第十一讲 分数、百分数应用题初步

讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每一节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学而思讲义编写组 学而思教育 07 年春季班讲义 五年级 提高班 第十一讲 教师版 Page 1 of 9第十一讲 分数、百分数应用题初步教学说明：在课本上此章节应为小学六年级上半学期内容，也是整个小学的重难点，但各各学校的进度不一，有部分学校已经讲解过，在我们奥数的学习进度中也必须提前有所了解，所以教师在讲解时侧重于基础知识的理解应用提高，同时兼顾本班孩子的进度，进行适当补充，为我们以后的工程问题、经济浓度等问题打好基础！我们将“列方程解应用题”放在此讲之前，意在让学生多一种解决分数、百分数应用题的方法，增加他们的信心，但主体仍以算术方法为主，碰到个别例题教师可讲述方程思路.古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有一段话：“他生命的六分之一是幸福的童年再活十二分之一脸上长起了细细的胡须，他结了婚还没有孩子，又度过了七分之一再过了五年，他幸福地得到了一个儿子可这孩子光辉灿烂的寿命只有他父亲的一半儿子死后，老人在悲痛中活了四年，也结束了尘世的生涯” 你能根据这段话推算出丢番图活了多少岁？多少岁结的婚吗？怎么样？你能根据大数学家丢番图的叙述找到答案么？呵呵！学习了今天的知识，你就可以在课后解决这个“数学趣题”了！好了，让我们开始今天的学习吧！内容概述在解有关分数的应用题时，首先要弄清以下几个基本问题：（1）如何求一个数的几分之几（或百分之几）？求一个数的几分之几，只需要将这个数乘以几分之几就得到例如：5 的 24%是多少？ 解答：524%=1.2 . （2）如何求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）？求一个数是另一个数的几分之几，只需要将前一个数除以后一个数就得到例如： 是 的几分之几？ 解答： .3423489（3）已知一个数的几分之几（或百分之几） ，如何求这个数？已知一个数的几分之几，要求这个数，只需要将这个几分之几的数除以几分之几例如： 一个数的 等于 18，那么这个数等于多少？ 解答： .23 23187分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量也称为：单位“1” ，例如 a 是 b 的几分之几，就把数 b 看作单位“1” 在几个量中，弄清哪一个是单位“1”很重要，否则容易出错误而百分数应用题中所涉及的百分数，只是分母是 100 的分数，因而计算的方法和分数应用题是一样的，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每一节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学而思讲义编写组 学而思教育 07 年春季班讲义 五年级 提高班 第十一讲 教师版 Page 2 of 9类型：单位“1”不变【例 1】 （奥数网习题库） （难度系数：）六年级男生有 50 人，女生有 40 人， （1）女生人数是男生人数的几分之几？（2）男生人数比女生人数多百分之几？（3）女生人数比男生人数少百分之几？（4）女生比男生少的人数是全班人数的百分之几？分析：此题四个问题都是求一个数是另一个数的百分之几，解答的关键是找准单位“1” ，要注意帮助学生找一些典型字眼如：“的” 、 “占” 、 “是” 、 “比”等.（1） 男生人数为单位“1” ，4050=4/5；（2） 女生人数为单位“1” ， （50-40）40=25%；（3） 男生人数为单位“1” ， （50-40）50=20%；（4） 全班人数为单位“1” ， （50-40）（50+40）11.1% .【巩固】一个机关精简机构后有工作人员 120 人，比原来工作人员少 40 人，精简了百分之几？分析：“精简了百分之几”是在说“现在比原来少的人数是原来工作人员的百分之几” 单位“1”就是“原来工作人数” ，40（120+40）=25%.【例 2】 （1） （首师附入学测试题） （难度系数：）小强看一本书，每天看 15 页，4 天后加快进度，又看了全书的 ，还剩下 30 页，这本故事书有多少页？