线性代数_矩阵在图形变换中的应用

矩阵在图形变换中的应用摘要：本文从几何计算的理论和算法出发，探索了图形变换的几何化表示机制，并将矩阵运算融入其中，大大简化了计算的过程关键词：三维图形的集合变换 矩阵背景：图形的几何变换的矩阵表示多数用于计算机图形学。一个图形系统应该允许用户去定义一个图形，包括对图形的各种变换。例如可以放大一个图形以便使某一部分能更清楚地显示，缩小图形以便看到图形更多的部分。可以将变换应用于符号，使符号平移和旋转。在几何造型中，可用图形变换改变物体间的相对位置，用透视变换和投影变换产生同一三维景物在各种不同视点位置和视线方向下的不同影像，在视点改变非常快或物体相对运动的应用场合，变换必须反复运用。因此，找到一个有效的方法去实现图形变换是十分必要的。三维平移变换三维平移变换：将空间点(x,y,z)平移到新空间点(x,y,z)，齐次变换矩阵为：变换过程为：x y z 1=x y z 1T(Tx,Ty,Tz)其中，T x,Ty,Tz分别为在 x,y,z 坐标轴方向上的平移量。三维比例变换三维比例变换：沿各坐标轴方向分别乘以一个比例系数，以实现各个方向上的缩放功能。比例变换矩阵为变换过程为x y z 1=x y z 1S(Sx,Sy,Sz)其中，S x,Sy,Sz分别为在 x,y,z 坐标轴方向上的比例系数。三维旋转变换三维旋转变换：是指将物体绕某个坐标轴旋转一个角度，所得到的空间位置变化。我们规定旋转正方向与坐标轴矢量符合右手法则，即从坐标轴正值向坐标原点观察，逆时针方向转动的角度为正。如图所示。绕三个基本轴的旋转变换：1、绕 z 轴旋转 角。空间物体绕 z 轴旋转时，物体各顶点的 x,y 坐标改变，而 z 坐标不变。绕 z 轴旋转矩阵为：2、绕 x 方向旋转 角同理，绕 x 轴旋转变换矩阵为：3、绕 y 方向旋转 角同理，绕 y 轴旋转变换矩阵为：绕空间任意轴的旋转变换图 a:变换之前绕空间任意轴的旋转变换：先将图形随直线（旋转轴）一起移动和旋转并使直线与某一坐标轴重合，再将图形绕直线进行旋转变换，最后将旋转变换后的图形和直线一起作相反的旋转和移动并使直线回到原来位置。具体变换步骤是：1、平移使点（x 1,y1,z1）位于坐标原点，变换矩阵是：2、绕 x 轴旋转，使直线处在 x-z 平面上。为此，旋转角应等于直线在 y-z平面上的投影与 z 轴夹角。因此投影线与 z 轴夹角 的旋转变换矩阵是：、3、绕 y 轴旋转，使直线与 z 轴重合。如图所示，直线与 z 轴夹角- 的旋转变换矩阵是：、4、进行图形绕直线即绕 z 轴旋转，旋转矩阵是：5、使直线回到原来位置，结果图形即为原图形绕指定直线旋转变换后的图形。直线回到原来位置需要进行（3）（1）的逆变换，其中：图形绕空间任意轴旋转的总变换矩阵是H = TRxRyRzRy-1Rx-1T-1三维对称变换三维对称变换可以是关于给定对称轴的或者是关于给定对称平面的变换。三维对称矩阵的建立类似于二维的。关于给定对称轴的对称变换等价于绕此轴旋转 180o。关于平面的对称变换等价于四维空间中的 180o旋转。当对称平面是坐标平面时（x-y,或 x-z,y-z），可以将此变换看成是左手系和右手系之间的转换。 上图给出了将坐标系从右手系转换到左手系的对称变换例子，该变换改变z 坐标符号，保持 x 坐标和 y 坐标值不变，关于 x-y 平面的点对称变换矩阵为：类似的关于 y-z 平面和 x-z 平面的对称变换矩阵分别将 x 和 y 的