第四章 函数的连续性

1 连续性概念2 连续函数的性质3 闭区间上连续函数的性质1 连续性概念解： 1、 y120 21 x2、 (1,2)从图象上看， 在 处 “连续 ”， 在 处 “间断 ”。2、 ， 1、 引例 求下列 函数在 处的函数值和极限，并作出图象。图象： 图象： yx011 22 (1,2)函数的连续性设函数 y=f(x)在点 x0的某一个邻域 U(x0)内有定义 称 Dy=f(x0+Dx)-f(x0)为函数 y的增量 在邻域 U(x0)内 若自变量 x从初值 x0变到终值 x1 则称 Dx=x1-x0为自变量 x的增量 DxDyu 函数的增量 u 函数的改变量（增量） 设有函数 ，在函数定义域内，当 从变到 时，函数 相应地从 变到 称为函数 在 处的改变量（增量）。当变量 由初值 变到终值 时，称终值与初值的差 为变量 的改变量（增量），记为 ，即 一、函数连续性的概念那么称函数 在点 处连续，点 称为函数 的 连续点。2、函数在一点处的连续性 定义 如果 （ 1）函数 在 处及其近旁有定义；（ 2） 存在； （ 3）提示 :设 xx0+Dx 则当 Dx0时 xx0 因此 设函数 y=f(x) 在点 x0的某一个邻域内有定义 如果那么就称函数 y=f(x) 在点 x0处连续 Dyf(x0+Dx)f(x0) 2、函数在一点处的连续性 讨论 :如何用 ed 语言叙述函数的连续性定义？e 0 d 0 当 |xx0|d 有 |f(x)f(x0)|e 提示 :设函数 yf(x) 在点 x0的某一个邻域内有定义 如果那么就称函数 yf(x) 在点 x0处连续 2、函数在一点处的连续性 左连续与右连续结论函数 y=f(x)在点 x0处连续 函数 y=f(x)在点 x0处左连续且右连续 设函数 y=f(x) 在点 x0的某一个邻域内有定义 如果那么就称函数 y=f(x) 在点 x0处连续 2、函数在一点处的连续性 （ 2）函数的左连续、右连续：设函数 在 处及其左（或右）近旁有定义，如果 （或 ），那么称函数 在 左连续（或右连续）。（ 1）如果函数 在开区间 内每一点都连续，称函数 在 内连续。3、函数在区间上的连续性如果 在开区间 内连续，且在右端点处左连续，在左端点 处右连续，那么称函数 在闭区间 上连续。连续函数的图象是一条连续不间断的曲线。函数 y=sin x 在区间 (- +)内是连续的 这是因为 函数 y=sin x在 (- +)内任意一点 x处有定义 并且在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续 连续函数举例3、函数在区间上的连续性例 1、 设 ，求适合下列条件的函数的改变量（增量）。（ 1） 由 1变到 1.2 （ 2） 由 1变到 0.8 （ 3） 由 1变到（ 2） （ 3） 解： （ 1） 练习 1、 求函数 ，当 ， 时的改变量。解： 的初值为 1，终值为 1.5例 2 讨论函数 在 处的连续性，并作出函数的图象。解： 根据定义的三个步骤进行验证：（ 1） 的定义域是 ，故 在及其附近有定义， ; （ 2） 所以 （ 3） 因此 在 处连续。 x041 2 3-1-2123y符合定义的三个步骤。 在 处连续 。例 3 适当选取 的值，使函数解： （ 1） 的定义域是 ，在 及其附近有定义 。（ 2）即 ，此时欲使 在 处连续，须有（ 3）所以 时， 在 处连续。练习 2 用定义讨论函数在 处的连续性并作图。解：由定义的三个步骤进行验证：（ 1）（ 2）所以，（ 3）函数 在 处连续。1-1 xy0二、 函数的间断点如果函数 在 处不连续，那么称函数在 处是间断的，并称点 为函数 的间断点或不连续点。由函数 在 处连续的定义知，当函数有下列三种情形之一时，函数 在 处间断。（ 1） 在 近旁有定义，但在 处没有定义。（ 2） 虽在 处有定义，但 不存在。（ 3） 虽在 处有定义，且 存在，但定理 1 基本初等函数在其定义域内都是连续的。通常把间断点分成两类 设 x0是函数 f(x)的间断点 如果左极限 f(x0-)及右极限f(x0+)都存在 那么 x0称为函数 f(x)的第一类间断点 不属于第一类间断点的间断点 称为第二类间断点 在第一类间断点中 左、右极限相等者称为可去间断点 v间断点的类型注 :.)(,)()(,)(lim0000的可去间断点为则称或有定义但无定义在点而若xfxAxf，xxfAxfxx不相等者称为跳跃间断点 注.)(),(lim)(lim,)(0000的跳跃间断点为函数则称点但右极限都存在的左在点若函数xfxxfxfxxfxxxx + 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点 （ 2） 函数 在 处有定义，但不存在。所以， 是该函数的间断点。例如：（ 1）函数 在 处无定义所以 是该函数的间断点。2-22yx01-1xy0(3) 函数 ，在 处有定义，且 ，但所以 是该函数的间断点。xy10 1间断点举例例 1 例 2 当 x0时 函数值在 1与 +1之间变动无限多次 所以点 x0是函数的间断点 所以点 x0称为函数的振荡间断点 间断点举例所以点 x1是函数的间断点 如果补充定义 令 x1时 y2 则所给函数在 x1成为连续 所以 x1称为该函数的可去间断点 例 3 间断点举例所以 x1是函数 f(x)的间断点 如果改变函数 f(x)在 x1处的定义 令 f(1)1 则函数在x1成为连续 所以 x1也称为此函数的可去间断点 例 4 间断点举例因函数 f(x)的图形在 x0处产生跳跃现象 我们称 x0为函数 f(x)的跳跃间断点 例 5 间断点举例例 4 已知函数 问函数 有无间断点。 解： 点 处可能间断，分三步验证。（ 1） 在 及其附近有定义，且（ 2）不存在所以，函数 在 处间断。三、初等函数的连续性1、定理：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。2、由函数连续的定义，如果函数 在 处连续，有3、分段函数只可能在分段点处间断。例 5 求解： 设因为 是初等函数，其定义域为 ，而 根据初等函数连续性的定理 得到函数在 处连续，练习 3讨论下列函数在给定点处的连续性。（ 1） 在 处（ 2） 在 处解：