25（2） （数学趣题） （难度系数：）古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有一段话：“他生命的六分之一是幸福的童年再活十二分之一脸上长起了细细的胡须，他结了婚还没有孩子，又度过了七分之一再过了五年，他幸福地得到了一个儿子可这孩子光辉灿烂的寿命只有他父亲的一半儿子死后，老人在悲痛中活了四年，也结束了尘世的生涯” 你能根据这段话推算出丢番图活了多少岁？多少岁结的婚吗？分析：（1）教师可先讲解下题：小强看一本故事书，每天看 20 页，5 天后还剩下全书的 没看，这本故15事书有多少页？分析： （页）. 回到原题：4 天看了 154=60（页） ，而 60+30=901(205)(25页占全书的：1- = ，这本故事书有：90 =150（页）.33（2）活的岁数： (岁) ，结婚年龄： （岁）.(4)18627 84()261【例 3】 （奥数网习题库） （难度系数：）有男女同学 325 人，新学年男生增加 25 人，女生减少 5，总人数增加 16 人，那么现有男同学多少人？分析：男生增加 25 人，总人数只增加 16 人，说明女生减少 9 人，而女生减小 5，故 9 人对应的为5，女生原人数为 95=180 人讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每一节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学而思讲义编写组 学而思教育 07 年春季班讲义 五年级 提高班 第十一讲 教师版 Page 3 of 9【例 4】 （迎春杯刊赛） （难度系数：）甲、乙、丙三人一起买了八个面包平分着吃，甲拿出五个面包的钱，乙付了三个面包的钱，丙没带钱，等吃完后一算，丙应该拿出四元钱，问：甲应收回多少钱?(以角为单位)分析：每人应付 个面包的钱，丙拿出的 40 角就是 个面包的钱，所以一个面包的价格应为：3838（角） ，甲多付的钱为： （角） ，所以甲应收回 35 角.4015(5)15【例 5】 （奥数网习题库） （难度系数：）好味多西饼屋推出一款新蛋糕，第一天卖出了全部的 20%，第二天卖出了剩下的 ，第二天比第一天多卖出 40 个，那么好味多西饼屋这次共推出新蛋糕多少个？12分析：好味多西饼屋推出新蛋糕个数看作“1” ， （个）.140(2%)02【巩固】 （迎春杯决赛）迎春农机厂计划生产一批插秧机，现已完成计划的 56，如果再生产 5040 台，总产量就超过计划产量的 16那么，原计划生产插秧机台分析：5400(1+16一 56)=9000(台).【例 6】 （小数报数学竞赛） （难度系数：）某运输队运一批大米第一天运走总数的 多 60 袋，15第二天运走总数的 少 60 袋还剩下 220 袋没有运走。这批大米原来一共有多少袋？14分析：可画图帮助学生理解，(220-60+60)(1- - )=400（袋） 此题也可使用倒推法解决.154【巩固】小强看一本故事书，第一天看了全书的 还多 21 页，第二天8看了全书的 少 6 页，还剩 172 页，这本故事书一共有多少页？1分析：如右图， 1(72)()264().页【例 7】 （奥数网习题库） （难度系数：）奥数网派出 60 名选手参加 2008 年“华罗庚金杯小学数学邀请赛” ，其中女选手占 正式比赛时有几名女选手因故缺席，这样就使女选手人数变为参赛选手总14数的 正式参赛的女选手有多少名？21分析： 因为女选手人数有变化，男选手人数未变，所以抓住男选手人数不变求解把总人数视为“1” ， 男选手人数是 60(1- )=45(人)，男选手人数占正式参赛选手总数的 1- ，所以正式参赛选手总数是：14 21讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每一节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学而思讲义编写组 学而思教育 07 年春季班讲义 五年级 提高班 第十一讲 教师版 Page 4 of 945(1- )=55(人)，正式参赛的女选手人数是 55 =10(人)21 21【例 8】 （小数报数学竞赛初赛） （难度系数：）甲、乙两人星期天一起上街买东西，两人身上所带的钱共计是 86 元.在人民市场，甲买一双运动鞋花去了所带钱的 ，乙买一件衬衫花去了人民币 1649元这样两人身上所剩的钱正好一样多问甲、乙两人原先各带了多少钱?分析：把甲所带的钱视为单位“1” ，那么甲原来带了 （元） ，乙原来带了 415(861)(2)4元类型：单位“1”变化【例 9】 （小数报数学竞赛二试） （难度系数：）专业户王老伯养了许多鸡鸭，鸡的只数是鸭的只数的倍鸭比鸡少几分之几？ 