

数学建模之统计模型数学建模之统计模型一、线性回归一、线性回归人们关心的变量 (因变量因变量 )受另外几个变量 (自变量自变量 )的关联性 (非因果性非因果性 )的影响，需要建立这些变量的数学模型，使得能够根据自变量的数值预测因变量的大小，或者解释因变量的变化， 达到预测、控制等目的 。本课重点以案例为依托重点介绍方法。一元线性回归 多元线性回归回归分析数学模型及定义 *模型参数估计 *检验、预测与控制 可线性化的一元非线性回归（曲线回归）数学模型及定义 *模型参数估计 *多元线性回归中的检验与预测案例介绍案例介绍背景、目标、变量和分析案例背景 目前中国的资本市场逐渐成熟，投资于股市成为众多企业乃至个人的重要理财方式。因此 利用上市公利用上市公司司 当年的公开的财务指标当年的公开的财务指标 对来年对来年 盈利状况盈利状况 予以预测予以预测就成为投资人最重要的决策依据。 本案例随机抽取深市和沪市 2002年和 2003年容量分别为 500个的样本，对上市公司的净资产收益率（return on equity, ROE）进行预测。案例目标与变量 目 标：盈利预测 因 变 量：下一年的净资产收益率（ ROE） 自 变 量：当年的财务信息（指标） 样本容量： 2002年 500； 2003年 500 Dependent variable independent variable (predictor, predictive variable, covariate)自变量 ROEt: 当年净资产收益率 ATO: 资产周转率 （ asset turnover ratio） LEV: 债务资本比率 （ debt to asset ratio）反映公司基本债务状况 PB: 市倍率 （ price to book ratio）反映公司预期的未来成长率 ARR: 应收账款 /主营业务收入 （ account receivable over total income） 反映公司的收入质量 PM: 主营业务利润 /主营业务收入 （ profit margin）反映公司利润状况 GROWTH: 主营业务增长率 （ sales growth rate）反映公司已实现的当年增长率 INV: 存货 /资产总计 （ inventory to asset ratio）反映公司的存货状况 ASSET: （对数）资产总计 （ log-transformed asset）反映公司的规模探 寻 因 变 量同自 变 量之是的数量关系， 为 此需假 设 它 们 之 间的数量关系 满 足某种函数形式，而最 简单 最常用的函数形式就是 线 性函数。 其中 为 第 j 个解 释 性 变 量 xij 的回 归 系数 . 线 性 针对 未知系数回归分析的根本目的 其中 为 第 j 个解 释 性 变 量 xij 的回 归 系数 .公司当年的 净资产 收益率 xi1=ROEt 资产 周 转 率 xi2=ATO 债务资 本比率 xi3=LEV 市倍率 xi4=PB 应 收 帐 款 /主 营业务 收入 xi5=ARR主 营业务 利 润 /主 营业务 收入 xi6=PM主 营业务 收入增 长 率 xi7=GROWTH 存 货 /资产总计 xi8=INV对 数 变换 后的 资产总计 xi9=ASSET. 用 代表 这 500 个 样 本 . 用 代表相关的 p个解 释变 量 ( p=9 ). 用 表示来自于第 i 个公司的下年度 净资产 收益率 (ROE).对模型的进一步分析 哪个自变量在预测方面最有用？ 哪个自变量是最重要的？ 如何使用模型进行预测？Step 1 描述分析描述分析 获得对数据的整体性认识 发现异常值 重要的趋势 读取数据 在 SPSS中打开数据文件 roe.sav 在 R环境下将数据读入系统并显示，使用如下语句：数据的概括性度量 SPSS： Analyze Descriptive Statistics Explore R语句：变量间相关性分析 SPSS： Analyze Correlate Bivariate R语句： SPSS： Graph Scatter R语句： plot(a1$ROEt,a1$ROE)Step 2 模型的建立模型的建立模型、假设和参数估计模型形式及假设 线性回归模型 模型假设 独立性假设 不同的观测之间是互相独立的； 残差项同解释变量之间的独立 . 同方差假设 残差项的方差不依赖于自变量的取值，为一个常数 . 正态性假设 残差项服从正态分布 .参数估计 模型 : 最小二乘估计量： 方差估计量：拟合优度 总平方和 残差平方和 R-Square参数估计的软件实现 SPSS： Analyze Regression Linear R语句：lm1=lm(ROEROEt+ATO+PM+LEV+GROWTH+PB+ARR+INV+ASSET,data=a1) summary(lm1)Step 3 显著性检验显著性检验 F检验 模型的显著性 t 检验 自变量的显著性F检验 假设 检验统计量 拒绝域T检验 假设 检验统计量 拒绝域记 ( X)-1=（ cii) i=0,1,2, , p显著性检验的结论 从 F检验的结果看，模型的线性关系是显著的。 从 T检验的结果看， ROEt和 LEV两个变