二次型化规范型

二次型化规范型篇一：化二次型为标准形的方法编号 XX011146 毕 业 论 文 （XX 届本科） 论文题目： 化二次型为标准形的方法 学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 班 级：XX 级本科（1）班 作者姓名： 王 瑜 指导教师：完巧玲 职称： 副教授完成日期： XX 年 05 月 07 日 目 录 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 . 1 引言 .1 1 矩阵及二次型的相关概念 . 1 11 矩阵的相关概念 .1 12 二次型的相关概念 .2 2 化二次型为标准形的方法 . 3 21 配方法 . 3 22 初等变换法（合同变换法） .5 23 正交变换法 .6 2 4 雅可比法 . 8 25 MATLAB 法 .12 3 小结 .14 参考文献 .15 英文摘要 .15 致谢 .16 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计） ，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 二 O 一年月 日 化二次型为标准形的方法 王瑜 完巧玲 （陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000 ） 摘 要：化二次型为标准形的方法通常有配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法、MATLAB 法等方法，这五种方法各有长处.本文通过对这些方法的归纳整理，使人们在解题时根据其特点和要求选取最佳方法，以达到简明快速的目的 关键词：二次型；标准形；初等变换；正交变换；雅可比. 引言 二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是化二次型为标准形二次型化为标准形的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论应用也非常广泛将二次型化为标准形往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在各个领域都有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准形的方法有重要的理论与应用价值 实数域 P 上的二次型可通过配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法、MATLAB 法等方法将其化为标准形对于配方法或初等变换法即用非奇异变换 x?py 将其化为?diyi（di 为实数）的形式，然而这种方法不易求出矩阵 P，下 2 i?1n 面将介绍几种特殊方法，能够快速将原二次型化为标准形，并求出 P，使问题简化下面首先介绍有关概念，再分别讨论二次型化为标准形的方法 1 矩阵及二次型的相关概念 11 矩阵的相关概念 定义1 设 V 是数域 F 上的一个向量空间，V 中满足下列两个条件的向量组?1,?2,?,?n叫做 V 的一个基 i) ?1,?2,?,?n 线性无关； ii) V 的每个向量都可以由?1,?2,?,?n 线性表示 定义1 设?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n是 n 维向量空间 V 的两个基那么向量? j ，j?1,2,?,n，可以由?1,?2,?,?n 线性表示设 ?1?a11?1?a21?2?an1?n?a11?a?a?a? ?2?a21121222n2n T?，作一个阶矩阵 n? ? ?a?n1?n?a1n?1?a2n?2?ann?n a12 a22?an2 ?a1n? ? ?a2n? ? ?ann? 则矩阵 T 叫做由基?1,?2,?,?n到基?1,?2,?,?n的过渡矩阵 定义3 如果 n 阶实方阵 A 满足 ATA?E 即(AT?A?1 或AAT?E)， 则称 A 为正交矩阵 定义5二次型的矩阵 A?(aij)n?n，若记?1?a11，?2? a11?a1n ?n? ，则称?1，?2，?，?n 为其顺序主子式 an1?ann a11a21a12 ，?，a22 12 二次型的相关概念 定义2 设 P 是一个数域，以 P 中的数作系数的x1，x2，?，xn 的二次齐次多项式 f(x1,x2,.,xn)?a11x12?2a12x1x2?2a13x1x3?.?2a1nx1xn?a22x22?2a23x2x3?.? 2a2nx2xn?.?annxn2 称为数域 P 上的一个 n 元二次型，简称二次型. 