14分析：把鸭看成 1，那么鸡就是 ，鸭比鸡少：（ -1） = .（此时的单位“1”是鸡的只数）1 41 4 5【巩固】某校男生比女生多 ，女生比男生少几分之几？ 分析：男生比女生多 ，则男生有37 371+ = ，女生比男生少 = .37001【例 10】 （1）（十一中学入学考试题）（难度系数：）某工厂二月份比元月份增产 10，三月份比二月份减产 10问三月份比元月份增产了还是减产了？（2）一件商品先涨价 15，然后再降价 15，问现在的价格和原价格比较升高、降低还是不变？分析：（1）一定会有同学认为三月份比元月份不增不减，这对吗？工厂二月份比元月份增产 10，我们就要将元月份产量看作 1，将元月份产量看作 1，则二月份产量为： ，三月比二月减产11(0%)10，则三月份产量为： ，所以三月份比元月份减产了 .9(0%)（2）1（1+15%）（1-15%）=0.97751，所以现在的价格比原价降低了.【例 11】 （迎春杯决赛） （难度系数：）路铁水凝成铁块 ，其体积缩小了 ，那么这个铁块13又熔化成铁水（不计损耗） ，其中体积增加了几分之几?讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每一节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学而思讲义编写组 学而思教育 07 年春季班讲义 五年级 提高班 第十一讲 教师版 Page 5 of 9分析：设铁水的体积为 1，则铁块为 1- = 现在变回来，那么铁块的体积就要变为单位 1，则铁水134的体积就为 l = ，故体积增加了： .341()3【例 12】 （07 年希望杯培训试题） （难度系数：）某校学生参加大扫除的人数是未参加大扫除人数的 ，后来又有 20 名同学参加大扫除，实际参加的人数是未参加人数的 ，这个学校有多少人？14 13分析： （人）.120403【巩固】 （迎春杯决赛） （难度系数：）小刚给王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的 ，第二次运38了 50 块，这时已运来的恰好是没运来的 .问还有多少块蜂窝煤没有运来？57分析：运完第一次后，还剩下 没运，再运来 50 块后，已远来的恰好是没运来的 ，也就是说没运来的8 57占全部的 ，所以，第二次运来的 50 块占全部的： ，全部蜂窝煤有： （块）712 718241024，没运来的有： （块）.07【例 13】 （华杯赛口试） （难度系数：）一根木杆，第一次截去了全长的 ，第二次截去所剩12木杆的 ，第三次截去所剩木杆的 ，第四次截去所剩木杆的 ，这时量得所剩木杆长为 6 厘米问：131415木杆原来的长是多少厘米?分析：法 1：设木杆原长为 1，第一次截后所剩为原长的 ；第二次截后所剩为 (1 一 )= ；第三21231次截后所剩为 (1 一 )= ；第四次截后所剩为 (1 一 )= ，即原长的 等于 6 厘米，由部分341455求整体得：木杆原长=6 =65=30(厘米)5法 2: 倒推法！注意单位“1” 的不断变化.此法方便学生解答出类似附加 8 的题目.【巩固】建筑工地需要一批水泥，从仓库第一次运走全部的 ，第二次运走余下的 ，第三次运走（前2513两次运后）又余下的 ，这时还剩下 15 吨水泥没运走这批水泥共是多少吨？34讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每一节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学而思讲义编写组 学而思教育 07 年春季班讲义 五年级 提高班 第十一讲 教师版 Page 6 of 9分析：法 1：把这批水泥视为单位“1” ，第一次远走后所剩为： ，第二次远走后所剩为：2315，第二次远走后所剩为： ，即原来的 即为 15 吨，原来有水泥=32()523(1)5400（吨）01法 2:画线段图帮助分析，依据逆向思路可以得出，最后剩下的 15 吨对应的是“又余下”的 ，因此求出14“又余下”为 60 吨，这时 60 吨对应得恰好是“余下”的 ，这样可以求出“余下”的吨数为 90 吨，即23全部的 ，所以原有水泥 150 吨.35附加题目 【附 1】 （华杯赛初赛） （难度系数：）右图是一个园林的规划图，其中，正方形的 是草地；圆的 是竹林；竹林比草地多占地 450 平方米 问：水池3467占多少平方米?分析：把水池的面积作为 1 个单位，那么草地的面积便是 3 个单位，而竹林的面积是 6 个单位。