第2章线性系统的数学模型

第 2章 线性系统的数学模型内 容 提 要 实际存在的自动控制系统可以是电气的、机械的、热力的、化工的，甚至是生物学的、经济学的等等，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同。本章介绍了系统的各类数学模型如微分方程，传递函数，方框图，信号流图的求取以及它们之间的相互关系。最后介绍用 MATLAB求取系统的数学模型。 第 2章 线性系统的数学模型 知 识 要 点 线性系统的数学模型，拉普拉斯变换，传递函数的定义，非线性特性的线性化处理，方框图的简化，梅逊公式的含义和应用。 第 2章 线性系统的数学模型 描述控制系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式，称为系统的数学模型。常用的数学模型有微分方程、差分方程、传递函数、脉冲传递函数和状态空间表达式等。 建立合理的数学模型，对于系统的分析研究是至关重要的。系统数学模型的建立，一般采用解析法或实验法。 第 2章 线性系统的数学模型 目 录v2.1 线性系统的微分方程v2.2 微分方程的线性化v2.3 传递函数v2.4 方框图v2.5 信号流图v2.6 在 MATLAB中数学模型的表示 v小 结第 2章 线性系统的数学模型 2.1 线性系统的微分方程 （ 1）分析系统工作原理，将系统划分为若干环节，确定系统和环节的输入、输出变量，每个环节可考虑列写一个方程；（ 2）根据各变量所遵循的基本定律 (物理定律、化学定律 )或通过实验等方法得出的基本规律，列写各环节的原始方程式，并考虑适当简化和线性化；（ 3）将各环节方程式联立，消去中间变量，最后得出只含输入、输出变量及其导数的微分方程；（ 4）将输出变量及各阶导数放在等号左边，将输入变量及各阶导数放在等号右边，并按降幂排列，最后将系统归化为具有一定物理意义的形式，成为标准化微分方程。 第 2章 线性系统的数学模型 例 2-1 试列写图 中 所示 RC无源网络的微分方程。输入为 ui(t)， 输出为 u0(t) 。 解 根据基尔霍夫定理，可列出以下式子：第 2章 线性系统的数学模型 整理得：令 T1=R1C1， T2=R2C2， T3=R1C2 则得 该网络的数学模型是一个二阶线性常微分方程。 第 2章 线性系统的数学模型 例 2-2 图为一弹簧阻尼系统，当外力 F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试列写外力 F(t)与位移 y(t)之间的微分方程。 第 2章 线性系统的数学模型 解 弹簧和阻尼器有相应的弹簧阻力 F1(t)和粘性摩擦阻力 F2(t)， 根据牛顿第二定律有 ：其中 F1(t)和 F2(t)可由弹簧、阻尼器特性写出 式中 k 弹簧系数f 阻尼系数第 2章 线性系统的数学模型 整理且标准化 令 称为时间常数；称为阻尼比；称为放大系数。 得第 2章 线性系统的数学模型 例 2-3 电枢控制的它激直流电动机如图所示，电枢输入电压 u0(t)， 电动机输出转角为。 Ra、 La、 ia(t)分别为电枢电路的电阻、电感和电流， if为恒定激磁电流， eb为反电势， f为电动机轴上的粘性摩擦系数， G为电枢质量， D为电枢直径， ML为负载力矩。 第 2章 线性系统的数学模型 解 电枢回路电压平衡方程为 ce为电动机的反电势系数 力矩平衡方程为 式中 为电动机电枢的转动惯量 为电动机的力矩系数 第 2章 线性系统的数学模型 整理得 无量纲放大系数 电机转速 电磁时间常数 机电时间常数 时间常数 电机传递系数第 2章 线性系统的数学模型 无量纲放大系数。 时间常数 电机传递系数第 2章 线性系统的数学模型 例 2-4 热水电加热系统，如图所示，为减小周围空气的热损耗，槽壁是绝热的，控温元件是电动控温开关。 第 2章 线性系统的数学模型 根据能量守恒定律 其中 Qh 加热器供给的热量；QC 贮槽内水吸收的热量；Q0 热水流出槽所带走的热量 :Qi 冷水进入槽带入的热量 :Ql 隔热壁逸散的热量 :C 贮槽水的热容量； V 流出槽水的流量； H 水的比热； R 热阻； Ti 进入槽水的温度； T 槽内水的温度； Te 槽周围空气温度。 第 2章 线性系统的数学模型 整理得 一般情况下，描述线性定常系统输入与输出关系的微分方程为 :或返回第 2章 线性系统的数学模型 2.2 微分方程的线性化 实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等各类非线性现象。严格地讲，几乎所有实际物理和化学系统都是非线性的。目前，线性系统的理论已经相当成熟，但非线性系统的理论还远不完善。因此，在工程允许范围内，尽量对所研究的系统进行线性化处理，然后用线性理论进行分析不失为一种有效的方法。 第 2章 线性系统的数学模型 当非线性因素对系统影响较小时，一般可直接将系统当作线性系统处理。另外，如果系统的变量只发生微小的偏移，则可通过切线法进行线性化，以求得其增量方程式。 第 2章 线性系统的数学模型 非线性函数的线性化，是指将非线性函数在工作点附近展开成泰勒级数，忽略掉高阶无穷小量及余项，得到近似的线性化方程，来替代原来的非线性函数。 第 2章 线性系统的数学模型 假如元件的输出与输入之间关系 x2=f(x1)的曲线如图，元件的工作点为 (x10， x20)。 将非线性函数 x2= f(x1)在工作点(x10， x20)附近展开成泰勒级数 第 2章 线性系统的数学模型 当 (x1 x10)为微小增量时，可略去二阶以上各项，写成 其中 为工作点 (x10， x20)处的斜率，即此时以工作点处的切线代替曲线，得到变量在工作点的增量方程，经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。 第 2章 线性系统的数学模型 图 2-8为一铁芯线圈，输入为 ui(t)， 输出为 i(t)。线圈的微分方程为 第 2章 线性系统的数学模型 当工作过程中线圈的电压和电流只在工作点（u0,i0） 附近变化时，即有 线圈中的磁通 对 也有增量变化，假如在 i0附近连续可微，将在 i0 附近展开成泰勒级数，即 因是微小增量，将高阶无穷小量略去，得近似式 第 2章 线性系统的数学模型 这就是铁芯线圈的增量化方程，为简便起见，常略去增量符号而写成 返回第 2章 线性系统的数学模型 2.3 传递函数 2.2.1 传递函数在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统的传递函数。 即，第 2章 线性系统的数学模型 若已知线性定常系统的微分方程为 式中 c(t)为输出量， r(t)为输入量 。设 c(t)和 r(t)及其各阶导数初始值均为零，对式(2-47)取拉氏变换，得 第 2章 线性系统的数学模型 则系统的传递函数为 或写为 传递函数与输入、输出之间的关系，可用图表示。 第 2章 线性系统的数学模型 2.2.2 传递函数的特点 1.作为一种数学模型，传递函数只适用于线性定常系统，这是由于传递函数是经拉普拉斯变换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算。 2.传递函数是以系统本身的参数描述的线性定常系统输入量与输出量的关系式，它表达了系统内在的固有特性，只与系统的结构、参数有关，而与输入量或输入函数的形式无关。 第 2章 线性系统的数学模型 3.传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的，视系统的输入、输出量而定，它