注：(1)这里非平方项的系数采用 2aij 主要为了后面矩阵表示方便 (2)实数域上的 n 元二次型为实二次型;复数域上的 n 元二次型为复二次型. (3)如果二次型中只含有变量的平方项，即 f(x1,x2,.,xn)?d1x12?d2x22 ?.?dnxn2 称为标准形的二次型简称标准形. 定义5 设 V 是数域 P 上一个线性空间，f(?,?)是 V上一个二元函数，即对 V 中任意两个向量?、?，根据 f 都唯一地对应于 P 中一个数 f(?,?)如果 f(?,?)有下列性质： 1) f(?,k1?1?k2?2)?k1f(?,?1)?k2f(?,?2) 2) f(k1?1?k2?2,?)?k1f(?1,?)?k2(?2,?) 其中?,?1,?2,?,?1,?2 是 V 中任意向量，k1,k2 是 P中任意数，则称 f(?,?)为 V 上的一个双线性函数例如：欧氏空间 V 的内积是 V 上双线性函数 定义5 设 f?(?,?) 线性空间 V 上的一个双线性函数，如果对 V 中任意两个向量?,?都有 f(?,?)?f(?,?)，则称f(?,?)为对称双线性函数 定义5 设 f(?,?)是数域 P 上 n 维线性空间 V 上的一个双线性函 篇二：二次型化为标准形的几种方法二次型化为标准形的几种方法 摘要：二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形。这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法。正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明。其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方。 关键词：正交变换法 配方法 初等变换法 雅可比方法 偏导数法 Several Methods of Changing the Quadratic into the Standard Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula. Keywords: orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method 1. 引言 二次型是代数学中的一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形，本文介绍了五种化二次型为标准形的方法，各种方法的解题思路步骤及依据在正文部分都有详细的说明，并且每种方法后面配有例题这样理解起来就会更加容易。正交变换法是常用的方法之一，需要求出特征值，特征值就是对应的平方项的系数；配方法需要通过观察依次对每项配方，直到各项全部配成平方为止；初等变换法用一系列的合同变换将二次型矩阵化成与之合同形式上又比较简单的对角矩阵；雅可比方法相对其他方法更为简便，但是它要求二次型矩阵的各阶顺序主子式都 不为零，然后通过固定的公式确定平方项的系数；偏导数法的实质与配方法是一样的，但是偏导数法有固定的步骤，相对更好实施。2.正交变换法 由于实对称矩阵必定与对角矩阵合同，因此任何实二次型必定可以通过一个适当的正交线性变换将此实二次型化简成为不含混合项的形式。 定理 1 1 任意一个实二次型?aijxixj，aij?aji 都可以经过正交的线性替换变成平 i?1j?1 nn 22 方和?1y12?2y2 其中平方上的系数?1,?2.?n 就是矩阵 A 的特征多项式的全?.?nyn 部的根。 解题步骤 1 将实二次型表示成矩阵形式 f?XTAX 并写出矩阵 A。 2 求出矩阵 A 的所有特征值?,?.?，可能会出现多重特征值，分别记它们的重数为 12n k1,k2?,kn（k1?k2?kn=n） 3 求出每个特征值所对应的特征向量?,?,?，能解出与 n 列出方程(?1E?A)X?0，12 ?1 对应的 k1 个线性无关的特征向量。同理，对其他的特征值?2,?,?n 也是采用此方 法求出与之对应的特征向量。因为 k1?k2?kn=n，所以一共能出 n 个特征向量。 4 将所求出的 n 个特征向量?,?,?先后施行正交化，单位化得到?,?,?,?，记nn1212 为 C =(?1,?2?,?n)T 5 作正交变换 X?CY,则得二次型 f 的标准形f=?y2?y2?.?y2 1122nn 例 1 用上面所述的方法化下面的二次型 222 f(x1,x2,x3,x4)?x12?x2?x3?x4?2x1x2?6x1x3?4x1x4?4x2x3?6x2x4?2x3x4 为标 准形。 解：（1）首先写出原二次型的矩阵 ?1?13?2?11?23? A=?3?21?1?23?11? 