从而竹林比草地多出的面积是（6-3=）3 个单位。3 个单位的面积是 450 平方米，可见 1 个单位的面积是4503=150（平方米） 。【附 2】 （迎春杯刊赛） （难度系数：）村里种了新瓜，男女老少品尝它小伙每人吃一个，姑娘两人分一瓜；老人一瓜三人吃，四个小孩吃一瓜男女老少四个组，一共吃了五十瓜，各组人数都相等，每组多少人品尝瓜？分析：把各组人数都视为“1” ，那么有：50(1+ + + )=24（人）.2134【附 3】 （北大附中入学测试题） （难度系数：）有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的 ，把这三堆棋52子集中在一起，问白子占全部棋子的几分之几?分析：不妨认为第二堆全是黑子，第一堆全是白子，(即将第一堆黑子与第二堆白子互换)，第二堆黑子是全部棋子的 ，同时，又是黑子的 1- 所以黑子占全部棋子的 (1- )= ，白子占全部棋子的31523191- = .954讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每一节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学而思讲义编写组 学而思教育 07 年春季班讲义 五年级 提高班 第十一讲 教师版 Page 7 of 9【附 4】 （小学数学奥林匹克初赛） （难度系数：）足球赛门票 15 元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，则一张门票降价多少元？分析：设原来收入是 1现在收入是 1+ ，那么原收入有： ，因此每张门票降价：1514()52515(1- )=3(元)45【附 5】 （迎春杯刊赛） （难度系数：）小莉和小刚分别有一些玻璃球，如果小莉给小刚 24 个，则小莉的玻璃球比小刚少 ；如果小刚给小莉 24 个，则小刚的玻璃球比小莉少 小莉和小刚原来共有73 85玻璃球多少个？分析：小莉给小刚 24 个时，小莉是小刚的 (=I 一 )，即两人球数和的 ；小刚给小莉 24 个时，小74314莉是两人球数和的 (= )，因此 24+24 是两人球数和的 一 = 1858从而，和是(24+24) =132(个)4【附 6】（华校课本）（难度系数：）菜园里西红柿获得丰收，收下全部的 时，装满 3 筐还多824 千克，收完其余部分时，又刚好装满 6 筐，求共收西红柿多少千克？分析：法 1：1- = 是 6 筐，所以总筐数就是： （筐） ，收下全部的 就是385 53698（筐） ， 筐比 3 筐多 筐，每筐是：24 =40（千克） ，共收西红柿 40 =384（千9553395克）.法 2： （千克）.34(1)63848【附 7】 （祖冲之杯数学邀请赛） （难度系数：）某班了次集会，请假人数是出席人数的 ，中途19又有一人请假离开，这样一来，请假人数是出席人数的 ，那么，这个班共有多少人？32分析：因为总人数未变，以总人数作为”1” 原来请假人数占总人数的 ，现在请假人数占总人数的19，这个班共有：l( - )=50(人)323219讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每一节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学而思讲义编写组 学而思教育 07 年春季班讲义 五年级 提高班 第十一讲 教师版 Page 8 of 9【附 8】 （07 年希望杯 1 试题） （难度系数：）小红看一本故事书，第一天看了这本书的一半又 10页，第二天看了余下的一半又 10 页，第三天看了 10 页正好看完。这本故事书共有多少页？分析：利用倒推法解. 第一天余下了 ，原有 .1(0)4021(0)2练习十一1一个水箱中的水是装满时的 ，用去 200 立升以后，剩余的水是装满时的 ，这个水箱的容积是多少56 34立升？分析：200( - )=2400(立升)56342小新暑假练习写字，每天写 3 页，5 天后加快速度又写了全部的 ，还剩下 25 页，小新共练习多少页？15分析： （页）.1(53)(03向阳生产队用拖拉机耕地，第一天耕了全部土地的 25，第二天耕了剩下的三分之二，第二天比第一天多耕 30 亩，问：这个生产队共有多少亩土地?分析：这个生产队共有土地：30 (125)一 25=120(亩).234六年级选出男生的 和 12 名女生参加数学竞赛剩下的男生人数是女生的 2 倍已知六年级共有学1生 156 人，其中男生有多少人?分