第二章控制系统的数学模型之一

Automatic Control Theory河南理工电气学院河南理工电气学院自自 动动 控控 制制 原原 理理第第 二二 章章控制系统的数学模型控制系统的数学模型1. 了解 建立系统动态微分方程的一般方法。2. 熟悉 拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式。3. 掌握 用拉氏变换求解微分方程的方法。本章基本要求4. 掌握 传递函数的概念及性质。5. 掌握 典型环节的传递函数形式。6. 掌握 由系统微分方程组建立动态结构图的方法。7. 掌握 用动态图等效变换求传递函数和用梅森公式求传递函数的方法。本章基本要求8. 掌握 系统的开环传递函数、闭环传递函数，对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念。l 2-1 拉普拉斯变换（见附件）拉普拉斯变换（见附件）l 2-2 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型l 2-3 控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型l 2-4 控制系统的结构图与信号流图控制系统的结构图与信号流图l 2-5 MATLAB 工具工具本章主要内容本章主要内容2-2 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型一、概述一、概述在控制系统的分析和设计 中 首先要建立系统的数学模型。控制系统的数学模型： 是描述系统内部物理量 (或变量 )之间关系的数学表达式。1. 建立数学模型的意义(1) 使我们得以暂时离开系统的物理特性，在 一般意义 下研究控制系统的 普遍 规律。(2) 从 定性 的认识上升 数学 定量 的精确认识 (严谨的分析 ) 。在静态条件下 (即变量各阶导数为零 )，描述变量之间关系的代数方程叫 静态数学模型 ；描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数学模型。控制理论研究的是 动态模型。2. 数学模型分类(1) 按系统运动特性分为：静态数学模型和动态数学模型。(2) 按照建立数学模型的方法分为： 机理建模 /机理模型 (白箱建模 )统计建模 /统计模型 (黑箱或灰箱建模 )(3) 按照描述数学模型的工具分为：时域 (Time Domain,TD)模型 -微分方程或差分方程描述的数学模型。优点： 有效的数学分析工具多。复域 /频域 (Frequency Domain, FD)模型 -利用拉氏或傅立叶变换 对时域模型变换 后得到的模型。优点： 可从工程上测试得到。状态空间 (State Space, SS)模型 -描述系统输 入量、输出量和状态量之间关系的数学模型。优点： 描述系统所有变化规律。缺点： 较复杂，矩阵分析理论等。(4) 按照描述变量的不同分为：输入输出 I/O模型 -描述系统输入量和输出量之间关系的数学模型。优点： 模型简单，易于分析。缺点： 系统内部其它变量之间的关系和运动规律没有建模。3. 建立控制系统数学模型的方法解析法 /分析法 (又称机理建模法 )实验法 (又称系统辨识 ) 解析法 (白箱建模 ) -依据系统及元件各变量之间所遵循的运动规律 (物理、化学等 )列写出变量间的数学表达式，并实验验证。优点： 方程式中每个系数都具有其明确的物理意义。缺点： 一般系统的运动规律很复杂，常常是非线性的，简化会导致模型精度降低 (参数物理意义变含糊 ); 通用性差。实验法 /统计模型 (黑箱或灰箱建模 ) -对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。优点： 避免机理建模的困难，能以一定的精确度描述原系统的变化情况，适合于系统控制与预测；通用性好。缺点： 模型中的参数没有明确的物理意义。4. 常用的数学模型数学模型时域 复数域 频域微分方程状态方程差分方程传递函数结构图频率特性5. 建立数学模型的原则l兼顾模型的精确度 (模型分析和设计的复杂度 )和控制系统精度 (与模型精确度密切相关 )，两者之间的折中。常用手段：一定范围和前提条件下进行理想化的假设。u电子放大器可看成理想的线性放大环节，忽略掉它的非线性成份。 (电子放大器的工作范围不超出其线性区 )u通信卫星 (轨道控制 )可以看成一个质点来建模，而不考虑其形状和质量分布。在卫星的姿态控制中则 不行！ 要考虑其天线和太阳能帆板的柔性体特性。 非线性 ,时变 ,分布参数 线性 ,定常 ,集中参数二、系统微分方程的建立二、系统微分方程的建立6. 时域模型的数学建模的通常步骤(1) 建立物理模型要作一些理想化的假设。(2) 列写原始方程物理定律 : 牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等。(3) 选定系统的输入量、输出量以及状态变量（仅在建立 SS模型时要求），消去中间变量，建立适当的 I/O模型或 SS模型。例例 2-1 写出写出 RLC串联电路的微分方程。串联电路的微分方程。解 ： 根 据基尔霍夫电路定理：由 ： ，代入 得：例例 2-2 求弹簧求弹簧 -质量质量 -阻尼器的机械位移系统的微分阻尼器的机械位移系统的微分 方程。设输入量为外力方程。设输入量为外力 F，输出量为位移，输出量为位移 x(t)解 图中， m为质量， f为粘滞阻尼系数， k为弹性系数。其次依据：1.牛顿第二定律 : 物体所受的外力和等于物体质量与加速度的乘积。 2.虎克定律 : 弹簧弹力等于弹性系数与相对变形位移的乘积。例例 2-2 求弹簧求弹簧 -质量质量 -阻尼器的机械位移系统的微分阻尼器的机械位移系统的微分 方程。设输入量为外力方程。设输入量为外力 F，输出量为位移，输出量为位移 x(t)3.粘性摩擦定律 : 粘性摩擦力等于摩擦系数与相对速度的乘积。例例 2-2 求弹簧求弹簧 -质量质量 -阻尼器的机械位移系统的微分阻尼器的机械位移系统的微分 方程。设输入量为外力方程。设输入量为外力 F，输出量为位移，输出量为位移 x(t)解： 以静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响，受力如下图所示：f 阻尼系数 K 弹性系数 例例 2-2 求弹簧求弹簧 -质量质量 -阻尼器的机械位移系统的微分阻尼器的机械位移系统的微分 方程。设输入量为外力方程。设输入量为外力 F，输出量为位移，输出量为位移 x(t)根据牛顿定理，平衡方程如下：也是一个二阶定常微分方程。 m、 f和 k的单位分别为：相似系统 系统仿真基础对比两式：定义 具有相同的数学模型的不同物理系 统称为相似系统。令说明： 要求取电枢电压 Ua(t)(v)为输入量，电动机转速 m(t)(rad/s)为输出量。图中Ra() 、 La(H)分别是电枢电路的电阻和电感， Mc(NM) 是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压 Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流 ia(t)，再由电流 ia(t)与激磁磁通相互作用产生电磁转距 Mm(t)，从而拖动负载运动。例例 2-3 电枢控制直流电动机的微分方程电枢控制直流电动机的微分方程直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。 n 电枢回路电压平衡方程n 电磁转距方程n 电动机轴上的转距平衡方程 解：Ea=Cem(t) Ce反电势系数 (v/rad/s)电枢回路电压平衡方程 ：其中， Ea 是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压 Ua(t)相反，即Ea=Cem(t) Ce反电势系数 (v/rad/s)电磁转距方程：-电动机转距系数 （ Nm/A）-是由电枢电流产生的电磁转距（ Nm）电动机轴上的转距平衡方程：Jm电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量（ kgm）fm-电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数（ Nm/rad/s ）电动机机电时间常数（ s） 在工程应用中，由于电枢电路电感 La较小，通常忽略不计，因而 可简化为： 、 求出 ia(t)， 代入 同时 亦代入 得：电动机传递系数反馈口：放大器：电动机：减速器：绳 轮：电 桥：消去中间变量可得：例例 2-4 X-Y 记录仪解：例例 2-5 列写下图速度控制系