由 A 的特征多项式 1?32?1 ?1?12?3?=(?3)(?7)(?1)(?1) ?E?A=?32?11?2?31?1? 从而得 A 的特征值为?1=-3，?2=7，?3=-1，?4=1 （2）求特征向量，将?1=-3 带入(?1E?A)X?0 中，得到方程 ?4x1?x2?3x3?2x4?0 ?x?4x?2x?3x?0?1234 ? ?3x?2x?4x?x?0234?1?2x1?3x2?x3?4x2?0 解此方程可得出基础解系?1=(1,?1,?1,1)，同样地，分别把?2=7，?3=-1，?4=1 带入(?E?A)X?0 中，解方程能够得出与?2=7，?3=-1，?4=1 对应的基础 解系依次为?2=(?1,1,?1,1)，?3=(?1,?1,1,1)，?4=(1,1,1,1) （3）将所求出的特征向量正交化，方法如下： 令 ?1=?1=(1,?1,?1,1) ?2=?2? (?2,?1) ?1=(?1,1,?1,1) (?1,?1) (?3,?1)(?,?) ?1?32?2=(?1,?1,1,1) (?1,?1)(?2,?2) (?,?)(?4,?1)(?,?) ?1?42?2?43?3=(1,1,1,1) (?1,?1)(?2,?2)(?3,?3) ?3=?3? ?4=?4? （4）将已正交的向量组单位化，如下： 令 ?i?于是能够得到 ?i （i=1,2,3,4） ?i ?1=(1,?1,?1,1)，?2=(?1,1,?1,1)，?3=(?1,?1,1,1)，?4=(1,1,1,1) 所以 ?1?1?1? 1?11?1C= 2?1?11? ?111 12121212 1?1? 1?1?1?1?1?1? ?y1?y2? ?y3?y?4? 于是所求正交变换为 ?x1?x2?=1?x3?2?x?4? ?1?1?1? ?11?1?1?11? ?111 原二次型化为 22 f=?3y12?7y2?y3?y12 3. 配方法 配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的xixj(i?j)这样的交叉项， 消去非平方项并构造新的平方项。 定理 21 数域 P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和 22 的形式。 d1x12?d2x2?.?dnxn 解题思路 使用配方法化二次型为标准形时，视具体情况又可以将二次型分为下面两种不同的情形： 1 如果二次型含有 x 的平方项，那么先把含有 x 的乘积项集中，然后再配方，再对其ii 余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。 2 如果所给二次型中不含有 x 平方项，但是aij?0(i?j),我们就可以用前面所提到的 i方法构造出平方项，可以先做出可逆的线性变换 ?xi?yi?yj ?x?y?y?jij ,(k?1(转 载 于: 小 龙文 档 网:二次型化规范型),2,?,n 且 k?i,j) ? ?xk?yk 1 中的方法进代入到原二次型中，这时二次型中就含有平方项了，然后再按照上述 行配方。 2 例 2 用上述所给出的方法化二次型 f(x,x2,x3)?x12?2x1x2?2x2?4x2x3 为标准形，写 出所用的变换矩阵。 解：原二次型中含有 xi 的平方项，先将含有 x1 的项集中，利用平方和公式消去 x1x2， 然后对 x2 配平方，消去 x2x3 项。此过程为 2222 f(x,x2,x3)?(x12?2x1x2?x2)?(x2?4x2x3?4x3)?4x3 2 ?x1?x2?x2?2x3?4x3 2 2 于是作非退化的线性替换： ?y1?x1?x2?x1?y1?y2?2y3 ?y?x?x?2?x2?y2?2y3 12?y?x?x3?y33?3? 即 ?x1?1?12?y1? ?x01?2?2?y2? ?x?001?y?3?3? 于是就得到 22 f(x,x2,x3)?y12?y2?4y3 所用的变换矩阵为 ?1?12? ?C?01?2? ?001? 篇三：化二次型为标准形的方法化二次型为标准形的方法 内容摘要:高等代数作为我们数学专业的一门重要的基础课。它以线性空间为背景，以线 性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数，其内容本属于函数的讨论范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题，使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次函数的内容也更加丰富多彩。而我们要讨论的是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准形。下面介绍了一些化二次型为标准形的方法：配方法，交变换法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法 关键词：二次型 线性替换 矩阵 标准形 导言：二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题。二次型是学中的 一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形。我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定的，而任一实对称矩阵都可以化为一对角矩阵，相应的以实二次型都可以化为标准形，以下就是化二次型为标准形的几种方法，通过典型例题，体会二次型问题时的多样性和灵活性。 化二次型为标准形的方法 一 配方法 配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像xixj(i?j)这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。 定理:数域 P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和 22 的形。 d1x12?d2x2?.?dnxn 1.如果二次型含有 xi 的平方项，那么先把含有 xi 的乘积项集中，然后再配方，再对其 余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。 2 例 1.上述所给出的方法化二次型 f(x,x2,x3)?x12?2x1x2?2x2?4x2x3 为标准形，写出所用的 变换矩阵。 解：原二次型中含有 xi 的平方项，先将含有 x1 的项集中，利用平方和公式消去 x1x2， 然后对 x2 配平方，消去 x2x3 项。此过程为 2222 f(x,x2,x3)?(x12?2x1x2?x2)?(x2?4x2x3?4x3)?4x3 2 2 2 ?x1?x2?x2?2x3?4x3 于是作非退化的线性替换： ?x1?y1?y2?2y3 ? ?x2?y2?2y3 ?x3?y3? 即 ?x1?1?12?y1?x01?2?2?y2? ?x?001?y?3?3? 于是就得到 22 f(x,x2,x3)?y12?y2?4y3 所用的变换矩阵为 ?1?12? ?C?01?2? ?001? 且有 ?100?110?1?12?100? ? CAC?110?122?01?2?010? ?001?020?001?00?4? 2.如果所给二次型中不含有 xi 平方项，但是aij?0(i?j),我们就可以用前面所提到的方法构造出平方项，可以先做出可逆的线性变换 ?xi?yi?yj ?x?y?y?jij ,(k?1,2,? ?xk?yk ,n 且 k?i,j) 代入到原二次型中，这时二次型中就含有平方项了，然后再按照上述 1 中的方法进行配方。例 2. 将二次型 f(x,x2,x3)=?4x1x2?2x1x3?2x2x3 化为标准形，并写出所用的变换矩阵。 解：由于所给的二次型中无 xi 平方项，就需要构造出平方项，令 ?x1?y1?y2? ?x2?y1?y2 ?x?y 3?3 即 ?x1?110?y1? ?x1?10?2?y2? ?x?001?y?3?3? 代入到原二次型中有 f(x,x2,x3)?4(y1?y2)(y1?y2)?2(y1?y2)y3?2(y1?y2)y3 2 ?4y12?4y2?4y1y3 此时就可以按照情形 1 中的步骤进行，将含有 y1 的项集中，消去 y1y3 项，再分别对 y2,y3 配平方即可。 所以有 2 f(x,x2,x3)?4y12?4y2?4y1y3 222 ?4y12?4y1y3?y3 ?y3?4y2 22 ?4y2 ?2y1?y3?y3 2 作非退化线性替换 11? y?z?1212z2?z1?2y1?y3 ? z?yy2?z2 ?22?z?y?y3?z333? ? 即 ?y1?y2?y?3?1?20? ?01?00?1?2?0?1? ?z1?z2? ?z?3? 于是能够得到 22 f(x,x2,x3)?z12?4z2?z3 所用的变换矩阵为 ?1 ?110?2? C?1?10?01 ?001?00? ? ?11? 22?10? ?2?1?0? ?1?2?1? ?1?2?01? ?1 且有 ?1?2? ACC?1 ?1?2 ?1 1?20? ?0?21?2 ?1?10?201? ?2 ?110?1 01?2?1? 2?100?1?040? ?1 2? ?001?01?1 二.正交变换法 由于